LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.

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1 Geometria Analitica Le coniche Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l'intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di conseguenza, ricavarne l'equazione algebrica che le rappresenta nel piano cartesiano. Lo vedremo come esempio per la circonferenza. LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro. Si ottiene tagliando un cono con un piano perpendicolare al suo asse. La distanza fra ognuno dei suoi punti e il centro è il raggio della circonferenza. Note: le coordinate del centro C (α; ß) e la misura r del raggio, l'equazione della circonferenza si trova imponendo che la distanza del generico punto di coordinate (x,y) abbia distanza dal centro C pari ad r; ovvero, elevando al quadrato: ( x -α) 2 + (y - ß) 2 = r 2 Svolgendo i calcoli nell'equazione precedente, si ottiene l'equazione canonica: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 dove: a = -2α b = -2ß; c = α 2 + ß 2 - r 2 e il quadrato del raggio è dato da: r 2 = (a 2 /4)+(b 2 /4) - c NOTA Assegnata un'equazione di secondo grado in cui i coefficienti di x 2 e di y 2 sono uguali tra loro, non è detto che essa rappresenti sempre una circonferenza. Infatti, l'equazione canonica su indicata rappresenta una circonferenza solo se (a 2 /4)+(b 2 /4)-c>0 cioè se il quadrato del raggio è positivo. CASI PARTICOLARI a=0: il centro appartiene all'asse y; b=0: il centro appartiene all'asse x; c=0: la circonferenza passa per l'origine degli assi. CONDIZIONI PER INDIVIDUARE UNA CIRCONFERENZA Per determinare l'equazione di una circonferenza è necessario determinare i tre parametri a, b, c dell'equazione generale (o canonica) di una circonferenza. Si possono presentare i seguenti casi: sono note le coordinate del centro e il raggio; sono note le coordinate degli estremi di un diametro; la circonferenza passa per un punto e sono note le coordinate del centro; la circonferenza passa per tre punti non allineati; la circonferenza passa per due punti e il centro appartiene a una retta nota; sono note le coordinate del centro e la circonferenza è tangente a una retta nota.

2 Vediamo un esempio. Determinare l'equazione della circonferenza che passa per A(0,3), B(-4,1), C(1,1). Basta imporre il passaggio per i punti dati, sostituendo le loro coordinate (un punto alla volta!) nell'equazione canonica. Si mettono a sistema le tre condizioni che si trovano: sarà un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite a, b e c. Risolto il sistema, si trovano i valori dei parametri dell'equazione canonica che individua la circonferenza che si sta cercando. Si parte, quindi, dall'equazione canonica: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 e si impone che sia soddisfatta dalle coordinate dei tre punti dati. Si ottiene allora il sistema: che fornisce come soluzione: Pertanto, la circonferenza cercata ha equazione: x 2 + y 2 + 3x - 2y - 3 = 0 RELAZIONI TRA RETTA E CIRCONFERENZA Date una retta e una circonferenza nel piano, si possono presentare tre situazioni: - la retta è secante la circonferenza (ha due punti in comune con la circonferenza, la taglia ) - la retta è tangente alla circonferenza (ha un solo punto in comune, la tocca ) - la retta è esterna alla circonferenza (non hanno punti in comune) Per determinare in che posizione si trovano retta e circonferenza, bisogna impostare il seguente sistema (in forma generale): dove la prima equazione rappresenta una circonferenza generica, la seconda una retta generica. Ricavando una delle due variabili in funzione dell'altra nella seconda equazione, e sostituendo nella prima equazione, si ottiene un'equazione di secondo grado, le cui (eventuali) soluzioni risolvono il problema. Si possono presentare, come sappiamo dalla teoria delle equazioni di secondo grado, tre possibilità alternative: - Δ>0: la retta è secante. Infatti, l'equazione ammette due soluzioni: sono le ascisse (o le ordinate, a seconda che si sia risolta un'equazione di secondo grado in x o in y) dei due punti di intersezione tra retta e circonferenza. - Δ=0: la retta è tangente. Due soluzioni coincidenti, ovvero un solo punto di contatto. - Δ<0: la retta è esterna. Non ci sono soluzioni reali, nessun punto di intersezione.

3 LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco). La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola. L'asse della parabola è un asse di simmetria e interseca la parabola nel vertice. Una parabola con asse parallelo all'asse y è rappresentata da un'equazione del tipo: y = x 2 + bx + c con a 0. Nel grafico seguente è rappresentata una parabola generica (con asse parallelo all'asse y), e sono evidenziate le sue caratteristiche fondamentali (si veda la tabella riportata poco più sotto). Concavità e apertura della parabola dipendono dal parametro a.. ELEMENTI CARATTERISTICI CASISTICA

4 Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse x E' del tipo: x = ay 2 + by + c con a 0. Determinazione dell'equazione della parabola Anche nell'equazione della parabola (come in quella della circonferenza) sono presenti tre coefficienti a, b e c. Per poterli determinare occorrono in genere tre condizioni. Alcune possibili condizioni sono le seguenti: sono note le coordinate del vertice e del fuoco; sono note le coordinate del vertice (o del fuoco) e l'equazione della direttrice; la parabola passa per tre punti non allineati; la parabola passa per due punti e si conosce l'equazione dell'asse; la parabola passa per un punto e sono note le coordinate del vertice (o del fuoco); la parabola passa per un punto e sono note le coordinate dell'asse e della direttrice. Vediamo un esempio: Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha vertice in V(1,2) e passa per il punto A(2,1). Si considera l'equazione generale di una parabola con asse parallelo all'asse y: y = x 2 + bx + c Si impongono le condizioni date. Si noti che la conoscenza delle coordinate del vertice equivale a due condizioni. da questo si ricava sostituendo il valore di b nelle altre due equazioni, si ha: da cui, infine:

5 Si noti che l'equazione di secondo grado in a, fornisce anche la soluzione a = 0: questa però non è accettabile, dal momento che l'equazione generale di una parabola non rappresenta una parabola se a = 0. Pertanto, la parabola cercata ha equazione: y = - x 2 + 2x + 1 L' ELLISSE E' il luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Equazione dell'ellisse riferita al centro degli assi cartesiani e con i fuochi sull'asse x: Grafico: ELEMENTI CARATTERISTICI Centro: O (0,0) Fuochi: F 1 (-c,0) e F 2 (c,0), essendo: c 2 = a 2 - b 2 Vertici: A(a,0), B(b,0), -A(-a,0), -B(-b,0) Eccentricità: indica la forma più o meno schiacciata dell'ellisse: 0=e<1: Nota: se e =0, si ha una circonferenza. Quindi, la circonferenza non è altro che una particolare ellisse.

6 IPERBOLE E' il luogo dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Equazione dell'iperbole riferita al centro degli assi cartesiani e con i fuochi sull'asse x: dove: b 2 = a 2 - c 2 I fuochi hanno coordinate: F 1 (-c,0), F 2 (c,0). Gli asintoti sono le rette di equazione: Il grafico di un'iperbole con i fuochi sull'asse x è del tipo: L'eccentricità dell'iperbole è data dal rapporto: Nell'iperbole si ha sempre e >1.