ALGORITMI E COMPLESSITÀ CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INFORMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA ANNO ACCADEMICO 2014/15

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1 ANNO ACCADEMICO 01/15 Seon sessione i esmi (I ppello) - giugno 015 (B-trees) () Si efinis l struttur ti ei B-tree. () Si T l insieme ei vlori t N per i quli l lero T in figur poss essere onsierto un B-tree i gro minimo t e si pong m = min T, M = mx T (.1) Qunto vlgono m e M? (Motivre l rispost.) (.) Si illustri l inserimento elle hivi 5, 5 e 5 in T, onsierto ome B-tree i gro minimo m. (.) Si illustri l nellzione elle hivi 7, e 57 T, onsierto ome B-tree i gro minimo M. Si G = (V, E) un grfo orientto on un funzione peso vlori reli w : E R, m senz ili i peso negtivo. Sino inoltre,, tre noi istinti i G. Si progetti un lgoritmo effiiente, vlutnone nhe l omplessità omputzionle, per eterminre (qulor esist) un ilo i peso minimo (non neessrimente semplie) pssnte per i tre noi,,, in un orine qulsisi. 10 i se i è potenz estt i 5 ltrimenti. () Si efinisno le nozioni i rete i flusso, flusso, flusso netto, vlore i un flusso, mmino umentnte, tglio e su pità. () Si enuni e si imostri il Teorem el Mssimo Flusso/Minimo Tglio e lo si pplihi per verifire se un flusso to si mssimo per un ssegnt rete i flusso. (Hep i Fioni) () Si efinisno gli leri inomili non orinti, enunino e imostrno le loro più importnti proprietà. () Si inihino le operzioni supportte gli hep i Fioni e on qule omplessità. () Si x un noo i gro k in un hep i Fioni e sino y 1,..., y k i figli i x nell orine in ui sono stti innestti in x. Qule limitzione inferiore è possiile re per egree(y i )? Perhè?

2 ANNO ACCADEMICO 01/15 Seon sessione i esmi (II ppello) - 6 luglio 015 Si illustri l lgoritmo i Kruskl e se ne imostri l orrettezz. Si esriv l lgoritmo i Floy-Wrshll e il suo mito i ppliilità. Quini, opo ver efinito l nozione i hiusur trnsitiv i un grfo orientto, si esriv nhe un lgoritmo per lolre l hiusur trnsitiv i un grfo orientto. () Si efinisno le nozioni i rete i flusso e i flusso. () Si G un rete i flusso e si V l insieme ei suoi vertii. Sino inoltre f 1, f : V V R ue flussi in G. Si onsieri l funzione (f 1 + f ) efinit : (f 1 + f )(u, v) = Def f 1 (u, v) + f (u, v), per ogni (u, v) V V. Si stilis quli proprietà ei flussi sono neessrimente vere per l funzione (f 1 + f ) e quli no, motivno l rispost. 16 i se i è potenz estt i 5 ltrimenti. (Sply trees) () Si esrivno le operzioni i zig-zg, zig-zig e zig in uno sply tree i tipo ottom-up. Quini si eseguno nell orine to le seguenti operzioni sullo sply tree lto: - Serh 10, 16 - Insert 17 - Delete () Si esrivno le operzioni i zig-zg, zig-zig e zig, nonhé l operzione i ssemlggio finle, in un sply tree i tipo top-own.

3 ANNO ACCADEMICO 01/15 Terz sessione i esmi (II ppello) - 06 ottore i se i è potenz estt i 5 ltrimenti. Si esrivno i pssi lu e quelli rossi negli lgoritmi per il lolo el minimum spnning tree. Quini si enuni e si imostri il osietto invrinte el olore. () Si illustri un lgoritmo, vlutnone nhe l omplessità omputzionle, per eterminre in mnier effiiente se un to grfo pesto (G, w), ove G = (V, E) e w : E R, ontiene un ilo i peso negtivo. () Si risolv lo stesso eserizio, m per verifire l eventule presenz i ili i peso positivo. () Si efinisno le nozioni i rete i flusso e i flusso. () Si G un rete i flusso e si V l insieme ei suoi vertii. Sino inoltre f 1, f : V V R ue flussi in G. Si onsieri l funzione (f 1 + f ) efinit : (f 1 + f )(u, v) := f 1 (u, v) + f (u, v), per ogni (u, v) V V. Si stilis quli proprietà ei flussi sono neessrimente vere per l funzione (f 1 + f ) e quli no, motivno l rispost. (Sply trees) () Si esrivno le operzioni i zig-zg, zig-zig e zig in uno sply tree i tipo ottom-up. Quini si eseguno nell orine to le seguenti operzioni sullo sply tree lto: - Serh 0, 1 - Insert 17 - Delete () Si esrivno le operzioni i zig-zg, zig-zig e zig, nonhé l operzione i ssemlggio finle, in uno sply tree i tipo top-own.

4 Prim sessione i esmi (I ppello) 08 ferio 016 Aveno isposizione ue stk, si illustri ome simulre in mnier effiiente le operzioni i Enqueue e Dequeue su un o e si nlizzi l simulzione fornit meinte nlisi mmortizzt (on lmeno il metoo el potenzile). (Hep inomili) () Si efinisno gli leri inomili e si enunino le loro prinipli proprietà, imostrnole egutmente. () Si efinisno gli hep inomili e si fornis un mggiorzione l gro mssimo i un un noo in uno hep inomile ontenente n noi. Si illustri un lgoritmo effiiente (nhe meinte pseuo-oie) per eterminre i mmini minimi un sorgente ssegnt tutti i noi ess rggiungiili in un grfo orientto ilio on funzione peso vlori reli. () Si esriv l lgoritmo i Prim (nhe meinte il suo pseuo-oie) e lo si pplihi l grfo lto, inizino l noo. () Per isuno ei seguenti rhi si stilis se poss fre prte i un minimum spnning tree el grfo lto: (, ), (f, h), (f, g), (e, f). () Si esrivno i osietti pssi lu e pssi rossi neglilgoritmi per il lolo el minimum spnning tree. Quini si enuni l invrinte el olore e lo si imostri limittmente i pssi lu. 10 e i f 6 k h g () Si efinisno le nozioni i rete i flusso, flusso e suo vlore, mmino umentnte, tglio e su pità. 10 () Si illustri il proeimento i For-Fulkerson e lo si pplihi ll rete G lto utilizzno ome riterio i selt ei mmini umentnti quello lessiogrfio (seono il qule, es., il mmino (s,,, t) preee il mmino (s,,, t) he su volt preee il mmino (s,,, t)). s t () Qul è il vlore i un flusso mssimo in G? () Si etermini inoltre un tglio in G i pità minim lolnone l pità

5 Prim sessione i esmi (II ppello) 9 ferio 016 Si G = (V, E) un grfo orientto on funzione peso w : E R + e sorgente s V, i ui noi sono tutti rggiungiili s. () Si efinis il grfo G s = (V, E s) ei mmini minimi s in G (rispetto ll funzione peso w). () Dto un ro (u, v) E, si imostri he (u, v) pprtiene l grfo G s se e solo se δ(s, v) = δ(s, u) + w(u, v), ove δ è l funzione istnz su G inott w. () Si illustri un lgoritmo effiiente per lolre il grfo G s ei mmini minimi. () Si esriv l lgoritmo i Kruskl, fornenone nhe lo pseuo-oie, e lo si pplihi l grfo lto, utilizzno tr rhi el meesimo peso l orinmento lessiogrfio (per ui, es., (, ) preee (, e) he, su volt, preee (i, k)), ove gli rhi stessi sono rppresentti lessiogrfimente (per ui, es., l rppresentzione i riferimento ell ro tr i noi e e è (, e)). () Si esrivno i pssi lu e pssi rossi negli lgoritmi per il lolo el minimum spnning tree e si enuni l invrinte el olore. e Quini si imostri he se opo un erto numero i pssi i olorzione il sottogrfo egli rhi lu non form nor uno spnning tree, llor è possiile eseguire un psso lu. 10 i f 6 k h g () Si efinisno le nozioni i rete i flusso, flusso netto e suo vlore, mmino umentnte, rete resiu, tglio e su pità. () Si enuni e si imostri il Teorem el Mssimo Flusso/Minimo Tglio. 5 i se i è potenz estt i 6 6 ltrimenti. (Hep i Fioni) () Si efinisno gli leri inomili non orinti, enunino e imostrno le loro più importnti proprietà. () Si inihino le operzioni supportte gli hep i Fioni e on qule omplessità. () Si x un noo i gro k in un hep i Fioni e sino y 1,..., y k i figli i x nell orine in ui sono stti innestti in x. Qule limitzione inferiore è possiile re per egree(y i )? Perhè?

6 Prim sessione i esmi (II ppello) 9 ferio 016 (B-trees) Dopo ver efinito in mnier ettglit l struttur ti ei B-tree, si etermini il numero mssimo e il numero minimo i noi he può essere ontenuto in un B-tree i t ltezz h e gro minimo. () Si esriv l lgoritmo i Prim, fornenone nhe lo pseuooie, e lo si pplihi l grfo lto prtire l noo e. () Si esrivno i pssi lu e pssi rossi negli lgoritmi per il lolo el minimum spnning tree e si enuni l invrinte el olore. Quini si imostri he se opo un erto numero i pssi i olorzione il sottogrfo egli rhi lu non form nor uno spnning tree, llor è possiile eseguire un psso lu. 10 e i f 6 k h g () Si efinisno le nozioni i rete i flusso, flusso netto e suo vlore, mmino umentnte, rete resiu, tglio e su pità. () Si G un rete i flusso e si V l insieme ei suoi vertii. Sino inoltre f 1, f : V V R ue flussi netti in G. Si onsieri l funzione f 1 + f efinit : (f 1 + f )(u, v) = Def f 1 (u, v) + f (u, v), per ogni (u, v) V V. Si stilis quli proprietà ei flussi netti sono neessrimente vere per f 1 + f e quli no. i se i è potenz estt i 5 10 ltrimenti. (Hep inomili) () Si efinisno gli leri inomili e si imostri he un lero inomile i gro k h ltezz k e ontiene esttmente k noi. () Si efinisno gli hep inomili. Quini si fornis un esempio i hep inomile ontenente esttmente 8 hivi e si effettui su i esso l operzione i estrzione el minimo.

7 Seon sessione i esmi (II ppello) 06 luglio 016 Si G = (V, E) un grfo orientto on funzione peso w : E R + e sorgente s V, i ui noi sono tutti rggiungiili s. () Si efinis il grfo G s = (V, E s) ei mmini minimi s in G (rispetto ll funzione peso w). () Dto un ro (u, v) E, si imostri he (u, v) pprtiene l grfo G s se e solo se δ(s, v) = δ(s, u) + w(u, v), ove δ è l funzione istnz su G inott w. () All lue ell proprietà (), si illustri un lgoritmo effiiente per lolre il grfo G s ei mmini minimi. () Si esriv l lgoritmo i Kruskl, fornenone nhe lo pseuooie, e lo si pplihi l grfo lto. () Si esrivno i pssi lu e pssi rossi negli lgoritmi per il lolo el minimum spnning tree e si enuni l invrinte el olore. Quini si imostri l invrinte el oloro limittmente gli rhi lu. 10 e i 6 k h f g Si enuni e si imostri il teorem el flusso mssimo/tglio minimo, efineno preliminrmente le nozioni sulle reti i flusso rilevnti per enunire e imostrre tle teorem. 8 i se i è potenz estt i ltrimenti. (Hep i Fioni) () Si enuni e si imostri un lemm he fornis un minorzione ei gri ei figli i isun noo in un hep i Fioni. () Si stilis se poss esistere un hep i Fioni vente l struttur ell lero lto.

8 Terz sessione i esmi (II ppello) 05 ottore 016 () Si illustri un lgoritmo, vlutnone nhe l omplessità omputzionle, per eterminre in mnier effiiente se un to grfo pesto (G, w), ove G = (V, E) e w : E R, ontiene un ilo i peso negtivo. () Si risolv lo stesso eserizio, m per verifire l eventule presenz i ili i peso positivo. (B-trees) Dopo ver efinito in mnier ettglit l struttur ti ei B-tree, si etermini il numero mssimo e il numero minimo i noi he può essere ontenuto in un B-tree i t ltezz h e gro minimo. () Si efinisno le nozioni i rete i flusso, flusso e suo vlore, mmino umentnte, tglio e su pità. 10 () Si illustri il proeimento i For-Fulkerson e lo si pplihi ll rete G lto utilizzno ome riterio i selt ei mmini umentnti quello lessiogrfio (seono il qule, es., il mmino (s,,, t) preee il mmino (s,,, t) he su volt preee il mmino (s,,, t)). s t () Qul è il vlore i un flusso mssimo in G? () Si etermini inoltre un tglio in G i pità minim lolnone l pità i se i è potenz estt i 5 ltrimenti. (Hep i Fioni) () Si efinisno gli leri inomili non orinti, enunino e imostrno le loro più importnti proprietà. () Si inihino le operzioni supportte gli hep i Fioni e on qule omplessità. () Si x un noo i gro k in un hep i Fioni e sino y 1,..., y k i figli i x nell orine in ui sono stti innestti in x. Qule limitzione inferiore è possiile re per egree(y i )? Perhè?

9 ANNO ACCADEMICO 01/15 1 prov in itinere 18 iemre 015 6i se i è potenz estt i ltrimenti. () Si efinis l struttur ti ei B-tree. () Si T un B-tree ontenente esttmente le 11 hivi i : 1 i 11} e tle he l su rie onteng le ue hivi 6 e 1. Dopo ver eterminto il gro minimo t el B-tree T, si illustri l eseuzione elle seguenti operzioni su T : (1) Insert() () Delete() () Delete(16) (5) Delete() () Delete() (6) Delete(10) () Si eterminino il minimo e il mssimo numero i hivi he possono essere ontenute in un B-tree i ltezz h = t e gro minimo t = t + 1, ove t è il gro minimo el B-tree i ui l punto () preeente. () Si enuni e si imostri un lemm he fornise un minorzione ei gri ei figli i isun noo in un hep i Fioni. () Si stilis se poss esistere un hep i Fioni vente l struttur ell lero lto. Si esrivno le operzioni i zig-zg, zig-zig e zig in uno sply tree i tipo ottom-up. Quini si eseguno nell orine to le seguenti operzioni su uno sply tree l ui onfigurzione inizile è quell i un lero inrio ompleto ontenente le hivi i : 5 i 11}: - Serh 1, 18, 16 - Insert 19 - Delete 0 - Serh 10

10 Prim sessione i esmi (I ppello) 08 ferio 016 I PARTE Aveno isposizione ue stk, si illustri ome simulre in mnier e iente le operzioni i Enqueue e Dequeue su un o e si nlizzi l simulzione fornit meinte nlisi mmortizzt (on lmeno il metoo el potenzile). (B-trees) Si etermini il gro minimo el B-tree T lto. Quini si illustri l eseuzione elle seguenti operzioni su T, nell orine to: (1) Delete(1) (6) Insert(1) () Delete() (7) Insert() () Delete() (8) Insert() () Delete() (9) Insert() (5) Delete(5) (10) Insert(5) (Hep inomili) () Si efinisno gli leri inomili e si enunino le loro prinipli proprietà, imostrnole egutmente. () Si efinisno gli hep inomili e si fornis un mggiorzione l gro mssimo i un un noo in uno hep inomile ontenente n noi.

11 ANNO ACCADEMICO 01/15 Seon sessione i esmi (I ppello) - giugno 015 II PARTE Si G = (V, E) un grfo orientto on un funzione peso vlori reli w : E R, m senz ili i peso negtivo. Sino inoltre,, tre noi istinti i G. Si progetti un lgoritmo effiiente, vlutnone nhe l omplessità omputzionle, per eterminre (qulor esist) un ilo i peso minimo (non neessrimente semplie) pssnte per i tre noi,,, in un orine qulsisi. Si esrivno i pssi lu e quelli rossi negli lgoritmi per il lolo el minimum spnning tree. Quini si enuni e si imostri il osietto invrinte el olore limittmente i pssi lu. () Si efinisno le nozioni i rete i flusso, flusso, flusso netto, vlore i un flusso, mmino umentnte, tglio e su pità. () Si enuni e si imostri il Teorem el Mssimo Flusso/Minimo Tglio e lo si pplihi per verifire se un flusso to si mssimo per un ssegnt rete i flusso.

12 ANNO ACCADEMICO 01/15 Seon sessione i esmi (II ppello) - 6 luglio 015 II PARTE Si illustri l lgoritmo i Kruskl e se ne imostri l orrettezz. Si esriv l lgoritmo i Floy-Wrshll e il suo mito i ppliilità. Quini, opo ver efinito l nozione i hiusur trnsitiv i un grfo orientto, si esriv nhe un lgoritmo per lolre l hiusur trnsitiv i un grfo orientto. () Si efinisno le nozioni i rete i flusso e i flusso. () Si G un rete i flusso e si V l insieme ei suoi vertii. Sino inoltre f 1, f : V V R ue flussi in G. Si onsieri l funzione (f 1 + f ) efinit : (f 1 + f )(u, v) = Def f 1 (u, v) + f (u, v), per ogni (u, v) V V. Si stilis quli proprietà ei flussi sono neessrimente vere per l funzione (f 1 + f ) e quli no, motivno l rispost.

13 Prim sessione i esmi (I ppello) 08 ferio 016 II PARTE Si illustri un lgoritmo effiiente (nhe meinte pseuo-oie) per eterminre i mmini minimi un sorgente ssegnt tutti i noi ess rggiungiili in un grfo orientto ilio on funzione peso vlori reli. () Si esriv l lgoritmo i Prim (nhe meinte il suo pseuo-oie) e lo si pplihi l grfo lto, inizino l noo. () Per isuno ei seguenti rhi si stilis se poss fre prte i un minimum spnning tree el grfo lto: (, ), (f, h), (f, g), (e, f). () Si esrivno i osietti pssi lu e pssi rossi neglilgoritmi per il lolo el minimum spnning tree. Quini si enuni l invrinte el olore e lo si imostri limittmente i pssi lu. 10 e i f 6 k h g () Si efinisno le nozioni i rete i flusso, flusso e suo vlore, mmino umentnte, tglio e su pità. 10 () Si illustri il proeimento i For-Fulkerson e lo si pplihi ll rete G lto utilizzno ome riterio i selt ei mmini umentnti quello lessiogrfio (seono il qule, es., il mmino (s,,, t) preee il mmino (s,,, t) he su volt preee il mmino (s,,, t)). s t () Qul è il vlore i un flusso mssimo in G? () Si etermini inoltre un tglio in G i pità minim lolnone l pità

14 Prim sessione i esmi (II ppello) 9 ferio 016 II PARTE Si G = (V, E) un grfo orientto on funzione peso w : E R + e sorgente s V, i ui noi sono tutti rggiungiili s. () Si efinis il grfo G s = (V, E s) ei mmini minimi s in G (rispetto ll funzione peso w). () Dto un ro (u, v) E, si imostri he (u, v) pprtiene l grfo G s se e solo se δ(s, v) = δ(s, u) + w(u, v), ove δ è l funzione istnz su G inott w. () Si illustri un lgoritmo effiiente per lolre il grfo G s ei mmini minimi. () Si esriv l lgoritmo i Kruskl, fornenone nhe lo pseuo-oie, e lo si pplihi l grfo lto, utilizzno tr rhi el meesimo peso l orinmento lessiogrfio (per ui, es., (, ) preee (, e) he, su volt, preee (i, k)), ove gli rhi stessi sono rppresentti lessiogrfimente (per ui, es., l rppresentzione i riferimento ell ro tr i noi e e è (, e)). () Si esrivno i pssi lu e pssi rossi negli lgoritmi per il lolo el minimum spnning tree e si enuni l invrinte el olore. e Quini si imostri he se opo un erto numero i pssi i olorzione il sottogrfo egli rhi lu non form nor uno spnning tree, llor è possiile eseguire un psso lu. 10 i f 6 k h g () Si efinisno le nozioni i rete i flusso, flusso netto e suo vlore, mmino umentnte, rete resiu, tglio e su pità. () Si enuni e si imostri il Teorem el Mssimo Flusso/Minimo Tglio.