Errori di misura. è ragionevole assumere che una buona stima del valore vero sia la media

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1 Errori di miura Se lo trumento di miura è abbatanza enibile, la miura rietuta della tea grandezza fiica darà riultati diveri fra loro e fluttuanti in modo caratteritico. E l effetto di errori cauali, o accidentali, dovuti a condizioni erimentali fluttuanti e non controllabili, ma analizzabili con metodi tatitici. Gli errori cauali falano il riultato ora in un eno, ora nell altro. Un modo er correggerli è fare la media aritmetica u molte miure Data una erie di miure di una tea grandezza:... è ragionevole aumere che una buona tima del valore vero ia la media (... ) come i tima l errore? Un criterio otrebbe eere δ ma min tale valore crece al crecere del numero di miure è referibile una definizione con un recio eno tatitico. ma lacia a deiderare.

2 Errori cauali Come arà chiaro iù avanti, conviene adottare la deviazione tandard come tima dell errore ulla ingola miura. ( ) dev. tandard della oolazione (DEV.ST.P) eendo lo carto della miura -ma rietto alla media La formula data è una buona tima dell errore e il numero di miure è grande, idealmente quando conociamo l intera oolazione di dati tatitici. In genere conociamo olo un camione della oolazione e in articolare il valore medio, calcolato er il camione, è olo un aroimazione del valore vero. In quete condizioni una migliore tima dell errore i ha dividendo er - ( ) dev. tandard del camione (DEV.ST.C) il quadrato della dev. tandard i chiama varianza

3 Proagazione dell errore cauale -. Somma Conideriamo una erie di miure delle grandezze e di cui i rende la omma chiaramente Qual è la deviazione tandard della omma? ( ) Se e ono variabili indiendenti (in eno tatitico) i trova:

4 ( ) ( ) ( ) [ ] Proagazione dell errore cauale -. Somma ( ) ( ) ( )( ) varianza di varianza di covarianza di e La covarianza di due variabili cauali uò eere ia oitiva che negativa Dimotrazione

5 Proagazione dell errore cauale -. Somma algebrica Se e ono tatiticamente indiendenti è ragionevole che gli carti in e non iano correlati, ovvero che la covarianza ia iccola. Definizione: due variabili cauali ono (tatiticamente) indiendenti e la loro covarianza (u un numero molto grande di miure) è nulla e e ono indiendenti gli errori cauali i ommano quadraticamente Queto riultato ovviamente vale anche er la differenza d d generalizziamo alla omma algebrica di variabili indiendenti a a a K a a a... a ovvero a

6 Errore della media La deviazione tandard rareenta l errore ulla ingola miura. Se miuriamo volte la variabile (,,... ), una tima dell errore di ogni miura è X la media è una tima ragionevole del valore vero, in quanto gli errori ulle ingole miure tendono ad annullari. Ci aettiamo che l errore ulla media ia minore di quello ulla miura ingola... ( ) omma... omma ( )

7 e gli errori ono iccoli e le due variabili idiendenti: ( )( ) ( ) ( ) [ ] nullo e e indiendenti termini di grado ueriore in, Proagazione dell errore cauale -. rodotto Conideriamo una erie di miure delle grandezze e di cui i rende il rodotto

8 è utile ricrivere la formula come egue: l errore relativo (o frazionario) di un rodotto è la omma quadratica degli errori relativi (frazionari) dei fattori.... P P In generale, oto... P Proagazione dell errore cauale -. rodotto Proagazione dell errore cauale -. raorto R R ovvero R R R con le tee aroimazioni i ottiene

9 Proagazione dell errore cauale - 4. funzione f() Come i roaga l errore ulla variabile indiendente in una funzione generica ( ) (ma continua e derivabile)? f Se gli carti rietto alla media ono iccoli i uò eandere la funzione f ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f ( ) f ( ) f f ( ) ( ) ( )

10 Proagazione dell errore cauale - 5. funzione f(,,...) Si conideri la funzione di iù variabili z f (,,... ) dove,,... ono variabili indiendenti, affette da errore cauale è facile convinceri (v. agina rec.) che Se l unica variabile affetta da incertezza foe, i ricadrebbe nel cao recedente z f (,,... ) z l unica differenza è che ora i ua la derivata arziale f (,,... ) e,,... ono affette da errore cauale: e ono indiendenti, allora ±, ±,... z f f... derivate calcolate in (,,... ) Queta è l ereione generale: da qui i oono ricavare tutte le altre!

11 Da quanto vito, l errore cauale frazionario dell ereione: λ γ β α d c b a d c b a d c b a λ γ β α arà: Proagazione dell errore cauale - 6. otenza ( ) n Dalla formula generale: n n n ma è iù facile, e iù utile, ricordare la formula dell errore relativo n Proagazione dell errore cauale - 7. rodotto o raorto di otenze ( ) n n