Corso di LOGICA II: indagini semantiche su modalità e quantificazione. Uno studio di logica della necessità e della possibilità

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1 Corso di LOGICA II: indagini semantiche su modalità e quantificazione. Uno studio di logica della necessità e della possibilità Luisa Bortolotti Trento, Lezione 24 : IL SISTEMA K-G (1) CAPITOLO 7 Presentiamo infine una dimostrazione dettagliata di completezza per il sistema che denominiamo K-G in quanto caratterizzato dalla presenza di formule G( ) LINGUAGGIO Il Linguaggio L è quello di K-F SINTASSI Definizione Con G( ) indichiamo una fbf della forma: 1 L( 2...L( n ( ))...); =L( ) Assiomatizzazione. Gli assiomi di K-G sono: - tutte le tautologie classiche: - K: L( ) (L L ) - G. x (E(t) (t)) - I1. t=t - I2. t 1 =s 1 t n =s n (P n (t 1,,t n ) (P n (s 1,,s n )), dove P n è una lettera predicativa ad n posti. Le regole di inferenza sono: MP N 1 GARSON J.W., Completeness of Some Quantified Modal Logics, "Logique et Analyse", 21, 1978, pp

2 L GUG G(E(x) (x)) G( x (x)), dove x non è libera in G( x (x)). Lemma K-G x y(x=y) Dimostrazione. K-G x[ y (x=y) (x=x)] K-G x y[ (x=y) (x=x)] K-G x y[x=x x=y] K-G x(x=x) x y[x=x x=y] K-G x y[(x=x) ((x=x) (x=y))] K-G x y[x=y] Per definizione di E(x) si ha che xe(x). 7.3 SEMANTICA Definiamo innanzitutto il concetto di K-G modello. Definizione Un K-G modello M è una quadrupla ordinata M=<W,R,D,V> dove: W: è un insieme non vuoto R : è una relazione binaria su W: R W 2 D : è una funzione tale che associa un insieme D w (il dominio di w) ad ogni w i W, dove vale che D w D v, cioè mondi differenti di W hanno domini diversi V: è una funzione di assegnazione (che interpreta le costanti specifiche del linguaggio) tale che, per ogni w W, soddisfa le seguenti condizioni: - per ogni costante individuale c, V(c) è una funzione tale che V(c)w U, dove U= {D w } w W - per ogni predicato P n ad n posti, V(P n ) è una funzione tale che V(P n )w U n - per il predicato dell'identità, V(=) è una funzione tale che V(=)w (D w ) 2 è una relazione di congruenza rispetto a V(P n )w per ogni P n del linguaggio - per il predicato E, V(E) è una funzione tale che V(E)w=D w Le definizioni di interpretazione e di reinterpretazione ' rimangono quelle date nel capitolo 1. Dato un K-G modello M=<W,R,D,V> definiamo, per induzione, quando una formula ben formata è vera in w W, rispetto al modello M (cioè, quando M = w (x 1,,x n )). Ma, per fare questo, abbiamo bisogno dei concetti, già definiti in precedenza, di valutazione e di soddisfazione. Ricordiamo la definizione ricorsiva di soddisfazione di una fbf: Definizione M = w P n (t 1,,t n ) sse <V (t 1 )w,,v (t n )w> V(P n )w M = w sse M =/= w o M = w M = w sse M =/= w M = w x (x) sse per ogni d D w, M (x/d) = w (x) M = w L sse per ogni v, wrv, M = v Definizione Verità in un mondo w W rispetto al modello M=<W,R,D,V>: M = w sse per ogni : M = w

3 Definizione Una fbf (x 1,,x n ) è vera in un K-G modello M=<W,R,D,V>, cioè M = (x 1,,x n ) sse per ogni w W e tutte le ennuple d 1,,d n di elementi di U, M (x1/d1,,xn/dn) = w (x 1,,x n ). Definizione Una formula ben formata è vera nel sistema K-G, cioè K-G = sse per ogni K-G modello M, M =. Teorema di validità Se K-G, allora K-G =, per ogni fbf. Dimostrazione. Si esegue come il solito per induzione DEFINIZIONI E LEMMI PREPARATORI ALLA DIMOSTRAZIONE DI COMPLETEZZA Descriviamo ora le proprietà di. Sia un insieme di fbf di L: Definizione sse ci sono le fbf 1,, n di tali che K-G 1 n Definizione è K-G-consistente sse se allora / Definizione è K-G-massimale sse se / allora Definizione è K-G-induttivo sse se G(E(t) (t)) per ogni t L, allora G( xa(x)) per ogni variabile x. Definizione è K-G-saturo sse se è K-G-consistente, K-Gmassimale e K-G-induttivo. Definizione è K-G-ricco sse se x (x), allora c'è un termine t di L tale che (t). Lemma Se è un insieme K-G-saturo di fbf, allora è ricco. Dimostrazione. Supponiamo che x (x) e che / (t) per ogni t di L. Poiché è K-G-massimale, (t) per ogni t di L e così x (x), poiché è K-G-induttivo. Quindi xa(x); così giungiamo ad una contraddizione. Lemma Se è un insieme K-G-induttivo, allora = { 1,, n } è K-Ginduttivo. Dimostrazione. Supponiamo che G(E(t) (t)) per ogni t L, per esempio 1 L( 2 L( i (E(t) (t))) ) per ogni 1,, i. Così: ( 1 ) L( 2 L( i (E(t) (t))) ), dove 1 n. Poiché è K-G-induttivo, abbiamo ( 1 ) L( 2 L( i x (x)) ), perciò 1 L( 2 L( i x (x)) ), e così G( x (x)). Lemma Se è un insieme K-G-consistente e K-G-induttivo di fbf, allora esiste un insieme tale che, è K-G-saturo e il linguaggio di è lo stesso rispetto al linguaggio di. Dimostrazione. 1, 2, 3, sia un'enumerazione di tutte le fbf di L. Definiamo poi la seguente catena di insiemi di fbf: Sia 0 = Sia i+1 = - i { i } se i { i } è K-G-consistente e i G( x (x)) - i { i } { G(E(t) (t))} se i G( x (x)), i { i } è K-G-consistente e t è un termine di L tale che i { i } { G(E(t) (t))} è K-G-consistente - i altrimenti. Sia = i, i. Innanzitutto mostriamo che la definizione data di è una "buona" definizione. Per esempio, se i { G( x (x))} è K-G-consistente, allora esiste un termine t di L tale che i { G( x (x))} { G(E(t) (t))} è K-Gconsistente.

4 Supponiamo, per reductio, che per ogni t di L, i { G( x (x))} G(E(t) (t)). Per il lemma7.4.2., i { G( x (x))} G( x (x)) e, di conseguenza, i { G ( x (x))} è non K-G-consistente, contrariamente all'ipotesi di costruzione. 1. e è K-G-consistente per costruzione 2. è K-G-induttivo. Infatti, se / G( x (x)), allora { G( x (x))} è K-G-consistente e i+1 = i { i } { G(E(t) (t))} per qualche termine t di L, dove i G( x (x)). E perciò / G(E(t) (t)), per qualche termine t di L, poiché è K-G-consistente. 3. è K-G-massimale. Infatti se /, allora { } è K-G-consistente, perciò i+1 = i { i }, dove i, così. Lemma Sia un insieme K-G-consistente e finito di fbf di L; allora esiste un insieme di fbf di L tale che: e è K-G-saturo. Dimostrazione. La dimostrazione è simile a quella del lemma precedente. Osserviamo che se è finito, allora i è finito e così i+1 è ben definito. Infatti se i { G( x (x))} è K-G-consistente e t è un termine che non appare neppure in i o in G( x (x)); allora i { G( x (x))} { G(E(t) (t))} è K-G-consistente. Supponiamo che questo non sia il caso, sia i { G( x (x))} G(E(t) (t)), e perciò per GUG, i { G( x (x))} G( x (x)). Così i { G( x (x))} è non K- G-consistente in contraddizione con l'ipotesi di costruzione. Lemma Se è K-G-saturo e L, allora ={ : L } { } è K-G-consistente e K-G-induttivo. Dimostrazione. ' è banalmente K-G-consistente. Dimostriamo invece che ' è K-G-induttivo. Supponiamo che G(E(t) (t)), per tutti i termini t di L. Così: K-G ( 1 n ) ( G(E(t) (t))), per tutti i termini t di L, e K-G (L 1 L n ) L( G(E(t) (t))), per tutti i termini t di L. Perciò: L ( G(E(t) (t))). Poi L( ( 1 2 i (E(t) (t)))) e L (( 1 ) 2 i (E(t) (t))) per tutti i termini t di L ; essendo K-Ginduttivo, L(( 1 ) 2 i x (x))). Per la K-G-massimalità di, L (( 1 ) 2 i x (x)) ; di qui ( 1 ) 2 i x (x) ', e così ( 1 ) 2 i x (x). Poi si ha G( x (x)); e, di conseguenza, G( x (x))), poiché '. Lemma Se è un insieme K-G-saturo di fbf di L tale che L, allora esiste un insieme, K-G-saturo, di fbf di L tale che { : L } { }. Dimostrazione. Questo lemma è direttamente dimostrabile dai lemmi precedenti. Lemma Se K-G /, allora esiste un insieme K-G-saturo, tale che. Dimostrazione. Se K-G /, allora { } è K-G-consistente e finito. Così, per il lemma , esiste l'insieme richiesto. Lemma {E(t)} è K-G-consistente per tutti i termini t. Dimostrazione. Supponiamo che per un qualche t, K-G E(t). Allora per il lemma delle costanti 2, abbiamo che K-G E(x). Poi, a fortiori, otteniamo che 2 Sia SF un sistema formale, S il suo linguaggio, C un insieme di costanti non di L. Definizione: L'ampliamento semplice di SF mediante C, in simboli SF c, è il sistema formale che ha come linguaggio L+C e come assiomi gli assiomi di SF. Si dimostra il seguente importante Lemma delle costanti: Per ogni di L e per ogni n-pla di costanti c 1,,c n di C, se y 1, y n sono n variabili distinte non occorrenti in allora SFC (z 1/c 1,,z n/c n) sse SF (x 1/y 1,,x n/y n) 1)Sia 1,, k una dimostrazione di SF c di (x 1/c 1,,x n/c n). Per ogni i (1 i n), i k sia la formula che si ottiene da i rimpiazzando ogni occorrenza di qualche c j con y j (1 j n). Si constata che: gli assiomi logici di un dato tipo si trasformano in assiomi logici dello stesso tipo; le regole di inferenza continuano ad

5 K-G (Ex Ex). Per la regola GUG, otteniamo che K-G x E(x), in contraddizione con il lemma , K-G xe(x). Quindi {E(t)} è K-Gconsistente per tutti i termini t Luisa Bortolotti essere correttamente applicabili; gli assiomi specifici - che non contengono costanti di C - restano immutati. Allora 1k,, k k è una dimostrazione in SF di (x 1/y 1,,x n/y n). 2)Se SF (x 1/y 1,,x n/y n), allora banalmente SF (x 1/c 1,,x n/c n)