Sintesi dei pun+ principali tra0a+ nelle schede di lavoro di Geometria

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1 Sintesi dei pun+ principali tra0a+ nelle schede di lavoro di Geometria

2 Le schede fanno rifle0ere su aspe9 cruciali, me0endo in discussione misconcezioni che possono essere presen+ Le schede, inoltre, suggeriscono a9vità che si possono proporre in classe Le schede sono par+colarmente u+li per rifle0ere sul rapporto tra Realtà e Modello matema+co (Modello della Geometria)

3 Altezze e aree

4 Altezze e area di un triangolo Spesso si trova sui libri di testo di scuola primaria la seguente definizione di altezza del triangolo: Il segmento perpendicolare che unisce un ver8ce con il lato opposto Tale definizione però è errata perché non vale per i triangoli con un angolo o0uso (nei quali due altezze uniscono i ver+ci ai prolungamen+ dei la+). Occorre dunque modificare la definizione, perché In matema+ca una definizione è ben posta se vale per tu0e le possibili situazioni. Una definizione corre1a, valida per tu9 i +pi di triangoli, è la seguente: L altezza rela8va a un lato è un segmento che unisce perpendicolarmente un ver8ce con il lato opposto o il suo prolungamento Si può anche notare che tale definizione evidenzia che le altezze sono tre: è bene ricordarlo sempre ed insegnare a disegnarle tu0e.

5 Realtà e modello matema+co

6 Potenzialità delle a4vità suggerite dalle schede

7 Potenzialità Imparare ad operare con casi generali, evitando la formazione di misconce9: un triangolo può non avere la: paralleli al bordo del foglio. Se a scuola si lavora solo con casi par/colari (triangoli con un lato parallelo alla linea dei quadre5), i bambini confondono facilmente il conce;o di perpendicolarità con lo stereo/po di altezza = segmento dri;o intendendo che segue la linea del quadre;o.!

8 Potenzialità Far rifle0ere sui conce9 (nuovi o già no/) di altezza e di perpendicolarità nel piano come relazione tra segmen: (Modello).

9 Potenzialità Gli esercizi propos+ sulle aree di triangoli e poligoni me0ono i bambini di fronte ad un problema concreto: devono misurare i la+ con il righello (Realtà), s:mare e calcolare un area (u/lizzando eventualmente una calcolatrice) applicando la formula in almeno due modi diversi (Modello).

10 Potenzialità Introdurre/riprendere i conce= di approssimazione, arrotondamento e s:ma per far prendere coscienza delle conseguenze pra+che dell a9vità di misura nei calcoli. Ad esempio: Se si chiede di misurare i la+ di un poligono e di calcolarne l area in due modi diversi, ci aspe9amo due risulta+ uguali perché il poligono è uno (Modello). Il fa0o che, invece, nei nostri esempi si o0engano risulta+ differen+ è spiazzante e impone una riflessione: nel modello le aree devono essere uguali, ma nella realtà ci sono le approssimazioni quindi devo far finta che due valori diversi (o;enu/ nel Modello con formule) siano uguali (cioè interpretarli nella Realtà). Occorre quindi rifle1ere sulla differenza tra calcolo e s:ma dell area (in generale di una misura): il calcolo si ha con misure esa0e (cioé teoriche, nel modello) mentre la s:ma si ha quando si lavora con misurazioni (nella Realtà).

11 Potenzialità Dis8nguere tra figura geometrica teorica e figura geometrica disegnata Si parla di figura geometrica disegnata quando ragioniamo nella realtà e il disegno, per esempio un triangolo isoscele, è analizzato come quel par+colare triangolo (con le sue misure in scala o reali) su cui ragiono in termini di misura, osservazione e su possibili proprietà. Se calcolo l area può differire da bambino a bambino. Si parla di figura geometrica teorica quando ragioniamo nel modello (u/lizzo il linguaggio geometrico; riconosco nella figura proprietà note, relazioni note, u/lizzo definizioni e formule note, ). La figura, per esempio il disegno di un triangolo isoscele, è analizzata come un generico triangolo isoscele (cioè un elemento rappresenta/vo della classe dei triangoli isosceli ) su cui ragiono in termini teorici u+lizzando le sue proprietà: devo sapere, senza misurare, che ha due la+ uguali, due angoli uguali, che l altezza è anche mediana e bise0rice. Anche se i bambini disegnano triangoli isosceli di grandezze diverse, TUTTI a0ribuiscono ai la+ lo stesso valore e il calcolo dell area è ESATTO e uguale per tu9.

12 Potenzialità Far imparare ad analizzare una figura da diversi pun: di vista, così come imparare a risolvere un problema con più soluzioni.

13 Potenzialità Far rifle0ere sul conce0o (nuovo o già noto) di area come misura: misurare una superficie vuol dire contare quante volte l unità di misura di area scelta sta nella superficie da misurare. Si può lavorare con unità di misura convenzionali (m 2, cm 2, ) e non (cartoline, quadre9, quaderni,... ) rispondendo a domande del +po: quante cartoline misura l area del banco? (a9vità di pre- misura). I valori di area così determina+ possono poi essere trasforma+ nelle unità di misura convenzionali.

14 Potenzialità Far rifle0ere su ruolo e u:lizzo delle formule e capire che si può calcolare un area anche senza formule. Le formule sono strumen+ del modello, ma si può calcolare un area anche ricorrendo ad una sua s:ma a0raverso quadre0ature o triangolazioni. Questo procedimento vale sopra0u0o nella realtà dove è pra+camente impossibile trovare figure regolari, quindi non esistono formule adeguate. A scuola, invece, si insegnano tante formule diverse che valgono solo per i poligoni regolari e il calcolo di aree di poligoni reali? E molto più u+le imparare a scomporre i poligoni (regolari e non) in altri poligoni più semplici o in soli triangoli: si tra0a di un abilità più spendibile nella realtà (costruzione car+ne, ) e una volta acquisita aiuterà anche a ricostruire consapevolmente le formule consuete, senza doverle imparare a memoria.

15 Potenzialità Ad esempio: 1) si disegna il triangolo su carta a quadre9 o millimetrata o si tassella la figura con quadre9, 2) si conta il numero di quadre9 interni alla figura 3) si s+ma il numero di quadre9 al bordo della figura (quindi non interni) 4) il numero totale di quadre9 darà la misura dell area in quadre9; se si vuole rispondere in termini di misure convenzionali, occorre conoscere la misura dell area di un quadre0o. Tale a=vità di pre- misura rende consapevoli che l'area è una misura e che la formula non è necessaria, ma è uno strumento efficace del modello geometrico

16 Ver+calità, orizzontalità, parallelismo e perpendicolarità nel piano e nello spazio

17 Parallelismo e perpendicolarità sono conce4 geometrici che esprimono una relazione tra due en+ geometrici (re0a con re0a, re0a e piano, piano e piano,.), defini: con il linguaggio della geometria euclidea del piano o dello spazio e sono assolu: (non dipendono cioè dal posto in cui si osservano o dalla posizione dell osservatore). Orizzontalità e ver:calità sono conce4 dello spazio fisico, controllabili opera+vamente e validi localmente in quanto la direzione del filo a piombo a Genova non è parallela alla direzione del filo a piombo all equatore (dipendono cioè dal posto in cui si osservano o dalla posizione dell osservatore). Direzione è un conce0o sia fisico (direzione Nord, indicato dall ago della bussola) sia matema+co (nello spazio due re0e sono parallele se hanno la stessa direzione).

18 Nello spazio fisico posso controllare opera:vamente con strumen+ alcuni conce4 e alcune proprietà (defini/ opera/vamente nella realtà o teoricamente nel modello). I principali strumen+ che incorporano proprietà fisiche o geometriche e cos+tuiscono un ponte tra realtà e modello sono: il filo a piombo, che incorpora la ver/calità; la livella a bolla, che incorpora l orizzontalità (alcune anche la ver/calità); la squadre;a, che incorpora la perpendicolarità e la misura dell angolo di 90. A ques+ vanno aggiun+ gli strumen+ di misura (per esempio, il goniometro per gli angoli e il righello per le lunghezze). In Geometria i conce4 esprimono relazioni tra en+ geometrici (re;e, piani, ) e devono essere defini: con il linguaggio del modello.

19 N.B. Non esiste nel piano la definizione di re1a orizzontale e re1a ver:cale. Quasi tu9 i libri comme0ono l errore di chiamare alcune linee del piano col nome orizzontale e ver+cale senza tener conto che tali linee, ruotando il foglio, non conservano la definizione appena data. Occorre invece u+lizzare con i bambini frasi corre0e del +po traccia un segmento parallelo al bordo lungo (o corto) del foglio oppure traccia un segmento che segue la linea del quadre1o.

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23 Potenzialità Potenzialità di a4vità collegate alle schede: far prendere coscienza della differenza tra spazio fisico (lo spazio in cui ci muoviamo, realtà) e geometria (un modo di guardare da un punto di vista teorico lo spazio fisico, modello) e far capire che i conce9 geometrici possono aiutarci a controllare lo spazio fisico.

24 Potenzialità Far rifle0ere sul linguaggio: in matema+ca, nella geometria piana (euclidea), NON esiste la definizione di re0a o segmento ver+cale o orizzontale, a differenza di quanto è presente su mol+ tes+ e di quanto si dice spesso a scuola