FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO

Transcript

1 FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO Così come avviene con i numeri ( 0 = 5), la fattorizzazione di un polinomio è la scomposizione di un polinomio in un prodotto di due o più polinomi. Esempio: = + + Un polinomio si dice riducibile se si può scomporre nel prodotto di due o più fattori di grado minore. In caso contrario, il polinomio si dice irriducibile. Per eseguire la fattorizzazione di un polinomio occorre applicare, in ordine, i seguenti metodi: - Raccoglimento a fattor comune totale Questo metodo si applica quando il M.C.D. dei monomi che compongono il polinomio è diverso da. Il polinomio è scomposto in due fattori : il I fattore è il M.C.D. dei monomi che compongono il polinomio; il II fattore è un polinomio costituito dai quozienti ottenuti dividendo ciascun termine del polinomio per il M.C.D Esempio a x + 5a bx a cx = a x (4x + 5ab 6a cx) Calcoli : a x 5a bx a cx = 4x = 5ab = 6a cx a x a x a x - Raccoglimento a fattor comune parziale Questo metodo potrebbe essere applicato quando il polinomio presenta fattori comuni solo per gruppi di monomi. Il metodo risulta applicabile se è possibile completare le seguenti due fasi: I a fase: si applica il raccoglimento a fattor comune a gruppi di due (o tre) monomi; II a fase: si raccolgono a fattor comune totale i polinomi (in parentesi) ottenuti. Esempio = = 7 +5 a 5 b - Prodotti Notevoli a. Differenza di due quadrati = + Questa regola si applica quando il polinomio è la differenza di due monomi che hanno: per coefficienti, numeri quadrati perfetti:, 4, 9, 6, 5, 6, 49, 64,, 00, 9 4, 44,...,, 0,0 =, 0,04 =, per parte letterale, lettere con esponenti pari: a, Esempio = b, x 4 y 6, 4 4 b x a,... I termini nelle parentesi si ottengono estraendo le radici quadrate dei due monomi del polinomio traccia. Matematica

2 b. Differenza di due cubi = + + Questa regola si applica quando il polinomio è la differenza di due monomi che hanno: per coefficienti, numeri cubi perfetti:,, 7, 64, 5, 6, 4, 5, 79, 000,..., 7, 0, 00 = , 0, 0 = per parte letterale, lettere con esponenti multipli del : a, b, x 9 y 6, 6 5 a b x,.. Esempio x y = x x + x y + y 7 9 I termini della I a parentesi si ottengono estraendo le radici cubiche dei due monomi del polinomio traccia. Es. 6 y = y. I termini della II a parentesi si ottengono effettuando il falso quadrato 000 I + I II + II della I a parentesi. c. Somma di due cubi + = + + (vedi regola precedente) d. Quadrato di un binomio + ± = ± Questa regola si applica quando il polinomio è un trinomio contenente: 49 due monomi quadrati perfetti, come ad esempio: 4 a x,, 6 4, 4 6 x y z, 9 5 un terzo monomio che risulta essere il doppio prodotto delle radici quadrate dei due monomi quadrati perfetti Esempio x x y + y = x I termini nella parentesi si ottengono estraendo le radici quadrate dei due monomi quadrati perfetti. 7 È consigliabile effettuare la verifica del doppio prodotto: I II = 4 x ( ) = x y e. Cubo di un binomio = + Questa regola si applica quando il polinomio è un quadrinomio contenente: due monomi cubi perfetti, come ad esempio: a due monomi che risultano essere i tripli prodotti Esempio: = ( ) x x + 6x y x y,, x 9 y 6, 7 I termini nella parentesi si ottengono estraendo le radici cubiche dei due monomi. Es. x 9 = x. È consigliabile effettuare la verifica dei due tripli prodotti: I II = (x ) ( ) = x 6 y 4 I II = x ( ) = + 6x y 6 5 a b x, f. Quadrato di un trinomio = + + Questa regola si applica quando il polinomio è formato da sei termini, di cui: tre sono monomi quadrati perfetti, come : 49 4 x, 6 a y,, 6 4, 4 6 x y z 9 5 tre sono monomi che risultano essere i doppi prodotti I II, I III, II III delle radici quadrate dei quadrati perfetti. 6ab 6ac + b + c + bc = a b c 9a Esempio ( ) I termini nella parentesi si ottengono estraendo le radici quadrate dei monomi quadrati perfetti. È consigliabile effettuare la verifica dei tre doppi prodotti: I II = a ( b) = 6ab I III = a ( c) = 6ac II III = ( b) ( c) = + bc Matematica

3 4 - Trinomio di II grado Questa regola si applica, in generale, in presenza di un trinomio di II grado in una data lettera. I Caso - Il coefficiente della x è uguale a. Il polinomio si decompone nel prodotto dei due binomi: + + = + + dove s = a + b p = a b Esempio 4x x Occorre trovare due numeri il cui prodotto sia uguale al termine noto p = e la cui somma sia uguale al coefficiente della x s = 4. Per fare ciò costruiamo la seguente tabella a fianco. Dalla tabella si individuano i numeri cercati: + e 6. Pertanto il polinomio di scompone in 4 = + 6 p = s = II Caso - Il coefficiente della x è diverso da. Per scomporre il polinomio + + occorre: trovare due numeri e tali che + = e = riscrivere il polinomio come effettuare il raccoglimento a fattor comune parziale. Esempio x 7x + 5 Occorre trovare due numeri e tali che + = 7 e = 5=0 Per fare ciò costruiamo la seguente tabella a lato. Dalla tabella si individuano i numeri cercati: e 5. Pertanto il polinomio si riscrive come: x x 5x + 5 Effettuando il raccoglimento parziale si ha x (x ) 5 (x ) Raccogliendo la parentesi comune si ottiene ( x ) (x 5) p = s = Matematica

4 5 - Regola di Ruffini Questo metodo si applica, in genere, in presenza di un polinomio in una data lettera: Per scomporre il polinomio occorre: Esempio ordinare il polinomio secondo le potenze decrescenti della lettera determinare i divisori del termine noto e del termine di grado massimo. p ricercare uno zero del polinomio nell insieme: D = ± con p divisore di an e q divisore di a0 q scomporre il polinomio con la regola di Ruffini: con:,,,, ottenuti dalla griglia di Ruffini. Dato il polinomio ordinato 7 +6 I divisori del termine noto sono: ±, ±, ±, ±4, ±6, ± I divisori del I coefficiente sono: ± I possibili zeri del polinomio sono D = {±, ±, ±, ±4, ±6, ±} Con la griglia di Ruffini si cerca uno zero del polinomio Il polinomio 7 +6 = 5 +6 Il polinomio della seconda parentesi, essendo di II grado, potrebbe fattorizzarsi ancora con Ruffini: Matematica 4

5 Fattorizzazione di un polinomio (Sintesi) Binomio La scomposizione in fattori di un binomio può avvenire con : A. Raccoglimento a fattor comune totale : = B. Differenza di due quadrati : = + C. Differenza di due cubi : = + + D. Somma di due cubi : + = + + E. Regola di Ruffini F. L uso misto del procedimento A con i procedimenti B, C, D, E. Trinomio La scomposizione in fattori di un trinomio può avvenire con : A. Raccoglimento a fattor comune totale : + = + B. Quadrato di un binomio : + ± = ± C. Trinomio di II grado : + + = + + E. L uso misto del procedimento A con uno dei procedimenti B, C, D Quadrinomio La scomposizione in fattori di un quadrinomio può avvenire con : A. Raccoglimento a fattor comune totale : + = + B. Raccoglimento parziale : + = + = + C. Cubo di un binomio : = + E. L uso misto del procedimento A con i procedimenti B, C, D. Polinomio con sei termini La scomposizione in fattori può avvenire con : A. Raccoglimento a fattor comune totale B. Raccoglimento parziale : C. Quadrato di un trinomio E. L uso misto del procedimento A con i procedimenti B, C, D. Matematica 5