Circuiti combinatori Sintesi mediante mappe di Karnaugh Mappe di Karnaugh con 5 variabili

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1 Fondamenti di Informatica B Esercitazione n.2n Fondamenti di Informatica B Circuiti combinatori Esercitazione n.2n Sintesi mediante mappe di Karnaugh Mappe di Karnaugh con 5 variabili CIRCUITI COMBINATORI: la relazione ingresso/uscita non dipende dal tempo privi di stato interno Vedremo reti combinatorie ad uscita: reti a più uscite possono essere scomposte nel parallelo di più reti ad uscita Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 2 Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 3 Obiettivi della minimizzazione logica: minimizzare il numero di porte a pari numero di porte, minimizz.. il numero di ingressi Minori costi Non più forme canoniche in senso stretto, minterm e materm, ma SdP e PdS minime, implicanti (implicati) principali ed essenziali Un minterm è una espressione prodotto che contiene in modo affermato o negato tutte le variabili della funzione. f = AB Il numero di porte è elevato (6) ed anche il numero di letterali (25) Sfruttando le regole dell algebra Booleana possiamo ridurre il numero di porte e letterali necessari f = A D + B C D Abbiamo minimizzato la funzione: numero di porte = 3, numero di letterali = 7: passiamo da minterm ad implicanti Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 4 Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 5 Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 6

2 Un implicante deve ricoprire un numero di celle che sia potenza di 2:, 2, 4, 8, 6, 32. Un implicante si dice principale se non può essere espanso ulteriormente. Un implicante principale si dice essenziale se copre che non sono s già coperti da nessun altro implicante. X Implicante non principale Implicante principale Implicanti principali essenziali Implicante principale non essenziale Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 7 Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 8 Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 9 Stesse considerazioni valgono per: materm PdS minima implicati implicati principali implicati principali ed essenziali METODO LLE MAPPE DI KARNAUGH. Trovare tutti gli implicanti (implicati) principali essenziali 2. Scegliere un insieme irridondante di ulteriori implicanti (implicati) principali, la cui somma (prodotto) copra la funzione ed il cui costo sia minimo 3. Formalizzare l espressione minima 4. Rappresentare con una RLC a 2 livelli Attenzione all ordine delle righe e delle colonne: muovendosi da una cella a quella vicina orizzontalmente o verticalmente cambia il valore di sola variabile (anche sui bordi). AB Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 2 2

3 Attenzione ai bordi delle mappe: AB AB Esercizio f(a, B, C, D) = P (, 3, 7, 8, 9, 2, 3, 5) Minimizzare la funzione sia come somme di prodotti che come prodotti di somme Esercizio Soluzione con Somme di Prodotti (copertura degli ). Trovare tutti gli implicanti principali della funzione e, tra questi, identificare quelli essenziali: gli implicanti principali essenziali devono comparire nella forma minima della funzione Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 3 Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 4 Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 5 Esercizio Esercizio Esercizio 2. Trovare un set irridondante di implicanti principali tali che tutti gli siano coperti e, togliendo uno qualsiasi di questi implicanti gli non siano più tutti coperti. Questa funzione ha almeno 2 coperture irridondanti: ottima perché contiene il minor numero di prodotti (quindi, di porte) Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 6 3. Formalizzare l espressione minima: f = A C + A B D + B C D Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 7 4. Rappresentare l espressione minima con una RLC a 2 livelli con AND e OR Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 8 3

4 Esercizio Mettendo 2 NOT lungo le linee 4 porte letterali Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 9 Esercizio Grazie ad una delle leggi di De Morgan = 4 porte letterali Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 2 Esercizio Soluzione con Prodotti di Somme (copertura degli ). Trovare tutti gli implicati principali della funzione e, tra questi, identificare quelli essenziali: siccome tutti gli implicati principali trovati sono anche essenziali abbiamo trovato il Prodotto di Somme minimo Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 2 Esercizio 3. Formalizzare l espressione minima: Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 22 f = A D + C D + A B C + A B C f = A D + C D + A B C + A B C f = ( A D ) (C D ) ( A B C ) (A B C ) f = ( A + D ) (C + D ) ( A + B + C )(A + B + C ) f = (A + D ) (C + D ) (A + B + C ) (A + B + C ) Da notare come sia sufficiente negare le variabili degli implicati per ottenere il Prodotto di Somme corretto: f = A D + C D + A B C + f = (A + D ) (C + D ) (A + B + C ) (A + B + C ) Di seguito negheremo subito le variabili degli implicati e passeremo direttamente al Prodotto di Somme. Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 23 A B C Esercizio 4. Rappresentare l espressione minima con una RLC a 2 livelli con OR e AND Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 24 4

5 Esercizio Mettendo 2 NOT lungo le linee Esercizio Grazie ad una delle leggi di De Morgan = Esercizio 2a 5 porte 4 letterali 5 porte 4 letterali Minimizzare la funzione come somme di prodotti, considerando le condizioni di indifferenza come Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 25 Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 26 Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 27 # porte = 5 # letterali = 7 Esercizio 2a f = +A C D + A B C + A B D Esercizio 2b Minimizzare la funzione come somme di prodotti, sfruttando le condizioni di indifferenza in modo adeguato Esercizio 2b Differenze nel procedimento: Attribuire un () potenziale a tutte le indifferenze Trovare tutti gli implicanti (implicati) principali che non coprano solo indifferenze f = A B+A C + B D # porte = 4 # letterali = 9 Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 28 Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 29 Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 3 5

6 In assenza di condizioni di indifferenza è sempre possibile passare dalla funzione espressa in Somme di Prodotti alla funzione espressa in Prodotti di Somme sfruttando le regole dell algebra booleana. Tale procedimento è in generale impossibile in presenza di condizioni di indifferenza ed è errore grave. Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 3 Adiacenza delle celle omologhe delle 2 tabelle Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 32 E= E= E E E = Si può considerare tridimensionalmente la tabella E = Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 33 Le copertura degli, o degli, va eseguita contemporaneamente su entrambe le tabelle utilizzando le stesse regole utilizzate per funzioni con meno di 5 variabili, tenendo conto dell adiacenza delle celle omologhe delle due tabelle. Considerare separatamente le due tabelle e successivamente unire i risultati è un errore grave. Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 34 Esercizio 3 Minimizzare la funzione di 5 variabili come somme di prodotti, sfruttando le condizioni di indifferenza Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 35 E= E= # porte = 5 # letterali = 5 Esercizio 3 E= Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 36 E= f = A B + B D + A C E + A B C E 6

7 Si abbia un numero binario di 5 bit, A, B, C, D, E, essendo A il più significativo ed E il meno significativo. Si determini:. la funzione booleana che valga solo quando il numero in questione è primo, tenendo presente che lo zero non è un numero primo; 2. l espressione minima della funzione booleana come somma di prodotti e come prodotto di somme. Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B BC Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B BC A= A= BC # porte = 7 # letterali = 28 A= BC Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 39 A= f = B C E + B D E + + A C D E + A C D E + A B C E (soluzione alternativa) BC # porte = 7 # letterali = 28 A= BC Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 4 A= f = B C E + A B E + + B C D E + A C D E + A C D E Una mappa può dare 2 coperture diverse? BC BC Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 4 B C D + B C E + B D E = B C E + B D E + B C D B C D (E + E )+BCE(D + D )+B (C + C )=... B C +B C D E +B E+B E+B E + B E =... B (C + C ) B C E (D + D ) B(E + E ) B + B C E + B= B C E + B + B BC (A + B + C) (A+B+C + D) # porte = 9 # letterali = 3 A= BC Esercitazione n.2 Mappe di Karnaugh Fondamenti di informatica B 42 A= f = (D + E ) (C + E ) (B + E ) (B + C + D) (A + B + C + D)(A+E) 7