Serie di funzioni. Hynek Kovarik. Analisi Matematica 2. Università di Brescia

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1 Serie di funzioni Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 1 / 20

2 Serie di funzioni Sia I un intervallo di R e sia f n : I R una successione di funzioni. Per ogni x fissato in I consideriamo la serie numerica f n (x). Al variare di x I, otteniamo una serie di funzioni. Se per ogni x fissato in I la serie numerica f n (x) converge, diverge, è indeterminata, diciamo che la serie di funzioni converge, diverge, è indeterminata in I. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 2 / 20

3 Sia k S k (x) = f n (x), x I la successione delle somme parziali. Ricordiamo che per ogni x I fissato la serie numerica f n (x) 1 converge quando la successione delle somme parziali S k (x) ha limite finito per k +. 2 diverge positivamente o negativativamente quando S k (x) ha limite + o per k +. 3 è indeterminata quando S k (x) non ha limite per k +. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 3 / 20

4 Esempio La serie geometrica x n, x R 1 converge alla funzione 1 1 x 2 diverge positivamente per x 1 per x < 1. 3 è indeterminata per x 1. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 4 / 20

5 Funzione somma Consideriamo ora il caso in cui la serie sia convergente in ogni punto di I, cioè il caso in cui la successione S k (x) delle somme parziali covegre puntualmente; lim S k(x) = S(x) x I. k Chiamiamo S(x) la funzione somma. Ci chiediamo sotto quali condizioni le proprietà come continuità, derivabilità, etc. della successione {f n } si conservano nella funzione somma S(x). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 5 / 20

6 Continuità ; convergenza uniforme Definizione Per n N, sia f n : I R. Diciamo che la serie f n (x) converge uniformemente in I se la successione delle somme parziali S k (x) converge uniformemente a in I, cioè se vale S(x) = lim sup S k (x) S(x) = lim k + x I f n (x) sup k + x I n=k+1 f n (x) = 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 6 / 20

7 Esempio g n (x) = 1 + Questa è una serie telescopica e si ha S k (x) = Perciò la serie ( x n x n 1), x [0, 1]. k k ( g n (x) = 1 + x n x n 1) = x k. g n (x) converge puntualmente ma non uniformemente in [0, 1]. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 7 / 20

8 Teorema Per n N, sia f n : I R continua in I. Se la serie f n (x) converge uniformemente in I alla funzione somma S, allora S è una funzione continua in I. Dimostrazione: La funzione S k è continua in I per ogni k N (essendo una somma finita di funzioni continue). Quindi la funzione somma S : I R è un limite uniforme di una successione di funzioni continue. Ne segue che S è continua in I Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 8 / 20

9 Integrazione per serie Teorema Per ogni n N, sia f n : [a, b] R integrabile in [a, b]. Se la serie f n (x) converge uniformemente a S(x) in [a, b], allora S(x) è integrabile in [a, b] e vale b a S(x) dx = b a f n (x) dx = b a f n (x) dx. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 9 / 20

10 Dimostrazione: La funzione S k è integrabile in in [a, b] per ogni k N (essendo una somma finita di funzioni integrabili). Siccome s k S uniformemente in [a, b], si ha b a b b f n (x) dx = lim S k (x) dx = k a a lim S k(x) dx k = b a f n (x) dx Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 10 / 20

11 Esempio La serie geometrica converge per x < 1 : x n = S(x) = 1 1 x x < 1. Inoltre, dato a con 0 < a < 1, la serie geometrica converge uniformemente in [ a, a]. Infatti S(x) S k (x) = x n x n = x k+1 n=k+1 n=k+1 m=0 x m Quindi = x k+1 1 x lim sup a k+1 S(x) S k (x) lim k x a k 1 a = 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 11 / 20

12 Sia ora x < 1. La serie quindi converge uniformemente in [x, 0] se 1 < x < 0, e in [0, x] se 0 < x < 1 e si ha x 0 t n dt = x = 0 x 0 t n dt = 1 dt = log(1 x) = 1 t Ora sostituiamo x con x. Otteniamo = x n+1 + n + 1 = log(1 + x) = ( 1) n x n n = ( 1) n+1 x n n = x x x 3 x n n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 12 / 20

13 Derivazione per serie Teorema Per n N, sia f n : I R derivabile in I. Supponiamo che converga puntualmente a S(x) in I e che f n converga f n (x) uniformemente a G in I, con S, G : I R. Allora S(x) è derivabile in I e Inoltre ( + S (x) = f n (x)) = f n converge uniformemente a S in I. f n(x), x I. (1) Se vale (1) diciamo che la serie è derivabile termine a termine. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 13 / 20

14 Resta aperto il problema di capire quando si ha la convergenza uniforme di una serie di funzioni. Definizione Sia I un intervallo di R e sia f n : I R una successione di funzioni. Diciamo che la serie f n (x) converge totalmente in I se esiste una successione numerica reale {a n } n N a termini non negativi e tale che : i) f n (x) a n, x I e n N; ii) a n è convergente. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 14 / 20

15 Criterio di Weierstrass Teorema Se la serie uniformemente in I. f n (x) converge totalmente in I, allora essa converge Osserviamo che fissato x, da f n (x) a n per ogni n N e per il criterio del confronto, si ha che f n (x) converge, cioè se la serie f n (x) converge totalmente, allora converge anche assolutamente. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 15 / 20

16 Abbiamo quindi il seguente schema riassuntivo: conv. totale conv. uniforme conv. puntuale conv. assoluta conv. puntuale Non esiste alcun legame tra la convergenza uniforme e la convergenza assoluta! Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 16 / 20

17 Esempio La serie esponenziale converge per ogni x R alla funzione somma S(x) = e x : x n n! = ex x R. Inoltre in ogni intervallo del tipo [ b, b], con b > 0, si ha che x n n! bn, n N, x b. n! Poiché b n n! converge, la serie esponenziale converge totalmente in [ b, b] e dunque anche uniformemente in [ b, b], per ogni b > 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 17 / 20

18 Esempio Sia f n (x) = da cui si trova che Quindi i) f n (x) = ii) x x 2 con x [0, + [, n > 0. Si ha + n3 f n(x) = n3 x 2 (x 2 + n 3 ) 2, sup f n (x) = max f n(x) = f n (n 3/2 ) = 1 x 0 x 0 2n 3/2 x x 2 + n 3 f n(n 3/2 ) = 1 è convergente. 2n3/2 1 2n 3/2 ; Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 18 / 20

19 Esempio Dunque la serie somma: f n (x) converge totalmente in [0, + [ alla sua x x 2 + n 3 = S(x) x R Per il criterio di Weierstrass converge a S(x) uniformemente e quindi S(x) è una funzione continua in [0, + [. Essa è anche derivabile? Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 19 / 20

20 Si ha i) f n(x) x 2 + n 3 (x 2 + n 3 ) 2 = 1 x 2 + n 3 1 n 3, ii) La serie 1 n 3 è convergente, f n(x) quindi converge totalmente in [0, + [. Per il criterio di Weierstrass questa serie converge uniformemente e dunque S(x) è una funzione derivabile in [0, + [ con derivata continua e vale S (x) = f n(x) x R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di funzioni Analisi Matematica 2 20 / 20