ISTITUZIONI DI ALGEBRA SUPERIORE

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1 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA Corso di laurea magistrale in Matematica Anno accademico 206/207 - anno ISTITUZIONI DI ALGEBRA SUPERIORE 2 CFU - e 2 semestre Docenti titolari dell'insegnamento MARCO D'ANNA - - MAT/02-6 CFU mdanna@dmi.unict.it Edificio / Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica, V.le A. Doria 6, 9525 Catania Telefono: Orario ricevimento: Consultare la pagina docente: VINCENZO MICALE - - MAT/02-6 CFU vmicale@dmi.unict.it Edificio / Indirizzo: Dipartimento di matematica e informatica Viale Andrea Doria 6 Telefono: Orario ricevimento: Per appuntamento OBIETTIVI FORMATIVI Approfondire la teoria degli anelli commutativi con unità, con particolare attenzione all'anello dei polinomi ed ai suoi quozienti, avendo in vista le applicazioni dell'algebra commutativa alla geometria algebrica e alla teoria dei numeri. Il corso si prefigge anche lo scopo affinare la capacità di astrazione e, d altra parte, mostrare come un buona conoscenza teorica permetta di sviluppare significativi strumenti applicativi. In particolare, il corso si propone di far acquisire agli studenti le seguenti competenze: Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Conoscenza di risultati e di metodi fondamentali della teoria delle strutture algebriche e delle sue applicazioni. Capacità di leggere, comprendere e approfondire un argomento della letteratura matematica e riproporlo in modo chiaro ed accurato. Capacità di comprendere i problemi e di estrarne gli elementi sostanziali. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Capacità di costruire o risolvere esempi od esercizi e di affrontare problemi teorici nuovi, ricercando le tecniche più adatte e applicandole opportunamente. Autonomia di giudizio (making judgements): Essere in grado di produrre proposte atte a interpretare correttamente problematiche complesse nell'ambito dell algebra e delle sue applicazioni. Essere in grado di formulare autonomamente giudizi pertinenti sull'applicabilità di modelli algebrici a situazioni teoriche e/o concrete.

2 Abilità comunicative (communication skills): Capacità di presentare argomenti, problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, in termini matematici e le loro conclusioni, con chiarezza e accuratezza e con modalità adeguate agli ascoltatori a cui ci si rivolge, sia in forma orale che in forma scritta. Capacità di motivare chiaramente la scelta delle strategie, metodi e contenuti, nonché degli strumenti computazionali adottati. Capacità di apprendimento (learning skills): Leggere e approfondire un argomento della letteratura algebrica. Affrontare in modo autonomo lo studio sistematico algebrici non precedentemente approfonditi. L'obiettivo del secondo modulo del corso è quello di introdurre la teoria delle basi di Groebner, allo scopo di iniziare lo studente all algebra computazionale ed alle sue applicazioni. PREREQUISITI RICHIESTI Conoscenza dell'algebra di base (insiemi, numeri, polinomi, anelli, gruppi), come richiesto nei requisiti del Corso di Laurea Magistrale in Matematica. Spazi vettoriali. Anelli di polinomi. Anelli quoziente FREQUENZA LEZIONI Fortemente consigliata. Fortemente consigliata CONTENUTI DEL CORSO I. Anelli e ideali. Prime proprietà degli anelli commutativi con unità. Ideali primi e ideali massimali. Anelli locali. Nilradicale e radicale di Jacobson. Operazioni con gli ideali; radicale di un ideale. Omomorfismi. Ideali estesi e ideali contratti. II. Moduli. Definizione e prime proprietà. Prodotto diretto e somma diretta: moduli liberi. Moduli finitamente generati e lemma di Nakayama. Omomorfismi tra moduli. Algebre. III. Anelli e moduli di frazioni. Definizione e proprietà. Localizzazione e proprietà locali. Ideali negli anelli di frazioni. IV. Anelli noetheriani. Varietà affini, K-algebre affini e dizionario di base algebra-geometria

3 algebrica. Dimensione di Krull. Anelli e moduli noetheriani: definizioni e prime proprietà. Il teorema della base di Hilbert. Condizioni perché una sottoalgebra sia finitamente generata. V. Anelli artiniani. Anelli e moduli artiniani. Serie di composizione. Lunghezza. Un anello è artiniano se e soltanto se è noetheriano e ha dimensione zero. VI. Decomposizione primaria. Ideali primari; decomposizione primaria. Primi associati e loro caratterizzazione. Divisori dello zero. Unicità delle componenti isolate. Il caso noetheriano. VII. Teorema degli zeri di Hilbert: forma debole e forma forte. VIII. Dipendenza integrale. Definizioni e prime proprietà. Teorema del Going Up. Domini normali e Teorema del Going Down. Lemma di normalizzazione di Noether. IX. Cenni di teoria della dimensione. Catene di primi, altezza, dimensione. Teorema dell'ideale principale di Krull. Teorema dell'altezza di Krull. Dimensione degli anelli di polinomi a coefficienti in un campo. Anelli locali. Sistema di parametri. Dimensione di immersione. Anelli locali regolari (solo definizione e importanza geometrica). I. Teoria di base delle Basi di Groebner. Il caso lineare. Il caso ad una sola variabile. Ordinamenti monomiali. L Algoritmo di divisione. Definizione di base di Groebner. S-polinomi e Algoritmo di Buchberger. Basi di Groebner ridotte. II. Applicazioni delle Basi di Groebner. Applicazioni elementari delle Basi di Groebner. Teoria della eliminazione. Mappe polinomiali. Alcune applicazioni alla Geometria Algebrica. III. Moduli. Basi di Groebner e Sizigie. Calcolo del modulo delle sizigie di un ideale. TESTI DI RIFERIMENTO. M.F. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduzione all' algebra commutativa, Feltrinelli E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birkauser 985 ) W.W. Adams, P. Loustaunau, An introduction to Groebner Bases, American Math. Soc, 994. PROGRAMMAZIONE DEL CORSO * Argomenti Riferimenti testi

4 * Anelli e ideali: prime proprietà degli anelli commutativi con unità. Ideali primi e ideali massimali. Anelli locali. Nilradicale e radicale di Jacobson. 2 * Operazioni con gli ideali; radicale di un ideale. Omomorfismi. Ideali estesi e ideali contratti. 3 * Moduli: definizione e prime proprietà. Prodotto diretto e somma diretta: moduli liberi. Moduli finitamente generati e lemma di Nakayama. Omomorfismi tra moduli. Algebre. 4 * Anelli e moduli di frazioni: definizione e proprietà. Localizzazione e proprietà locali. Ideali negli anelli di frazioni. 5 * Varietà affini, K-algebre affini e dizionario di base algebra-geometria algebrica. Dimensione di Krull. 6 * Anelli e moduli noetheriani: definizioni e prime proprietà. Il teorema della base di Hilbert. Condizioni perché una sottoalgebra sia finitamente generata. 7 * Anelli e moduli artiniani. Serie di composizione. Lunghezza. Un anello è artiniano se e soltanto se è noetheriano e ha dimensione zero. 8 * Ideali primari; decomposizione primaria. Primi associati e loro caratterizzazione. Divisori dello zero. Unicità delle componenti isolate. Il caso noetheriano. 2 9 * Teorema degli zeri di Hilbert: forma debole e forma forte. oppure 2 0 * Dipendenza integrale: definizioni e prime proprietà. Teorema del Going Up. Domini normali e Teorema del Going Down. * Lemma di normalizzazione di Noether. 2 2 * Catene di primi, altezza, dimensione. Teorema dell'ideale principale di Krull. Teorema dell'altezza di Krull. 3 * Dimensione degli anelli di polinomi a coefficienti in un campo. Anelli locali. Sistema di parametri. Dimensione di immersione. Anelli locali regolari (solo definizione e importanza geometrica). 2 2 * Argomenti Riferimenti testi * Teoria di base delle Basi di Groebner ) 2 * Applicazioni delle Basi di Groebner ) 3 * Moduli ) * Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame.

5 N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame. MATERIALE DIDATTICO Esercizi e note su particolari argomenti del corso saranno resi disponibili su Studium VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO Nel corso del semestre saranno assegnati esercizi e si svolgeranno esercitazioni in classe, durante le qual gli studenti saranno inivitati a cimentarsi, da soli o in collaborazione, con problemi proposti dal docente. La correzione degli esercizi assegnati per casa e le esercitazioni in classe permetteranno al docente di verificare il livello di comprensione della materia. Si volgeranno due prove scritte in itinere per il primo modulo. Al termine del corso è prevista una prova orale (su entrambi i moduli) che terrà conto degli esercizi svolti durante l'anno e delle prove in itinere. L'esame consisterà di una prova orale e di una prova al computer. DATE DEGLI APPELLI %20dEsami %20dEsami PROVE IN ITINERE SI svolgeranno due prove in titinere, la prima a metà semestre, la seconda a fine modulo. Tali prove in itinere conterranno anche esercizi di tipo teorico. Gli studenti che le supereranno entrambe saranno esonerati dalla prova orale per quel che riguarda il primo modulo. In ogni caso la

6 prova orale finale terrà conto di quanto svolto correttamente nelle prove in itinere. Non sono previste prove in itinere PROVE DI FINE CORSO A fine corso è prevista una prova orale su entrambi i moduli. Durante tale prova sarà richiesto allo studente, per quel quel che riguarda il primo modulo, di risolvere delgi esercizi inerenti al programma svolto e di illustrare qualche argomento di teoria. La prova orale terrà conto delle prove in itinere e degli esercizi svolti durante l'anno. Verranno assegnati esercizi da risolvere al computer; se risolti con votazione almeno sufficiente si passerà ad un esame orale ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI Gli esercizi di algebra non sono standard e dunque non è possibile descrivere delle tipologie di problemi. Saranno resi disponibili su Studium esercizi relativi ai vari argomenti del corso. La struttura di una domanda teorica è la seguente: illustrare un argomento, enunciare le definizioni ed i risultati principali inerenti a tale argomento, dimostrare uno di essi e portare esempi e controesempi. Teorema di caratterizzazione dell Basi di Groebner. Applicazioni delle Basi di Groebner all'algebra e alla Geometria Algebrica. Calcolo del modulo delle sizigie di un ideale