COGNOME... NOME... Matricola... II corso Prof. Camporesi. Esame di ANALISI MATEMATICA - 9 Settembre 2004

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1 COGNOME... NOME... Matricola... II corso Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA - 9 Settembre 2004 A ESERCIZIO 1. (5 punti) 1. Risolvere in campo complesso l equazione z 5 + (1 + i)z = Dimostrare che la funzione f(x) = e 2x + 4e x è invertibile su tutto R. Calcolare esplicitamente la funzione inversa f 1 (x) e il suo dominio.

2 ESERCIZIO 2. (5 punti) 1. Studiare la convergenza della serie n=1 2 n n 5 3 n. 2. Studiare la convergenza della serie ( 1) n 2n n 5 3 n. n=1 3. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze e studiarne la convergenza per x = ±R. n=1 2 n n 5 3 n xn

3 ESERCIZIO 3. (8 punti) Data la funzione f(x) = x + 2 log(1 + x 2 ) 1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. 2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi.

4 3. Calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di convessità e gli eventuali punti di flesso. 4. Tracciare un grafico qualitativo di f e determinare il numero di zeri di f.

5 ESERCIZIO 4. (5 punti) 1. Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione f(x) = e 3x tan(3x) 1 + 9x Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione g(x) = x 2 + x log(1 x). 3. Calcolare il limite lim x 0 e 3x tan(3x) 1 + 9x 2 x 2. + x log(1 x)

6 ESERCIZIO 5. (5 punti) 1. Calcolare l integrale indefinito e 2x + e x e 2x 3e x + 2 dx. 2. Calcolare l integrale definito 1 0 x 2 arctan x dx.

7 ESERCIZIO 6. (5 punti) Risolvere il problema di Cauchy { y = y sin x + sin(2x) y(0) = 2. (Si ricordi la formula y(x) = e A(x) ( k + e A(x) b(x)dx ) che risolve y = a(x)y + b(x), con A(x) una primitiva qualsiasi di a(x).)

8 COGNOME... NOME... Matricola... II corso Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA - 9 Settembre 2004 B ESERCIZIO 1. (5 punti) 1. Risolvere in campo complesso l equazione z 5 (1 + i)z = Dimostrare che la funzione f(x) = e 2x + 6e x è invertibile su tutto R. Calcolare esplicitamente la funzione inversa f 1 (x) e il suo dominio.

9 ESERCIZIO 2. (5 punti) 1. Studiare la convergenza della serie n=1 3 n n 7 4 n. 2. Studiare la convergenza della serie ( 1) n 3n n 7 4 n. n=1 3. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze e studiarne la convergenza per x = ±R. n=1 3 n n 7 4 n xn

10 ESERCIZIO 3. (8 punti) Data la funzione f(x) = x 2 log(1 + x 2 ) 1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. 2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi.

11 3. Calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di convessità e gli eventuali punti di flesso. 4. Tracciare un grafico qualitativo di f e determinare il numero di zeri di f.

12 ESERCIZIO 4. (5 punti) 1. Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione f(x) = e 2x tan(2x) 1 + 4x Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione g(x) = x 2 + x log(1 x). 3. Calcolare il limite lim x 0 e 2x tan(2x) 1 + 4x 2 x 2. + x log(1 x)

13 ESERCIZIO 5. (5 punti) 1. Calcolare l integrale indefinito e 2x + e x e 2x 4e x + 3 dx. 2. Calcolare l integrale definito 1 0 x 2 arctan x dx.

14 ESERCIZIO 6. (5 punti) Risolvere il problema di Cauchy { y = y cos x + sin(2x) y(0) = 0. (Si ricordi la formula y(x) = e A(x) ( k + e A(x) b(x)dx ) che risolve y = a(x)y + b(x), con A(x) una primitiva qualsiasi di a(x).)

15 COGNOME... NOME... Matricola... II corso Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA A - 9 Settembre 2004 ESERCIZIO 1. (6 punti) 1. Risolvere in campo complesso l equazione z 5 (1 + i)z = Dimostrare che la funzione f(x) = e 2x + 6e x è invertibile su tutto R. Calcolare esplicitamente la funzione inversa f 1 (x) e il suo dominio.

16 ESERCIZIO 2. (6 punti) Studiare la continuità e la derivabilità in x = 0 della funzione { x x se x 0 f(x) = 1 se x = 0.

17 ESERCIZIO 3. (12 punti) Data la funzione f(x) = x 2 log(1 + x 2 ) 1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. 2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi.

18 3. Calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di convessità e gli eventuali punti di flesso. 4. Tracciare un grafico qualitativo di f e determinare il numero di zeri di f.

19 ESERCIZIO 4. (6 punti) 1. Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione f(x) = e 2x tan(2x) 1 + 4x Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione g(x) = x 2 + x log(1 x). 3. Calcolare il limite lim x 0 e 2x tan(2x) 1 + 4x 2 x 2. + x log(1 x)

20 COGNOME... NOME... Matricola... II corso Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA G - 9 Settembre 2004 ESERCIZIO 1. (6 punti) 1. Studiare la convergenza della serie n=1 2 n n 5 3 n. 2. Studiare la convergenza della serie ( 1) n 2n n 5 3 n. n=1 3. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze 2 n n 5 3 n xn. e studiarne la convergenza per x = ±R. n=1

21 ESERCIZIO 2. (10 punti) 1. Calcolare l integrale indefinito e 2x + e x e 2x 3e x + 2 dx. 2. Calcolare l integrale definito 1 0 x 2 arctan x dx.

22 ESERCIZIO 3. (6 punti) 1. Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione f(x) = e 3x tan(3x) 1 + 9x Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione g(x) = x 2 + x log(1 x). 3. Calcolare il limite lim x 0 e 3x tan(3x) 1 + 9x 2 x 2. + x log(1 x)

23 ESERCIZIO 4. (8 punti) Risolvere il problema di Cauchy { y = y sin x + sin(2x) y(0) = 2. (Si ricordi la formula y(x) = e A(x) ( k + e A(x) b(x)dx ) che risolve y = a(x)y + b(x), con A(x) una primitiva qualsiasi di a(x).)