INTERPRETAZIONE CINEMATICA DELLA DERIVATA

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1 INTERPRETAZIONE CINEMATICA DELLA DERIVATA Consideriamo un punto mobile sopra una qualsiasi linea Fissiamo su tale linea un punto O, come origine degli archi, e un verso di percorrenza come verso positivo; in tal modo possiamo far corrispondere a ciascun punto P della curva la lunghezza s dell'arco OP, presa positiva o negativa a seconda che OP sia concorde o discorde con il verso fissato come positivo sulla curva Si usa dire che s è l ascissa curvilinea del punto P e, se P si muove sulla curva al variare del tempo t, allora s sarà funzione di t e si scriverà s s( L'ascissa curvilinea s prende anche il nome di spazio percorso a partire dall'istante iniziale, quando cioè il punto P si trovava in O Consideriamo la figura seguente: O P t t+ Q P è la posizione del punto mobile all'istante t e s s( è lo spazio percorso a tale istante; se dopo un intervallo di tempo Δt, cioè all'istante t + Δt, il punto mobile si troverà in Q, lo spazio percorso a quell'istante sarà s(t + Δ Osserviamo dunque che all'incremento Δt della variabile tempo corrisponde, per lo spazio, l'incremento Δs s(t + Δ - s( che rappresenta lo spazio percorso nel tempo Δt Consideriamo ora il rapporto Δs/Δt tra lo spazio percorso e l'intervallo di tempo impiegato a percorrerlo s s( t + ) s( che, come sappiamo dalla fisica, rappresenta la velocità media del punto mobile nel tempo Δt Ma tale rapporto è anche il rapporto incrementale della funzione spazio relativo all'istante generico t e all'incremento Δt Facciamo tendere a zero l'incremento Δt del tempo: sappiamo che, così facendo, la velocità media tende, in generale, a un limite v che rappresenta la velocità istantanea o velocità all'istante t E sarà v funzione di t, v v(, perché v varierà al variare dell'istante generico t considerato

2 D'altra parte, se Δt tende a zero, il rapporto incrementale, se ammette limite, tende alla derivata della funzione s rispetto alla variabile t: s lim s' ( Si può così concludere che la velocità istantanea è la derivata dello spazio percorso rispetto al tempo: v s' o meglio v ( s'( ds In fisica si preferisce scrivere: v»»»»»»» «««««««Come abbiamo già osservato, la velocità istantanea è una funzione del tempo t e quindi nell'intervallo Δt di tempo subirà la variazione v v( t + ) v( v Il rapporto incrementale rappresenta l'accelerazione media del punto mobile nel tempo Δt Facciamo tendere Δt a zero: se il rapporto incrementale v v ( t + ) v( tende a un limite finito a, se cioè la funzione v( è derivabile, tale limite, che è la derivata v '(, rappresenta l'accelerazione istantanea e si avrà quindi v v a lim lim ( t + ) v( v' ( dv a dv 2 d s Ma, essendo sua volta v ( s'(, sarà v '( s''( e quindi a ( s''( 2 Concluderemo così che l'accelerazione istantanea è la derivata della velocità rispetto al tempo e quindi è la derivata seconda dello spazio percorso rispetto al tempo

3 Esempio: Sia s 2t 3 3t + 1 la legge oraria del moto di un punto mobile, con s misurato in metri e t in secondi Dopo aver determinato velocità e accelerazione in un generico istante t, calcolare i metri percorsi dal mobile nel tempo che intercorre tra l'istante in cui la velocità è di 51 m/s e quello in cui l'accelerazione è di 84m/s 2 Si ha v s ' ( t ) 6 t 2 3 e a v' ( 12t Si avrà 2 v 51 6t 3 51 t 3 a 84 12t 84 t 7 e quindi, essendo s ( 7) e s ( 3) lo spazio percorso in quei quattro secondi sarà (666-46)m 620m ALTRE APPLICAZIONI FISICHE 1 INTENSITÁ DI CORRENTE Sia q q( la quantità di carica elettrica che nell'intervallo di tempo [ 0 ;t] attraversa la sezione di un conduttore; diamo a t un incremento Δt e sia q(t + Δ la quantità di carica che attraversa la stessa sezione nell'intervallo ( 0 ; t + ) Sappiamo che il rapporto q q( t + ) q( (1) tra la quantità di elettricità che passa nella sezione del conduttore nell'intervallo di tempo Δt e Δt stesso indica l'intensità media della corrente elettrica in quel conduttore relativamente all'intervallo di tempo ( t; t + ) Inoltre sappiamo che, se q( t + ) q( lim (2) esiste ed è finito, esso dà il valore dell'intensità della corrente all'istante t:

4 ( t + ) q( q i( lim Ma tale rapporto altro non è che il rapporto incrementale della funzione q( e il limite (2) è quindi, se esiste, la derivata della funzione q( Si conclude così che è dq i ( q' ( 2 TENSIONE E CORRENTE AI CAPI DI UN CONDENSATORE Si consideri un condensatore di capacità C supponiamo che C, dipendendo solo dalle caratteristiche fisiche del condensatore, sia costante al variare del tempo; sappiamo che Q C V (3) è la relazione tra la quantità di carica Q(, in funzione del tempo, presente sulle armature del condensatore e la tensione V( ai capi del condensatore stesso Consideriamo il rapporto incrementale della funzione Q( relativamente all'intervallo di tempo Δt: Q Q t ( + ) Q( (4) esso esprime un'indicazione della variazione della quantità di carica sulle armature del condensatore, relativa all'intervallo di tempo Δt, cioè esprime l'intensità media della corrente di carica o di scarica del condensatore relativamente allo stesso intervallo di tempo Facendo tendere Δt a zero, il limite della (4) rappresenterà l'intensità istantanea della corrente di carica o di scarica: Q Q( t + ) Q( lim lim i( (5) Consideriamo ora la grandezza C V che figura del secondo membro della (3) e valutiamo il rapporto tra l'incremento che essa subisce delle intervallo di tempo Δt e l'incremento Δt stesso, tenendo presente che C è costante nel tempo: da cui ( C V ) C V ( C V ) C ( t + ) C V ( [ V ( t + ) V ( ] V C Passiamo ora al limite per Δt che tende a zero, ottenendo

5 ( C V ) V dv lim C lim C (6) Per la (3), possiamo dedurre che i secondi membri della (5) e della (6) devono essere uguali e otteniamo così cioè i( C dv i( C V '( che è la relazione esistente tra l'intensità i della corrente di carica o di scarica di un condensatore di capacità C e la tensione V di ai capi della stessa 3 FORZA E ELETTROMOTRICE INDOTTA Ricordiamo dalla fisica che, dato un circuito elettrico chiuso di superficie S, se a esso è concatenato un flusso Φ del campo di induzione magnetica B, variabile con il tempo t secondo una relazione ΦΦ(, nel circuito si produce una fem (forza elettromotrice) media, E m, definita da E m Φ e una fem (forza elettromotrice) istantanea dφ e ( ( t + ) Φ( e Φ' È evidente che quest'ultima formula, che dà il valore di e, si ottiene dalla precedente, che dà il valore di E m, passando al limite per Δt tendente a zero Esempio Consideriamo una spia di superficie S immersa in un campo uniforme di induzione magnetica B, libera di ruotare attorno a un asse perpendicolare alle linee di forza e sia α l'angolo formato dal versore n, normale alla spira, con il vettore campo B Se la velocità angolare ω di rotazione della spira è costante, al tempo t si ha α ωt ed il flusso del campo B concatenato con la spira, all'istante t, è espresso da Φ t BS cosω ( ) t Il valore della forza elettromotrice indotta nella spira all'istante t è dato da dφ( e BS sinωt ed è quindi una fem ad andamento sinusoidale (

6 4 FORZA ELETTROMOTRICE AUTOINDOTTA In generale è possibile associare ad ogni circuito elettrico una grandezza L, detta coefficiente di autoinduzione o induttanza, che lega i valori istantanei del flusso Φ(, concatenato con il circuito, con quello della corrente i(, che attraversa il circuito, secondo la relazione Se nell'intervallo di tempo ( t t + ) Φ( L i( (7) ; la corrente subisce la variazione i i( t + ) i(, si produce una corrispondente variazione del flusso che, per la (7) e supponendo L costante del tempo, è: [ i( t + ) i( t ] L i Φ Φ( t + ) Φ( L i( t + ) L i( L ) Nel circuito si genera quindi una forza elettromagnetica autoindotta che all'istante t è data da Φ L i i di e lim lim L lim L