Osservazioni sulla prima prova intermedia

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1 Avviso Istituzioni di matematiche 2 Diego Noja (diego.noja@unimib.it) 28 aprile 2009 La seconda prova intermedia si svolgerà martedì 26 maggio 2008, dalle alle Cognomi dalla A alla L: aula U6.5 Cognomi dalla M alla Z: aula U6.6 Le lezioni del corso terminano il giorno 11 maggio. CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin Definizioni Osservazioni sulla prima prova intermedia Un poligono è xxxxxxxxx se ha un lato di lunghezza doppia dei due lati ad esso adiacenti. Esiste un triangolo xxxxxxxxx? Esiste un quadrilatero xxxxxxxxx? Esiste un rombo xxxxxxxxx? (Se rispondete si, disegnate un esempio; se rispondete no, date una giustificazione.) Un poligono è xxxxxxxxx se ha tre angoli di 60. Esiste un triangolo xxxxxxxxx? Esiste un quadrilatero xxxxxxxxx? Esiste un trapezio xxxxxxxxx? CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin

2 Definizioni Un poligono è xxxxxxxxx se ha quattro angoli consecutivi di 30. Esiste un triangolo xxxxxxxxx? Esiste un quadrilatero xxxxxxxxx? Esiste un pentagono xxxxxxxxx? Un poligono è xxxxxxxxx se ha tre angoli consecutivi di 45. Esiste un triangolo xxxxxxxxx? Esiste un quadrilatero xxxxxxxxx? Esiste un pentagono xxxxxxxxx? Un esagono xxxxxxxxx? Un poligono è xxxxxxxxx se ha almeno tre lati consecutivi uguali fra loro. Esiste un triangolo xxxxxxxxx? Esiste un quadrilatero xxxxxxxxx? Esiste un pentagono xxxxxxxxx? Un esagono xxxxxxxxx? Isometrie del piano CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 5 CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 6 Isometrie del piano Una trasformazione del piano è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano. Una isometria è una trasformazione f del piano che lascia invariate le distanze. In altre parole, una trasformazione f è una isometria se per ogni coppia di punti e del piano la distanza tra e è uguale alla distanza tra f() e f(). Esempi di isometrie CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 7 CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 8

3 Esempi di isometrie Abbiamo visto i seguenti esempi riflessione rispetto ad una retta r Geogebra utilizza l espressione simmetrico rispetto a una retta rotazione di angolo α attorno al punto O Rotazione di angolo α attorno al punto O α = 270 in senso orario = 90 in senso antiorario O CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 9 CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin0 Rotazione di angolo α attorno al punto O Traslazione di vettore v α = 180 in senso orario O Fissato un vettore v, la traslazione corrispondente è quella trasformazione che manda ogni punto del piano nel punto individuato dal fatto che il vettore abbia la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso di v. CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin1 CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin2

4 Traslazione di vettore v Traslazione di vettore v CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin3 Fissato un vettore v, la traslazione corrispondente è quella trasformazione che manda ogni punto del piano nel punto individuato dal fatto che il vettore abbia la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso di v. un vettore è un segmento in cui si sia stabilito qual è il primo estremo e qual è il secondo estremo (una freccia ) due vettori hanno la stessa direzione se sono paralleli due vettori paralleli hanno lo stesso verso se la freccia va dalla stessa parte CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin4 Rigidità di una isometria Rigidità di una isometria Come le similitudini, anche le isometrie sono trasformazioni rigide : sapere come una isometria si comporta su un pezzo di piano, anche molto piccolo, ci permette di sapere come questa isometria si comporta su tutto il piano. uindi anche se le isometrie sono per definizione trasformazioni di tutto il piano, è lecito considerarne l azione solo su una porzione di piano. iù precisamente, sapere come una isometria si comporta su tre punti non allineati ci permette di ricostruire il comportamento dell isometria su tutto il piano. CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin5 CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin6

5 Rigidità di una isometria Supponiamo di avere tre punti A, B e C non allineati e di conoscere le immagini A, B e C di questi tre punti. Dato un qualsiasi punto è possibile determinare univocamente l immagine di. A B C C B A Composizione di isometrie CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin7 CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin8 Composizione di corrispondenze biun. Comporre due corrispondenze biunivoche significa applicare in sequenza prima una e poi l altra in un ordine definito. A A A A CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin9 A Composizione di trasformazioni Date due trasformazioni, che chiamiamo f e g, applicando prima la f e poi la g (cioè facendone la composizione) otteniamo una nuova trasformazione. La composizione di due isometrie è ancora una isometria. er mostrare ciò occorre mostrare che per ogni coppia di punti del piano A e B se la prima isometria manda A in A e B in B se la seconda isometria manda A in A e B in B allora la distanza tra A e B è uguale alla distanza tra A e B CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin0

6 Composizione di isometrie Basandoci solo sulla definizione di isometria siamo in grado di mostrare che la composizione di isometrie è una isometria. Infatti, qualunque siano i punti A e B del piano, se la prima isometria manda A in A e B in B, allora per le proprietà delle isometrie la distanza tra A e B è uguale alla distanza tra A e B. Analogamente se la seconda isometria manda A in A e B in B, allora si ha anche che la distanza tra A e B è uguale alla distanza tra A e B, ovvero alla distanza tra A e B. Composizione di traslazioni La composizione di traslazioni è ancora una traslazione L ordine non ha importanza CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin1 CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin2 Composizione di riflessioni L ordine ha importanza Che tipo di trasformazione ottengo? CDL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagin3