UNITEXT La Matematica per il 3+2

Transcript

1 UNITEXT La Matematica per il 3+2 Volume 80

2 Vito Michele Abrusci Lorenzo Tortora de Falco Logica Volume 1 Dimostrazioni e modelli al primo ordine

3 Vito Michele Abrusci Dipartimento di Matematica e Fisica Università Roma Tre Roma, Italia Lorenzo Tortora de Falco Dipartimento di Matematica e Fisica Università Roma Tre Roma, Italia UNITEXT La Matematica per il 3+2 ISSN versione cartacea: ISSN versione elettronica: ISBN ISBN (ebook) DOI / Springer Milan Heidelberg New York Dordrecht London Springer-Verlag Italia 2014 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, segreteria@aidro.org e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti In copertina: Ritratto di Aristotele, ii sec dc, tratto da mostra fotografica realizzata per il 450 o anniversario della morte di Michelangelo, presso la Galleria degli Uffizi a Firenze. Gerhard Gentzen, modificato da Wikipedia ( Kurt Gödel, modificato da Wikipedia ( Layout copertina: M. Pianta, Pavia (PV) Impaginazione: PTP-Berlin, Protago T E X-Production GmbH, Germany ( Springer fa parte di Springer Science+Business Media (

4 Prefazione Lo scopo di questa opera, in due volumi, è quello di aiutare il lettore a raggiungere una adeguata formazione universitaria a livello specialistico nella logica, una disciplina che è un naturale luogo di interazione tra filosofia, matematica e informatica. L opera è largamente ispirata dalle novità introdotte dalla ricerca contemporanea, in particolare da quella che è stata promossa dalla logica lineare. Supponiamo che il lettore abbia qualche dimestichezza con i temi e le nozioni principali della logica, quale quella che si può ottenere con un primo corso preliminare di logica (ad esempio, attraverso il volume [1]), o almeno una qualche familiarità con la pratica matematica quale quella che si può acquisire con un percorso universitario di primo livello in matematica o in informatica. Le dimostrazioni dei teoremi nei due volumi dell opera saranno rigorose, nel senso che si cercherà di fornire tutti gli elementi tecnici necessari, evitando però l eccesso di rigore, il rigor mortis, ossia evitando di eccedere nei dettagli che d altronde in buona parte possono essere trovati nella letteratura. Approfondimenti ed esercizi sui temi trattati in questa opera potranno essere trovati sul sito web dedicato che potrà essere un luogo di dialogo tra gli autori ed i lettori: tortora/libro.html Roma, giugno 2014 Vito Michele Abrusci Lorenzo Tortora de Falco

5 Indice 1 Introduzione Preliminari Proposizioni e formule Dimostrabilità e refutabilità delle proposizioni Soddisfacibilità e refutabilità delle formule logiche Formule logiche e proposizioni logiche Problemi sulla dimostrabilità e sulla refutabilità Dimostrabilità logica Dimostrabilità analitica Quadrati aristotelici della dimostrabilità e della refutabilità Dimostrazioni logiche analitiche e sintetiche, regole di trasformazionedelledimostrazioni Problemi sulle formule logiche e sugli insiemi di formule logiche Soddisfacibilità e soddisfacibilità linguistica Quadrato aristotelico della soddisfacibilità e della falsificabilità Quadrato aristotelico della compatibilità e della separabilità Compattezza Alcune nozioni preliminari Relazionid ordine,alberi Definizioni induttive Dimostrazioni per induzione Dimostrazione per induzione e definizioni induttive Dimostrazione per induzione ed ordine lessicografico AssiomadisceltaelemmadiKönig Dimostrabilità e soddisfacibilità Linguaggio formale del primo ordine Alfabeto

6 viii Indice Termini Formule Sequenti Osservazioni conclusive sui linguaggi formali del primo ordine Strutture per un linguaggio del primo ordine Strutture, termini e formule a parametri in una struttura Valutazione di termini, formule e sequenti Calcolodeisequentiperlalogicadelprimoordine Il calcolo dei sequenti LK Regole basilari o gruppo identità: assioma e taglio Regole strutturali: contrazione (contraction) ed indebolimento(weakening) Regole logiche Sequenti derivabili e derivazioni L insieme dei sequenti derivabili logicamente da uninsiemediformule Derivazioni e analisi dei sequenti Correttezza delle regole di LK Qualche proprietà delle regole di LK edeisequentiderivabili Analisi canonica e teorema fondamentale Costruzione dell analisi canonica Analisi canonica senza tagli Analisi canonica con tagli Proprietà dei rami scorretti dell analisi canonica Il teorema fondamentale dell analisi canonica Conseguenze del teorema fondamentale: teoremi di completezza, eliminabilità del taglio, compattezza, Löwenheim-Skolem Teorema di completezza ed eliminabilità del taglio Teorema di completezza forte Teorema di compattezza Teorema di Löwenheim-Skolem Verso la teoria della dimostrazione: il teorema di eliminazione del taglio per LK Eliminazionedeltaglio Primo passo: definizione di T Secondo passo: definizione di T glob e prima strategia dimostrativa Terzo passo: definizione di T rev e seconda strategia dimostrativa Cenni sulla complessità della procedura di eliminazione deltaglio...133

7 Indice ix 4.2 Qualche conseguenza immediata del teorema di eliminazione del taglio Verso la teoria dei modelli: alcune conseguenze del teorema di compattezza Dimostrazione del teorema di compattezza per linguaggi di cardinalità qualsiasi Linguaggi con uguaglianza Il teorema di compattezza per i linguaggi con uguaglianza Correttezza e completezza per i linguaggi con uguaglianza Il teorema di Löwenheim-Skolem per i linguaggi con uguaglianza (numerabili) Limiti espressivi del linguaggio del primo ordine Equivalenza elementare, sottostrutture, sottostrutture elementari Isomorfismo ed equivalenza elementare La nozione di sottostruttura Sottostrutture elementari e diagrammi Iteoremidipreservazione Generalizzazioni del teorema di Löwenheim-Skolem Completezza di una teoria Riferimenti bibliografici Indice analitico...181