Moltiplicatori HW e ALU

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1 Moltiplicatori HW e ALU Prof. Alberto Borghese Dipartimento di Scienze dell Informazione borghese@di.unimi.it Università degli Studi di Milano Riferimenti: Appendice B5 prima parte. Per approfondimenti e HW della moltiplicazione consultare il Fummi. 1/37 Sommario Moltiplicatori ALU /37 1

2 Moltiplicazione mediante shift Lo shift di un numero a dx, di k cifre, corrisponde ad una divisione per la base elevata alla k-esima potenza. Lo shift di un numero a sx, di k cifre, corrisponde ad una moltiplicazione per la base elevata alla k-esima potenza. Esempio: / 10 = = ( x x x 10 0 ) / 10 1 = ( x x x 10 0 ) x 10-1 = ( x 10 x x 10 1 x x 10 0 x 10-1 ) = ( x x x 10-1 ) = 1.3 cvd. Esempio: 3 / 4 = 5, 75 => / 100 = (1x 4 + 0x 3 + 1x + 1x 1 + 1x 0 ) x - = (1x + 0x 1 + 1x 0 + 1x x - ) = 5,75 cvd. 3/37 Prodotti parziali Moltiplicazione decimale Moltiplicando Moltiplicatore 7 8 x 4 3 = prodotto 78 x 43 = 78 x (4 x 10 + x x10 0 ) = 78 x (4 x 10 ) + 78 x ( x 10 ) + 78 x (3 x 10 0 ) Somma dei prodotti parziali 4/37

3 x = Moltiplicazione binaria Moltiplicando Moltiplicatore Somma parziale prodotto x = prodotti parziali 5/37 Prodotti parziali Riporto Somma parziale Moltiplicazione binaria Moltiplicando Moltiplicatore Prodotto x 7 x = 11 = = = > /37 3

4 P = P 0 + P 1 + P = = (P 0 +P 1 ) + P = = S 0 + P Somme parziali e prodotto Moltiplicando Moltiplicatore Somma parziale prodotto x = prodotti parziali 7/37 Moltiplicazione binaria (su 4 bit) Prodotti parziali (AND) Somma parziale (Sommatori) Prodotto Moltiplicando Moltiplicatore x x = 5 10 = *1 * * 0 * 1 = *1* = Il prodotto parziale è = Moltiplicando incolonnato opportunamente 0 8/37 4

5 La moltiplicazione binaria Possiamo vederla come: Un primo stadio in cui si mette in AND ciascun bit del moltiplicatore con il moltiplicando. Un secondo stadio in cui si effettuano le somme (full adder) dei bit sulle righe contenenti i prodotti parziali. 9/37 La matrice dei prodotti parziali Prodotti parziali In binario i prodotti parziali sono degli AND. Sulla linea tanti AND quanto è la lunghezza di A Tanti prodotti parziali quanto è la lunghezza di B 10/37 5

6 La matrice dei prodotti parziali Prodotti parziali b 0 (a 3 a a 1 a 0 ) genera P 0 b 1 (a 3 a a 1 a 0 ) genera P 1 b (a 3 a a 1 a 0 ) genera P b 3 (a 3 a a 1 a 0 ) genera P /37 Il circuito che effettua i prodotti Prodotti parziali b k agisce come interruttore, facendo passare 0 o A 1/37 6

7 Somma delle prime righe dei prodotti parziali p 4 p 3 p Somma dei primi prodotti parziali: Aggiunge il terzo prodotto parziale: p 1 HA e FA non sono equivalenti per i diversi cammini critici. 13/ x 13 x = 11 = = > Somma della terza riga I primi due prodotti parziali sono sommati dalla prima batteria di sommatori. Ogni altro prodotto parziale è sommato da un ulteriore batteria di sommatori x 13 x = 11 = = > /37 7

8 Circuito completo della somma dei prodotti parziali N-1 batterie di sommatori a b 0 P 0 +P 1 -> S 0 a 0 b S 0 +P -> S 1 S 1 +P 3 ->P Problema: overflow: A e B su 3 bit => P su 64 bit. 15/37 Valutazione della complessità Complessità: Half Adder: porte Full Adder: 5 porte a b 0 a 0 b Stadio prodotti (AND): A su N bit B su M bit N * M porte AND Stadio Somme: N sommatori per linea M-1 righe Numero linee Se N = M = 4 numero totale di porte a ingressi = 60 Numero FA per linea CO Tot = (M-1) * [(N-1) * * ] M * N 16/37 Numero HA per linea Primo HA 1a linea Prodotti Parziali 8

9 Valutazione del cammino critico 1 Cammini critici: Half Adder: Somma 1 porta Riporto 1 porta Full Adder: Somma - porte Riporto - 3 porte Gli AND operano in parallelo: ritardo Se N = M = 4 cammino critico totale = 1 CC Tot = 8 + (M-4)*(+3) /37 Osservazioni Cammini critici: Half Adder: Somma 1 porta Riporto 1 porta Full Adder: Somma - porte Riporto - 3 porte Gli AND operano in parallelo: ritardo 1. Architettura modulare, ogni schiera di sommatori lavora sul risultato della schiera superiore e fornisce l input alla schiera inferiore Quanto si guadagna sostituendo ai sommatori a propagazione di riporto sommatori ad anticipazione di riporto? 18/37 9

10 Sommario Moltiplicatori ALU 19/37 Funzione della ALU E integrata nel processore, all inizio degli anni 90 è stata rivoluzionaria la sua introduzione con il nome di co-processore matematico. Esegue le operazioni aritmetico-logiche. E costituita da circuiti combinatori. Utilizza i blocchi di base già visti. Opera su parole (MIPS 3 bit). Le ALU non compaiono solamente nei micro-processori. 0/37 10

11 Problematiche di progetto Velocità (Riporto). Costo. Precisione. Affidabilità Consumo. 1/37 Struttura a livelli di una ALU SEL: Selettore dell operazione a k Parte di calcolo Parte di selezione s k b k Altre informazioni Flusso dell elaborazione /37 11

12 Progettazione della ALU 1 bit a b AND, OR Parte di calcolo Parte di selezione SEL s a b a AND b a OR b SEL SEL = 0 s = AND(a,b) SEL= 1 s = OR(a,b) a b s 1 porta AND 1 porta OR 1 Mux 3/37 AND OR SOMMA La nuova struttura della ALU 1 bit a SEL b s r out 4/37 Perchè SEL non viene messo in ingresso? 1

13 I cammini critici all interno della ALU AND OR a AND b a OR b s = a AND b s = a OR b FA a + b s = a + b Inizio calcolo Dt Dt Dt Dt Dt Dt t 5/37 Valutazione ALU a 1 bit AND OR SOMMA SEL Complessità 1 livello (calcolo): 5+ = 7 Complessità livello (mux): 3*1+(3+*) = 10 (Decoder + AND (semaforo) + OR (congiunzione)) Complessità totale: 7+10 = 17 a b s CC 1 livello: per s out, 3 per r out CC livello: 4 (1 Decoder + (1 AND (semaforo) + OR (congiunzione) CC complessivo: (calcolo) + 1 AND (semaforo)+ (OR selezione) Il CC del decoder non viene contato: r out gli AND del decoder interni al mux sono attivati in parallelo ai circuiti di calcolo 6/37 13

14 Sommario ALU ad 1 bit ALU a 3 bit Comparazione, Overflow, Test di uguaglianza Tecnologie di costruzione di una ALU 7/37 Come collegare le ALU ad 1 bit? ALU a 3 bit SEL Flusso di calcolo Perchè non si può parallelizzare? 8/37 14

15 Valutazione ALU a 3 bit SEL Complessità: 17 x 3 = 544 porte logiche Cammino critico: 3 x 31 (propagazione riporti) + (s 31 ) + 1 (semaforo ultimo mux) + (congiunzione ultimo mux) = 98 porte logiche per 4 operazioni 9/37 Sottrazione In complemento a diventa un addizione: a b = a + b + 1 = 1 + a + b Esempio: s = 3 4; su 3 bit 3 -> > 100 in complemento a 100 = -1 -> 111 in complemento a 111 Posso scrivere il numero negativo in complemento a come somma: 4 -> 100 numero positivo: _ b Passo I Complemento a complemento a 1: b+ Passo II Sommo + 1 1= sommo 1: 1= Risultato Complemento a 100 risultato -b _ Posso quindi scrivere: -b = b /37 15

16 Sottrazione _ In complemento a diventa un addizione: a b = a + b + 1 Serve: a) un inverter (NOT). b) la costante 1 a) y Iff invertib y =!b Aggiunge porte logiche al cammino critico. b) Da dove prendo la costante 1? 31/37 Sottrazione - ALU 0 0 SEL = add a 0 s 0 b 0 FA r in (0) = InvertiB = 1 se sottrazione r out 0 (occorre utilizzare un full adder anche per il bit meno significativo con r in0 = 1). Effettuo quindi la somma di 1 con la somma della prima coppia di bit. 3/37 16

17 Sottrazione - ALU i AND OR SOMMA SOTTRAZIONE a i r in (i) SEL s i b i FA r in (i) = r out (i-1) i = 1,,3,...31 i 0 InvertiB = 1 se sottrazione r out (i) 33/37 Operazioni particolari - ALU i r in (i) SEL E possibile programmare questa ALU per eseguire a i a AND!b s i oppure: b i a OR!b FA InvertiB = 1 SEL = AND, OR La parte di calcolo è comunque separata dalla parte di selezione 34/37 r out (i) 17

18 r in (0) = InvertiB = 1 se sottrazione Sottrazione: ALU a 3 bit NegaB SEL AND OR SOMMA SOTTRAZIONE From_UC SEL r 0 InvertiB And Or Somma Sottr. And 0 0 Or 0 0 Add 0 0 Add 1 1 InvertiB e r 0 sono lo stesso segnale, si può ancora ottimizzare. r in (0) entra solo in ALU 0 InvertiB entra in tutte le ALU i 35/37 ALU a 3 bit con CLA Come realizzare una ALU a 3 bit con: Porte OR Porte AND CLA a 4 bit? Definire complessità e cammino critico Notate che l inverter su b aggiunge complessità e cammino critico. 36/37 18

19 Sommario Moltiplicatori ALU 37/37 19