Argomenti delle singole lezioni del corso di Analisi Matematica 2 (Ingegneria Edile-Architettura, A.A )

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1 Argomenti delle singole lezioni del corso di Analisi Matematica 2 (Ingegneria Edile-Architettura, A.A ) NB. Le indicazioni bibliografiche si riferiscono al libro di testo. Lezione nr. 1, 24/9/2018. (Cap 10; per ora ho saltato il paragrafo ) Funzioni di più variabili a valori scalari. Concetti di base: grafico, dominio naturale, spazio vettoriale R n, intorno (sferico), intorno del punto all infinito, punto di accumulazione, punto isolato, teorema di Bolzano-Weierstrass, punti interni/esterni/di frontiera, insiemi aperti/chiusi, chiusura di un insieme. Esempi di insiemi nel piano e nello spazio. Definizione limite, definizione continuità, primi esempi. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 2, 25/9/2018. (Cap 10) Proprietà elementari dei limiti (unicità del limite, algebra dei limiti...). Continuità delle funzioni composte da funzioni continue ). Limite di una funzione a valori vettoriali ( campo vettoriale ); la riduzione al caso delle funzioni a valori scalari. Successioni convergenti/divergenti/irregolari in R n, teorema ponte, insiemi compatti. Teoremi sulle funzioni continue su un insieme compatto (teor. di Weierstrass sull esistenza di max e min; teor. di Heine-Borel sulla continuità uniforme). Curve parametriche in R n, sostegno di una curva. Calcolo di un limite con il teorema del confronto. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 3, 1/10/2018. Cap 10: Qualche esempio sul concetto di funzione continua. Cap 11: Derivata direzionale D v f(x 0 ). Derivate parziali f xi (x 0 ): definizione e e calcolo. Il gradiente. Funzioni derivabili. In generale la derivabilità in un punto non implica la continuità in quel punto. Differenziabilità di una funzione in un punto tramite il concetto di miglior approssimazione lineare. Piano tangente al grafico di una funzione di 2 variabili, come grafico della miglior approssimazione lineare. Esercizio particolarmente utile: 11.1 Lezione nr. 4, 2/10/2018. Cap 11: Le 3 proprietà fondamentali delle funzioni differenziabili. Un criterio per la diffierenziabilità: il teorema del differenziale totale. Esercizi sulle derivate parziali, sulla miglior approssimazione lineare e sul piano tangente. Interpretazione geometrica del gradiente in termini di massima crescita. Il teorema del valor medio su segmenti. Per ora ho saltato il paragrafo Esercizi particolarmente utili:

2 2 Lezione nr. 5, 5/10/2018. Cap 11: Derivate parziali e direzionali di ordine due, funzioni due volte differenziabili, teorema di Schwarz, formula per le derivate direzionali di ordine due per funzioni due volte differenziabili, la matrice hessiana, il polinomio di Taylor di grado 2. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 6, 8/10/2018. Intermezzo sulle matrici simmetriche (in termini di autovalori e autovettori) e sulle forme quadratiche associate. Teorema di Peano e il teorema per il resto di Lagrange. Funzioni convesse/concave su insiemi convessi. Punti critici come candidati per i punti di estremo locale. Esercizio particolarmente utile: Lezione nr. 7, 9/10/2018. La nature di un punto critico (punto di max/min, punto di sella). Il caso particolare di funzioni di 2 variabili. Esercizi per trovare punti di estremo di un campo scalere definito su un insieme aperto. Esercizi particolarmente utili: (usare il teorema di Weierstrass)-18 Lezione nr. 8, 10/10/2018. Cap 11: calcolo differenziale per campi vettoriali, differenziabilità, matrice jacobiana, regola della catena in termini del prodotto di due matrici jacobiane, esempi per spiegare l utilizzo pratico della regola della catena. Cap 12: curve chiuse, semplici, piane, di Jordan, regolari (capire la condizione γ 0), regolari a tratti, equivalenti (con verso uguale o con verso opposto), rettificabili; lunghezza di una curva. Esercizio particolarmente utile: 12.1 Lezione nr. 9, 12/10/2018. Integrali curvilinei di prima specie. Indipendenza dalla parametrizzazione. Possibile interpretazione geometrica. Formula per la lunghezza di una curva di classe C 1. Parametro d arco. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 10, 15/10/2018. Integrali curvilinei di seconda specie. Forma differenziale. Indipendenza dalla parametrizzazione con lo stesso verso. Motivazione fisica (lavoro). Forme differenziali esatte. Funzione potenziale associato. Interpretazione fisica. Utilizzo della funzione potenziale per il calcolo degli integrali curvilinei di seconda specie di forme differenziali esatte. Esercizio particolarmente utile: 12.8

3 3 Lezione nr.11, 16/10/2018. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Esatta implica chiusa ma non viceversa (esempio esplicito). Il rotore di un campo differenziale F R 3 E R 3. Forze irrotazionali. Lezione nr. 12, 19/10/2018. Esercizi per trovare la funzione potenziale associata a una forma differenziale esatta. Insiemi semplicemente connessi e esempi. Criterio sufficiente per l implicazione ω chiusa ω chiusa. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 13, 22/10/2018. Il teorema delle funzioni implicite e l equazione g(x) = g(x 0 ). Il concetto di linerarizzazione di un problema e il caso più semplice: m = 1 e n = 2, cioè il caso di una sola equazione di 2 variabili. Curva di livello, punto regolare, retta tangente, ortogonalità del gradiente e della retta tangente a una curva di livello. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 14, 23/10/2018. Punti di estremo vincolati. Punti critici vincolati. Il metodo diretto e quello dei moltiplicatori di Lagrange nel caso di m = 1 equazione di n = 2 variabili. Definizione punto critico vincolato se m = 1, n = 2. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 15, 5/11/2018. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange nel caso di n = 3 variabili e m = 1 o m = 2 vincoli. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 16, 6/11/2018. Punti di estremo in un insieme chiuso con interno non vuoto. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 17, 9/11/2018. Definizione di integrali doppi di funzioni limitate su un rettangolo e, tramite un artificio, su un dominio limitato generale. Prime proprietà (un criterio di integrabilità, il concetto di media di una funzione in un insieme). Formule di riduzione a due integrali semplici nel caso di rettangoli e di domini semplici. Esercizio particolarmente utile: 14.1 Lezione nr. 17, 12/11/2018. Esercizi sul calcolo di integrali doppi. Scambio dell ordine di intergrazione. Insiemi misurabili. Insiemi di misura nulla (+ un criterio). Esempi di insiemi di misura nulla. Un insieme è misurabile se e solo la sua frontiera è di misura nulla.

4 4 Funzioni continue e limitate sono integrabili su insiemi misurabili. dell additività dell integrale doppio. Esercizi particolarmente utili: La proprietà Lezione nr. 18, 13/11/2018. Cambiamento di variabili di integrazione in integrali doppi. coordinate polari. Esercizi particolarmente utili: L esempio delle Lezione nr. 19, 16/11/2018. Esercizi sugli integrali doppi. Applicazione delle coordinate polari negli integrali doppi: il calcolo dell integrale di e x2 nell intervallo (0, + ) Lezione nr. 20, 19/11/2018. Integrali tripli. Integrazione per fili e per strati. Solidi di rotazione. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 21, 20/11/2018. Integrali tripli, cambiamento di variabili di integrazione, variabili cilindriche e sferiche. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 22, 23/11/2018. Superfici elementari, parametrizzazione, esempi, punti interni, bordo di una superficie. Lezione nr. 23, 26/11/2018. Superficie regolare, piano tangente, versori normali. Area di superficie, integrale di superficie. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 24, 27/11/2018. Superfici elementari orientabili, il nastro di Möbius, orientazione del bordo di una superficie orientabile, flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientabile, superficie composta orientabile. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 25, 30/11/2018. Divergenze e rotore di un campo vettoriale. (calcolo dell area). Domini regolari a tratti. Esercizi particolarmente utili: Formule di Green e applicazioni

5 5 Lezione nr. 26, 03/12/2018. Teorema delle divergenze nel piano e nello spazio. Equazione di continuità. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 27, 04/12/2018. Teorema del rotore nel piano. Teorema di Stokes per superficie orientabili. Esercizi particolarmente utili: 16.6 Lezione nr. 28, 07/12/2018. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Struttura della soluzione generale. I casi omogeneo e non omogeneo. Il metodo della variazione della costante. Metodo ad hoc. Problema di Cauchy Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 29, 10/12/2018. Equazioni differenziali non lineari del primo ordine a variabili separabili. Esempio di non unicità della soluzione del problema di Cauchy. Esempio di una soluzione del problema di Cauchy non definita globalmente : il concetto di intervallo massimale di esistenza. Il teorema fondamentale per il problema di Cauchy (esistenza della soluzione in un intervallo massimale, unicità della soluzione, criteri per l esistenza di una soluzione globale ). Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 30, 11/12/2018. Generalizzazione dell teoria generale di equazioni differenziali del primo ordine a sistemi di tali equazioni. Riduzione di un equazione differenziale di ordine n a un sistema di n equazioni differenziali del primo ordine. I problemi di Cauchy corrispondenti. Lezione nr. 31, 14/12/2018. Intermezzo: i numeri complessi Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 32, 17/12/2018. Intermezzo: i numeri complessi Esercizi particolarmente utili: 1.15 Lezione nr. 33, 18/12/2018. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Teoria generale: soluzioni linearmente indipendenti, determinante wronskiano, soluzione generale nei casi omogeneo e non-omogeneo, problema di Cauchy. Il caso particolare di equazioni a coefficienti costanti: l equazione omogenea, l equazione caratteristica, l utilizzo dei numeri complessi

6 6 Lezione nr. 34, 21/12/2018. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti e non omogenee. Metodo della variazione delle costanti. Metodo ad hoc in casi particolari. Oscillatore armonico, il fenomeno di risonanza. Esercizi particolarmente utili: Lezione nr. 35, 07/01/2019. Alcune classi di equazioni differenziali del secondo ordine (metodi di riduzione dell ordine, l equazione di Eulero ecc.). Esercizi particolarmente utili: 17.10(b) Lezione nr. 36, 08/01/2019. Esercizi di equazioni differenziali. Lezione nr. 37, 11/01/2019. Lezione nr. 38, 14/01/2019. Lezione nr. 39, 15/01/2019. Lezione nr. 40, 18/01/2019.