INSIEMI. INSIEME = gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell insieme.

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1 INSIEMI INSIEME = gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell insieme. Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l oggetto appartiene o no all insieme 1

2 Simbologia Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici: A, B, X, Y, A 1, A 2, B 1 gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a 1, a 2, y 1 2

3 Rappresentazione di un insieme Un insieme A si può rappresentare: elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme Esempio: A = {a, b, c, d} Indicando la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme Esempio: A = {x : x è una lettera dell alfabeto} 3

4 I Diagrammi di Eulero-Venn Servono per rappresentare graficamente un insieme. Esempio: A a b c d 4

5 Il simbolo di appartenenza: Î Per indicare che a è un elemento dell insieme A si scrive: a Î A si legge a appartiene ad A". Per indicare che b non è un elemento dell insieme A si scrive: b Ï A si legge b non appartiene ad A". 5

6 CONFRONTO TRA INSIEMI Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: B Í A (oppure A Ê B) e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B") se ogni elemento di B è un elemento di A " b Î B Þ b Î A 6

7 CONFRONTO TRA INSIEMI Insieme vuoto : Æ Insieme privo di elementi Æ Í A (qualunque sia A) Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive: B Ì A (oppure A É B) se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se $ aî A : a Ï B 7

8 CONFRONTO TRA INSIEMI Due insiemi A e B si dicono uguali se ogni elemento di A è anche elemento di B e viceversa: A = B Û (A Í B e B Í A) Due insiemi A e B si dicono diversi se esiste un elemento di uno dei due insiemi che non appartiene all altro: A¹B 8

9 OPERAZIONI TRA INSIEMI UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA COMPLEMENTAZIONE PRODOTTO CARTESIANO 9

10 UNIONE TRA INSIEMI L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B L unione di A e B si scrive: A È B = {x : x Î A o x Î B } Se A = B Se A Ì B A È B = A A È B = B 10

11 UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B

12 UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A È B = {0, 1, 2, 3} A B

13 INTERSEZIONE TRA INSIEMI L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B L'intersezione di A e B si scrive: A Ç B = {x : x Î A e x Î B } Se A = B Se A Ì B Se A Ç B = Æ A Ç B = A A Ç B = A A e B si dicono disgiunti. 13

14 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B

15 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A Ç B = {1, 2} A B

16 DIFFERENZA TRA INSIEMI La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B: La differenza di A e B si scrive A - B = A \ B = {x : x Î A e x Ï B } Se A = B A \ B =Æ Se A Ì B A \ B =Æ 16

17 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B

18 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A \ B = {0} A B

19 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} B \ A = {3} A B

20 INSIEME COMPLEMENTARE Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universo. sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: C U A =A =U \ A = {x : x Î U e x Ï A } 20

21 INSIEME COMPLEMENTARE Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} A 1 2 U

22 INSIEME COMPLEMENTARE Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} C U A =U \ A = {0, 3, 5} A 1 2 U

23 PRODOTTO CARTESIANO Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y) ¹ (y,x) Dati due insiemi A e B, l insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B A B = {(x, y) : x Î A, y Î B} 23

24 PRODOTTO CARTESIANO Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4} A B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} B A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)} 24

25 ESERCIZI Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} Calcolare: A È B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A Ç B = {2, 4} A \ B = {1, 3, 5} B \ A = {6} 25

26 CALCOLO LETTERALE Perché? E opportuno rappresentare i numeri con lettere dell alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri. 26

27 POTENZE Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza ennesima di a a n = a a a n volte Esempio: 3 2 = 3 3 (-2) 2 = (-2) (-2) = 4 (-2) 3 = (-2) (-2) (-2) = -8 27

28 PROPRIETA DELLE POTENZE Dati a, b Î R, m, n Î N a n a m = a n + m a -n = 1 / a n a n : a m = a n m n ³ m; (se n = m, a ¹ 0) (a:b) n = a n : b n b ¹ 0 (ab) n = a n b n (a n ) m = a n m a 0 = 1 28

29 = : 3 3 = 3 1 ((2) 3 ) 2 = (2) 6 (5 2) 2 : 5 0 = (5) 2 (2) 2 (8) 0 =1 3-4 = 1 / 3 4 e 2 e 3 e -4 = e (- 2) 2 (-2) 3 = -32 ESERCIZI 29

30 RADICALI Si dice radice ennesima (n Î N) aritmetica del numero reale non negativo a l unico numero reale non negativo b tale che b n = a b = m n n a Si pone per convenzione: a = n a m 30

31 PROPRIETA DEI RADICALI m kn a km = a n m n a = mn a n n a b = n ab n m ( n ) m a = a n a b m n n m = a b n n a = a n b b b ¹ 0 31

32 ESERCIZI 3 4 a 3 = a = = 5 = a = 6 a 4 5 ( 4 ) 5 a = a =

33 ESPRESSIONE NUMERICA E LETTERALE Una espressione numerica è un insieme di operazioni da eseguire su determinati numeri secondo un determinato ordine: {[(-1+3) 2 8]+(5 4)}:2= Una espressione letterale è una espressione numerica in cui i numeri sono in tutto o in parte rappresentati da lettere: {[(-a+b) 2 c]+(d e)}:2= 33

34 VALORE DI UNA ESPRESSIONE LETTERALE Esempio: se a = 1 b = 0 c = 1 a + 2b + 1/c = 2 N.B. Non è possibile dare a c il valore 0! Insieme di definizione della espressione letterale è l insieme di valori che possiamo attribuire alle lettere senza che l espressione perda di significato 34

35 MONOMIO Una espressione letterale in cui sono presenti solo le operazioni di moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza: Esempio: 3ab 2 3 = coefficiente ab 2 = parte letterale 35

36 Grado di un monomio Grado complessivo del monomio è la somma degli esponenti delle lettere del monomio Grado del monomio rispetto a una lettera è l esponente con cui tale lettera compare nel monomio Esempio: 3ab 2 è un monomio di grado complessivo 3, di grado 1 rispetto ad a, di grado 2 rispetto a b. 36

37 POLINOMIO La somma di più monomi, detti termini del polinomio: Esempio: 3ab + 2ac + 4b 3 Grado complessivo del polinomio è il massimo dei gradi dei singoli monomi (nell esempio 3) Grado complessivo del polinomio rispetto a una lettera è il massimo dei gradi dei singoli monomi rispetto a quella lettera (nell esempio 1 rispetto ad a e c, 3 rispetto a b) 37

38 OPERAZIONI TRA POLINOMI ADDIZIONE SOTTRAZIONE PRODOTTO PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è possibile stabilire il risultato con pochi calcoli DIVISIONE 38

39 QUADRATO DI UN BINOMIO (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (x - y) 2 = x 2-2xy + y 2 Esempi: (a 3b) 2 = a 2 6ab +9b 2 (a + 2b) 2 = a 2 + 4ab +4b 2 ((3/2)a + b 2 ) 2 = (9/4)a 2 + 3ab 2 + b 4 39

40 DIFFERENZE DI QUADRATI Esempi: (x + y) (x - y) = (x 2 - y 2 ) (2x + y) (2x - y) = (4x 2 y 2 ) (2ab 3 + c) (2ab 3 - c) = (4a 2 b 6 c 2 ) (9x 2 y 2 4a 2 b 2 ) = (3xy + 2ab) (3xy - 2ab) (x-3) 4 81 = [(x 3) 2 9] [(x 3) 2 +9] = [(x 3) 3] [(x 3) +3] [(x 3) 2 +9] 40

41 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Mediante l uso dei prodotti notevoli Raccoglimenti a fattore comune: Esempio: 6ab + 2a 3 c - 8ab = 2a (3b + a 2 c 4b) Raccoglimenti parziali successivi: Esempio: 9a 2 b 3-3a 3 b 2 + 6bc - 2ac = 3a 2 b 2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a 2 b 2 +2c) 41

42 DIVISIONE TRA POLINOMI Prenderemo in considerazione solo polinomi in una variabile Siano P 1 e P 2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P 1 maggiore o uguale al grado di P 2. Esistono allora due polinomi Q ed R tali che: P 1 = Q P 2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto. 42

43 ESEMPIO (2x 5 3 x 3 + x + 1) : ( x 3 x 2 +1) 2x x 4 3 x x 2 + x + 1 x 3 x

44 ESEMPIO (2x 5 3 x 3 + x + 1) = (2 x 2 +2 x 1) (x 3 x 2 +1) + (- 3 x 2 - x + 2) P 1 = Q P 2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto. N.B. P 1 è divisibile per P 2 se il resto è uguale a zero. 44

45 ESEMPIO: (20 x 4 14 x x - 32) : (4x 2 + 2x - 4) 20 x 4 14 x x x x 2 + 2x

46 EQUAZIONI Prendiamo in considerazione delle funzioni reali in una variabile reale Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile f(x) = g(x) La variabile è detta incognita dell equazione 46

47 SOLUZIONI I particolari valori per cui questa è verificata sono detti soluzioni o radici dell equazione Le soluzioni vanno cercate nell intersezione dei domini delle due funzioni. Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x. Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile Equazione possibile 47

48 PRINCIPI DI EQUIVALENZA Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni oppure se sono entrambe impossibili 1) f(x) = g(x) f(x) +h(x) = g(x) +h(x) con h(x) espressione qualsiasi nella variabile x. 2) f(x) = g(x) mf(x) = mg(x) con m numero qualsiasi diverso da zero. 48

49 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Si dice equazione di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x + b = 0 con a, b coefficienti numerici, a ¹ 0. Soluzione: Esempio: x = - b / a 2x - 3 = 0 x = 3 / 2 49

50 EQUAZIONI DI 2 o GRADO Si dice equazione di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x 2 + b x + c = 0 con a, b, c coefficienti numerici e a ¹ 0. SPURIA: a x 2 + b x = 0 x(a x + b) = 0 x = 0 x = - b / a PURA: a x 2 + c = 0 x =± - c a 50

51 COMPLETA D > 0 a x 2 + b x + c = 0 2 soluzioni reali e distinte x 1,2 = 2 - b± b - 4ac 2a x 1,2 - b 2 ± æ b ö ç è 2 ø a 2 - ac D = 0 D < 0 2 soluzioni coincidenti nessuna soluzione in R 51

52 ESEMPI 2 x 2-7 x + 3 = 0 D = > 0 x 1,2 = 7 ± 4 5 x 1 =3 x 2 =1/2 52

53 ESEMPI 25x x +1 = 0 D = = 0 x 1,2-5 1 = = x 2-3 x + 8 = 0 D = 9 32 < 0 non ha soluzioni in R. 53

54 RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI a x 2 + b x + c = 0 2 b c 2 x + x+ = 0 x - sx+ p a a b+ b -4ac -b- b -4ac 2b b s = x1+ x2 = + =- = - 2a 2a 2a a b+ b -4ac -b- b -4ac b - b + 4ac c p = x1 x2 = = = 2 2a 2a 4a a 54

55 ESERCIZI Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5: ex: a = 1 x x - 5 = 0 x 1 = 1 x 2 = -5 Determinare a meno di un coefficiente di proporzionalità l equazione di 2 o grado le cui soluzioni hanno per somma s= -3/10 p = -1/10 x 2 + (3/10) x - 1/10 = 0 55

56 FATTORIZZAZIONE a x 2 + b x + c = 0 1) D > 0 a (x - x 1 ) (x - x 2 ) 2) D = 0 a (x - x 1 ) 2 3) D <

57 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Fattorizzare il polinomio mediante raccoglimenti: ES: x 3 + x 2 + x + 1 = 0 x 2 (x + 1) + x + 1 = 0 (x 2 + 1) (x + 1) = 0 x = - 1 RUFFINI (non presente nel test) 57

58 BIQUADRATICHE ax 4 + bx 2 + c = 0 (1) Pongo x 2 = t at 2 + bt+ c = 0 (2) Se la (2) ha soluzioni reali t 1 e t 2 ponendo: x 2 = t 1 e x 2 = t 2 si ottengono le soluzioni dell equazione (1). Se la (2) non ha soluzioni reali, anche la (1) non ha soluzioni reali 58

59 ESEMPIO x 4-3x 2-4 = 0 x 2 = t t 2-3t - 4 = 0 t 1 = -1 t 2 = 4 x 2 = -1 x 2 = 4 x 1 = 2 x 2 = -2 non ammette soluzioni reali 59

60 DISEQUAZIONI Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare: f(x) > g(x) f(x) ³ g(x) f(x) < g(x) f(x) g(x) 60

61 SOLUZIONI Le soluzioni vanno cercate nell insieme: I = D(f) ÇD(g) Possibile: un sottoinsieme di valori dell insieme I verifica la disequazione (ex: x < 1) Identicamente verificata: tutti i valori dell insieme I verificano la disequazione (ex: x 2 +1 > 0) Impossibile: nessun valore dell insieme I verifica la disequazione (ex: x < 0) 61

62 PRINCIPI DI EQUIVALENZA Due disequazioni si dicono equivalenti se ogni soluzione della prima è soluzione della seconda e viceversa. 1) f(x) > g(x) f(x) + h(x) > g(x) + h(x) con h(x) espressione qualsiasi nella variabile x. 2) f(x) > g(x) m f(x) > m g(x) ( m > 0 ) m f(x) < m g(x) ( m < 0 ) 62

63 ESEMPIO x > -2x > 24 x <

64 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO a e b reali, a ¹ 0 Soluzione x > b/a a x > b Esempio: 2x > 2 x > 1 64

65 DISEQUAZIONI DI SECONDO a x 2 + b x + c > 0 a, b, c reali, a ¹ 0 GRADO Supponiamo a > 0 1) D > 0 a (x - x 1 ) (x - x 2 ) 2) D = 0 a (x - x 1 ) 2 3) D <

66 Studio il segno di: 1) (x - x 1 ) > 0 2) (x - x 2 ) > 0 D > 0 Applico la regola dei segni: x 1 x 2 (x - x 1 ) (x x 2 )

67 D > 0 caso a > 0 P(X) > 0 xî{xîr: x < x 1 } È {xîr: x > x 2 } P(X) < 0 xî{xîr: x 1 < x < x 2 } P(X) = 0 xî{ x 1, x 2 } 67

68 D = 0 caso a >0 a (x - x 1 ) 2 P(X) > 0 xîr \ {x 1 } P(X) < 0 mai P(X) = 0 x = x 1 68

69 D < 0 caso a >0 P(X) > 0 xîr P(X) < 0 mai P(X) = 0 mai 69

70 ESEMPIO 4 x x + 9 > 0 D = = 0 x 1,2-6 3 = =- 4 2 S = xîr \ {-3/2} 70

71 ESEMPIO -3 x 2-5 x + 2 > 0 3 x x - 2 < 0 D = = 49 > 0 x 1,2-5 ± 49 = = 6 x 1 = -2 x 2 = 1/3 S = xî{xîr: -2 < x < 1/3} 71

72 ESEMPIO 3 x 2 - x + 2 < 0 D = 1 24 < 0 S={Æ} 72