Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria. Punteggi degli esercizi: Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti.

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1 Es. Es. Es. 3 Es. 4 Totale Teoria Analisi e Geometria Terzo appello 8 Settembre 4 Compito B Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.: 8 punti; Es.: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati.. Sia F la funzione integrale definita ponendo F ) = e t dt. a) Determinare il dominio di F. b) Stabilire se il i limiti di F ) per ± sono finiti o infiniti, indicandone il segno. c) Scrivere il polinomio di Maclaurin di secondo grado della funzione F e disegnarne il grafico di F nell intorno del punto =. d) Determinare la natura del punto =, e disegnare il grafico di F nell intorno del punto indicato. Poniamo ft) = diversi da. e t e notiamo che la funzione f è continua e positiva nell insieme dei reali e a) Per t risulta ft), per cui f è integrabile in un intorno di. Segue che / la funzione integrale F è ben definita in tutto R. Notiamo che, per la definizione di integrale e per il fatto che f è positiva, risulta F ) > per >, F ) < per < e F ) =. ) b) Per t, risulta ft) et, per cui risulta ad esempio ft) = o t / t in realtà risulta ft) = o t α ) per ogni valore di α). Segue che F è integrabile in un intorno di. In altri termini, il limite di F ) a esiste finito e per le osservazioni fatte sul segno di F ) non potendo essere nullo perché la funzione integranda è sempre positiva) dev essere necessariamente negativo. Per +, risulta ft) +, per cui il limite di F ) a + è infinito e, per le osservazioni fatte sul segno di F ), dev essere necessariamente +. c) Il polinomio di Maclaurin di secondo grado generato da F è F ) + F ) + F ).

2 Come abbiamo già osservato, risulta F ) =. Dal teorema di Torricelli segue poi che F ) = f) R \ { }. Di conseguenza, risulta F ) = f) = e F ) = f ). Per calcolare f ), osserviamo innanzitutto che in un opportuno) intorno di, risulta = t +, per cui risulta ft) = et t +. Segue che in un intorno di risulta f t) = et t + t + t e ) t+ = et t + ) t + ) 3/, da cui si ottiene f ) =. Il polinomio cercato è quindi: +. Il grafico di F nell intorno 4 di = sarà approssimato dal grafico del polinomio trovato. d) Poiché ft) + per t, abbiamo che F ) + per. Poiché F è continua anche nel punto =- per la definizione di integrale generalizzato), possiamo concludere che F ) = + e che in = il grafico di F presenta un flesso a tangente verticale con la concavità che cambia dall alto al basso al crescere di ).

3 . Data l equazione differenziale y y + ) = : a) calcolare l integrale generale; b) calcolare la soluzione che soddisfa la condizione iniziale y ) = ; c) dopo aver verificato che esiste ed è unica, determinare la soluzione che soddisfa la condizione y) =. Si tratta di una equazione differenziale a variabili separabili, cioè del tipo y = f)gy). Nel nostro caso, si può porre ad esempio f) = + ) e gy) = y. Notiamo che f) non è definita per =. Le soluzioni andranno quindi considerate nell intervallo, + ) oppure nell intervallo, ). a) Notiamo innanzitutto che risulta gy) = se e solo se y =. La soluzione y = è quindi l unica soluzione stazionaria. Le altre soluzioni si ottengono dall equazione y dy = + ) d. L integrale di sinistra è immediato, mentre quello di destra si calcola ponendo + ) nella forma + a cui si perviene facilmente ad esempio sommando e sottraendo al numeratore per cui l equazione precedente si riduce a y = ln ln + + c, da cui si ottiene osservando che + è sempre positivo y = ln ln + ) ) +c = ln ln + ) ) +c = ln ) ln + ) ) +c = ln + +c. Segue y =. ln + + c b) Imponendo la condizione y ) = nell integrale generale si ottiene c = ln. La suluzione cercata è quindi y = ln + + ln. c) La soluzione cercata esiste ed è unica poiché in un intorno di la funzione f è continua e la funzione g è di classe C. Tale soluzione non è compresa fra quelle dell integrale generale. È infatti la soluzione stazionaria y =, che ovviamente soddisfa la condizione.

4 3. Sia S la sfera di equazione + y + z 6 z + = e sia π il piano di equazione + y z =. a) Determinare il centro e il raggio della circonferenza che si ottiene dall intersezione di S e π. b) Determinare una equazione cartesiana del piano tangente a S nel punto,, ). a) Innanzitutto, notiamo che la sfera S ha centro C 3,, ) e raggio R = 3. Il centro della circonferenza S π è la proiezione ortogonale di C su π, per cui è l intersezione del piano π e della retta che passa per C ortogonale a π, cioè la retta di equazioni parametriche { = 3 + t. y = t z = t Sostituendo nell equazione del piano si ottiene t = 4 9 9, da cui si ottiene il punto H 9, 8 9, 3 9 che è appunto il centro della circonferenza. La distanza CH del centro C della sfera dal piano π si calcola direttamente oppure con con la formula della distanza punto-piano, ottenendo CH = ) = 4 3. ), Il raggio r della circonferenza si calcola ora facilmente con il teorema di Pitagora: r = R CH = =. 3 b) Poniamo P,, ). Il piano cercato è il piano che passa per il punto P ortogonale al vettore CP. Poiché risulta CP =,, ), tale piano ha equazione ) + y ) z ) = ossia + y z =.

5 4. Sia γ il sostegno della curva piana r : [, π] R definita ponendo a) Calcolare la lunghezza di γ. rt) = t cos t sin t ; cos t + t sin t). b) Verificare che, per ogni valore non nullo del parametro t, la curvatura di γ nel punto corrispondente è uguale a t. c) Pensando a γ come a un filo omogeneo, calcolarne le coordinate del centro di massa. a) La lunghezza lγ) di γ è data dall integrale cui risulta r t) = t = t perché t [, π]). Di conseguenza, risulta lγ) = π r t) dt. Risulta r t) = t sin t ; t cos t), per t dt = π. b) Indichiamo con kt) la curvatura di γ e con Tt) il versore tangente al variare di t. Risulta Tt) = r t) r = sin t ; cos t), t) per cui abbiamo T t) = cos t ; sin t) e quindi T t) =. Poiché risulta kt) = T t) r t), abbiamo kt) = t. In alternativa, si poteva calcolare la curvatura con la formula kt) = r t) r t) r t) 3. Facendo i calcoli, risulta r t) r t) =,, t ), per cui si ha r t) r t) = t, da cui si ottiene kt) = t. c) Indichiamo con CM e y CM l ascissa e l ordinata del centro di massa di γ e indichiamo con t) e yt) le componenti di rt). Risulta e CM = lγ) t) r t) dt = π t cos t t sin t) dt y CM = lγ) Integrando per parti si ottiene yt) r t) dt = π t cos t + t sin t) dt. CM = 6 π e y CM = π.