COSTRUZIONI GEOMETRICHE ELEMENTARI

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1 COSTRUZIONI GEOMETRICHE ELEMENTARI 1 ASSE del segmento AB - Con centro in A e in B traccio 2 archi di circonferenza con raggio R>½AB; - chiamo 1 e 2 i punti di intersezione tra gli archi di circonferenza; - l asse di AB è il segmento congiungente 1 e 2. 1

2 2 PERPENDICOLARE del segmento AB condotta da un estremo -Con centro in A traccio una semicirconferenza di raggio a piacere; - Chiamo rispettivamente 2 e 1 i punti di intersezione della semicirconferenza con AB e con il suo prolungamento; -Con centro in 1 e 2 traccio due archi di circonferenza di raggio a piacere, che si incontrano in C; - CA è la perpendicolare cercata. 3 Costruzione della retta s passante per il punto P e parallela alla retta r - Scelgo sulla retta r un punto B a piacere e lo congiungo con P; - con centro in B traccio l arco di circonferenza con raggio BP, che interseca r in A; - con centro in P traccio un arco di circonferenza di raggio PB; - con centro in B traccio un arco di circonferenza di raggio PA; - chiamo 1 il punto di intersezione tra i due archi di circonferenza; -La congiungente 1P è la retta s cercata. 2

3 4 Divisione del segmento AB in n parti uguali Pongo, per esempio, n=6 - A partire da A costruisco un segmento, inclinato a piacere, e riporto su di esso 6 volte la stessa misura (ad es. 1 cm) indicando gli estremi con i numeri 1, 2, 3, 4, 5 e 6; - Congiungo i punti 6 e B; - traccio dai punti 5, 4, 3, 2 e 1 le parallele a 6B; - per il teorema di Talete, il fascio di rette parallele ed equidistanti taglia il segmento AB in 6 parti uguali. 5 Costruzione del segmento CD parallelo ad AB a distanza assegnata d - Si scelgono a piacere i punti P e Q, su AB; - con centro in P e Q si tracciano due semicirconferenze di raggio uguale che intersecano AB nei punti 1; - con centro nei punti 1 si tracciano quattro archi di circonferenza di raggio uguale, che si intersecano tra loro nei punti 2 e 3; 3

4 5 Costruzione del segmento CD parallelo ad AB a distanza assegnata d - i segmenti P2 e Q3 sono ortogonali ad AB; - con centro in P e Q e raggio d, pari alla distanza assegnata, traccio due archi di circonferenza che individuano i punti R e S sulle due ortogonali; - La retta passante per i punti R e S contiene il segmento CD cercato. 6 Costruzione di un angolo B Â C uguale all angolo BÂC dato c - Si traccia il segmento A B ; - con centro in A si traccia l arco di circonferenza che individua i punti 1 e 2; - con centro in A si traccia un arco di circonferenza con lo stesso raggio, che individua su A B il punto 1 ; - con il compasso, con centro in 1, si misura la distanza 1-2; - con centro in 1 si riporta con il compasso la distanza 1-2 e si individua il punto 2 ; - la congiungente A 1 individua il lato A C dell angolo cercato. 4

5 7 BISETTRICE di un angolo c - Con centro in A si traccia un arco di circonferenza che individua i punti 1 e 2; - con centro in 1 e 2 e stesso raggio si tracciano due archi di circonferenza che si intersecano nel punto 3; - la congiungente 3A è la bisettrice dell angolo. 8 Divisione di un angolo retto in tre parti uguali - Con centro in A si traccia un arco di circonferenza CB a piacere; - con centro in C e B, con la stessa apertura di compasso, si tracciano due archi di circonferenza che intersecano l arco BC nei punti 1 e 2; - i segmenti A1 e A2 tripartiscono l angolo retto. 5

6 9 Costruzione di un triangolo equilatero di lato assegnato l l - Si traccia il segmento AB di lunghezza assegnata l; - con centro in A e in B si tracciano due archi di circonferenza con raggio l; - i due archi si intersecano nel punto C, vertice del triangolo equilatero; - congiungendo C con A e con B si ottiene il triangolo equilatero. 10 Costruzione di un triangolo equilatero di altezza assegnata h - Si tracciano due rette parallele, r ed s, a distanza pari ad h; - su r si fissa un punto C, centro di un arco di circonferenza che interseca r nei punti 1 e 2; - con centro in 1 e 2 e stesso raggio si costruiscono due archi di circonferenza che intersecano la prima circonferenza in 3 e 4; - si costruiscono i segmenti C3 e C4 e si prolungano fino ad incontrare la retta s nei punti A e B; - il triangolo equilatero è definito dai tre vertici A, B e C. 6

7 11 Costruzione di un triangolo rettangolo dati l ipotenusa l e un cateto a - Si traccia un segmento AB di lunghezza l e si individua il punto medio 1; - con centro in 1 si traccia la semicirconferenza di diametro AB; - con centro in A e raggio a si traccia un arco di circonferenza che incontra la semicirconferenza in C; - C è il vertice retto del triangolo cercato ABC. 12 Costruzione di un triangolo di lati a, b e l assegnati l - Si traccia un segmento AB di lunghezza l; - con centro in A e B si disegnano due archi di circonferenza di raggio pari rispettivamente ad a e b; - i due archi si intersecano in C, terzo vertice del triangolo cercato ABC. 7

8 13 Costruzione di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza data - Si costruisce il diametro verticale della circonferenza di estremi 1 e 4; - si fissa in 1 un vertice del triangolo; - con centro in 4 si traccia un arco di circonferenza di raggio pari alla circonferenza data, che la interseca nei punti 2 e 3; - i punti 2 e 3 sono gli altri vertici del triangolo equilatero inscritto alla circonferenza. 14 Costruzione di un pentagono inscritto in una circonferenza data - Si costruiscono il diametro verticale 12 e quello orizzontale 34 della circonferenza; - sul diametro orizzontale si fissano M e M : punti medi rispettivamente dei raggi O3 e O4; - con centro in M e raggio 1M si traccia un arco di circonferenza che interseca il diametro orizzontale in H; - la distanza 1H è pari al lato del pentagono; 8

9 14 Costruzione di un pentagono inscritto in una circonferenza data - con centro nel punto 1 e apertura di compasso pari a 1H, si traccia un arco che incontra la circonferenza nei punti B e E; - con centro nei punti B e E e stesso raggio si tracciano due archi che individuano sulla circonferenza i punti C e D; - congiungendo i punti A, B, C, D e E si ottiene il pentagono inscritto. 15 Costruzione di un esagono inscritto in una circonferenza data - Si traccia sulla circonferenza il diametro verticale 16; - con centro in 1 e in 6 si tracciano due archi di circonferenza di raggio uguale alla circonferenza assegnata; - detti archi incontrano la circonferenza nei punti 2, 3, 4 e 5 che, insieme a 1 e 6, sono i vertici dell esagono cercato. 9

10 16 Costruzione di un ottagono inscritto in una circonferenza data - Si tracciano sulla circonferenza i diametri orizzontale e verticale ; - i punti 1, 3, 5 e 7, di intersezione tra circonferenza e diametri, sono quattro degli otto vertici dell ottagono; - con centro in 1, 3, 5 e 7 e raggio a piacere, si tracciano degli archi di circonferenza che si intersecano nei punti A, B, C e D; - i segmenti AC e BD tagliano la circonferenza nei punti 2, 4, 6 e 8, che sono i rimanenti vertici dell ottagono. 17 Costruzione di un poligono di n lati inscritto in una circonferenza data - Si tracciano sulla circonferenza i diametri orizzontale GN e verticale AB ; - con centro in A e B e raggio pari al diametro della circonferenza data, si tracciano due archi di circonferenza, che incontrano la retta passante per il diametro orizzontale nei punti C e D; - Si divide il diametro verticale in n parti ( ad es. 10 in figura); 10

11 17 Costruzione di un poligono di n lati inscritto in una circonferenza data - Se n è un numero pari si congiungono i punti dispari del diametro verticale ( se n è dispari si congiungono i pari) con C e D e si ottengono sulla circonferenza i punti di intersezione E, F, H, I, L, M, O e P, che costituiscono i vertici del poligono cercato; - la costruzione è tanto più precisa tanto più alto è il numero n. 18 Costruzione di un pentagono di lato l dato l - Si traccia una retta r su AB; - da B si traccia una perpendicolare a r; - con centro in B si traccia un arco di circonferenza di raggio l, che interseca la perpendicolare in H; - si individua il punto medio ½ di AB; - con centro in ½ e raggio ½H, si traccia un arco che interseca r nel punto 1; 11

12 18 Costruzione di un pentagono di lato l dato l - con centro in A e in B e raggio pari alla distanza A1, si tracciano due archi che si intersecano in D, vertice del pentagono; - con centro in B e in A e raggio pari a l, si tracciano due archi di circonferenza, che si intersecano rispettivamente con l arco 1D e 2D, nei punti C e E; - Il pentagono si ottiene congiungendo i punti A, B, C, D e E. 19 Costruzione di un esagono di lato l assegnato l - Da A e B si tracciano due archi di circonferenza di raggio l, che si incontrano in O; - con centro in O e raggio OB, si traccia la circonferenza che circoscrive l esagono; - con centro in B e raggio l si traccia un arco che interseca la circonferenza in C; - con centro in C e raggio l si traccia un arco che interseca la circonferenza in D; - con lo stesso procedimento si individuano tutti i vertici dell esagono. 12

13 20 Costruzione di un ottagono di lato l assegnato l - si trova il punto medio ½ di AB e da esso si traccia la perpendicolare ad AB; - con centro in ½ e diametro AB, si traccia un arco di circonferenza, che interseca la perpendicolare in O ; - con centro in O e raggio O A, si traccia un arco di circonferenza, che interseca la perpendicolare in O; 20 Costruzione di un ottagono di lato l assegnato l - con centro in O e raggio OA, si traccia la circonferenza che circoscrive l ottagono; - con centro in B e raggio l si traccia un arco che individua sulla circonferenza il punto C; - con centro in C e raggio l si traccia un arco che individua sulla circonferenza il punto D; - con analogo procedimento si trovano tutti i vertici dell ottagono. 13

14 20 Costruzione di un ottagono di lato l assegnato l - La costruzione dell ottagono si può ottenere anche tracciando da B una retta inclinata di 45 rispetto ad AB, sulla quale a distanza l si fissa il punto C; - tutti gli altri lati si trovano in maniera analoga, ricordando che i lati dell ottagono formano tra loro angoli di Costruzione di un poligono di n lati di lato l assegnato l - Si divide AB in 6 parti; - dal punto medio di AB (3) si traccia la perpendicolare ad esso; - con centro in A e in B e raggio l, si tracciano due archi che si incontrano sulla perpendicolare in O ; - da O si riportano sulla perpendicolare dei segmenti di lunghezza uguale a A1, in numero pari a n-6; 14

15 21 Costruzione di un poligono di n lati di lato l assegnato l - se, ad esempio n=9, si determinano tre punti: 7, 8 e 9; - il punto 9 è il centro della circonferenza circoscritta al poligono, che si traccia con raggio 9A; - partendo da B, con apertura di compasso pari a l, si individuano in successione tutti i vertici del poligono; - la costruzione è tanto più precisa quanto maggiore è il numero n. 22 Costruzione dell ellisse, assegnati due diametri Metodo del giardiniere - Si tracciano i due assi ortogonali AB e CD, che si intersecano nel punto O; - si costruisce una retta r passante per C e parallela all asse maggiore AB; - con centro in C si traccia una semicirconferenza di diametro pari ad AB; - la semicirconferenza incontra AB nei punti F1 e F2: i fuochi dell ellisse; 15

16 22 Costruzione dell ellisse, assegnati due diametri Metodo del giardiniere - la somma delle distanze di ogni punto dell ellisse dai due fuochi è costante; - si fissano in F1 e F2 due chiodi e ad essi si attacca una corda lunga AB, ovvero la somma di CF1 + CF2; - tenendo tesa la corda con la punta della matita è possibile tracciare l ellisse. 23 Costruzione dell ellisse, assegnati due diametri Metodo dei cerchi concentrici - Si tracciano i due assi ortogonali AB e CD, che si intersecano nel punto O; - con centro in O si tracciano due circonferenze aventi diametri pari a AB e a CD; - da O si traccia un generico diametro che interseca le circonferenze in a e in b; 16

17 23 Costruzione dell ellisse, assegnati due diametri Metodo dei cerchi concentrici - la verticale condotta da a e l orizzontale condotta da b si intersecano nel punto 1, che è un punto dell ellisse; - ripetendo la costruzione per diversi diametri, si individuano numerosi punti dell ellisse, che possono essere raccordati. 24 Costruzione dell ellisse, assegnati due diametri Metodo dei fasci proiettivi - Si tracciano i due assi ortogonali AB e CD, che si intersecano nel punto O; - da A e da B si tracciano due segmenti verticali, da C e da D due orizzontali, a e b, in modo da formare un rettangolo che racchiude l ellisse; - si divide il semidiametro minore in un certo numero di parti uguali, 1, 2, 3, numerate dagli estremi verso il centro O; 17

18 24 Costruzione dell ellisse, assegnati due diametri Metodo dei fasci proiettivi - si dividono a e b nello stesso numero di parti numerate progressivamente, 1, 2, 3, da C e D verso gli estremi; - si tracciano i segmenti A1 e B1, che prolungate si intersecano in un punto dell ellisse; - analogo procedimento per A2 e B2, e per A3 e B3 ; - raccordando i vari punti trovati si ottiene l ellisse. 25 Costruzione dell ellisse, assegnati due diametri coniugati Metodo dei fasci proiettivi - Si tracciano i due diametri coniugati AB e CD, che si intersecano nel punto O; - da A e da B si tracciano due segmenti paralleli a CD, da C e da D due orizzontali, a e b, in modo da formare un parallelogramma che racchiude l ellisse; - si divide il semidiametro minore in un certo numero di parti uguali, 1, 2, 3, numerate dagli estremi verso il centro O; 18

19 25 Costruzione dell ellisse, assegnati due diametri coniugati Metodo dei fasci proiettivi - si dividono a e b nello stesso numero di parti numerate progressivamente, 1, 2, 3, da C e D verso gli estremi; - si tracciano i segmenti A1 e B1, che prolungate si intersecano in un punto dell ellisse; - analogo procedimento per A2 e B2, e per A3 e B3 ; - raccordando i vari punti trovati si ottiene l ellisse. 26 Costruzione di una parabola, noti il fuoco F e la direttrice d - Si conduce da F la retta perpendicolare a d, che è l asse della parabola; - si divide a metà la distanza tra F e d e si ottiene il punto V, vertice della parabola; - a partire da F si tracciano alcune parallele a d poste tra loro a distanza FV; - con centro in F si tracciano diversi archi di circonferenza con raggio pari alla distanza tra ciascuna retta orizzontale e d; 19

20 26 Costruzione di una parabola, noti il fuoco F e la direttrice d -Si interseca ciascuna circonferenza con la rispettiva retta orizzontale; - tali punti di intersezione appartengono alla parabola, che si traccia raccordandoli. 27 Costruzione di una parabola, noti il vertice V e l asse - Si conduce una retta n passante per V e normale all asse della parabola; - con centro in V si traccia una circonferenza di raggio a piacere che interseca l asse nei punti A e B e n nei punti 1 e 1 ; - si tracciano due verticali da 1 e 1 e un orizzontale da B, che si intersecano nei due punti 1 e 1, appartenenti alla parabola; - si ripete il procedimento tracciando altre circonferenze con raggi diversi tutte passanti da A. 20

21 28 Costruzione di una parabola, noti il vertice V, l asse a e un punto P - Si traccia da V la normale n all asse; - da P si conduce la parallela a, che interseca n nel punto T; - si divide TV in parti uguali con numerazione progressiva a partire da T; - si divide PT nello stesso numero di parti, numerando a partire da P; - si traccia il segmento V1, che interseca la verticale condotta da 1 in un punto della parabola; - ripetendo la costruzione per i punti 2, 3 si ottiene, per punti, la parabola. 29 Costruzione di una parabola, note due tangenti t1 e t2 e i due punti di tangenza T1 e T2 - Si individua il punto O di intersezione tra t1 e t2; - si traccia il segmento T1T2 e da O la retta normale a, che è l asse della parabola; - si divide t2 in un numero di parti uguali numerate a partire da T2 e t1 nello stesso numero di parti numerate a partire da O; - si congiungono i punti delle due tangenti aventi lo stesso numero e si ottiene un fascio di rette che inviluppa la parabola; 21

22 29 Costruzione di una parabola, note due tangenti t1 e t2 e i due punti di tangenza T1 e T2 - i punti di tangenza della parabola sono i punti medi dei segmenti di inviluppo - raccordando tutti i punti di tangenza si ottiene la parabola. 30 Costruzione dell iperbole, noti i fuochi F1 e F2 e i vertici V1 e V2 - Si traccia l asse focale af che congiunge i fuochi e i vertici; - dato C, centro dell iperbole, punto medio tra V1 e V2, si traccia perpendicolarmente ad af, l asse trasverso at; - su af si traccia, a sinistra di F2, il punto H, distante da esso quanto V1 e V2; - si fissa su af il punto 1 a piacere; - con centro in F2, si traccia un arco di circonferenza di raggio F21; 22

23 30 Costruzione dell iperbole, noti i fuochi F1 e F2 e i vertici V1 e V2 - con centro in F1, si traccia un arco di raggio pari a 1H; - i due archi si incontrano nei punti P e P, appartenenti all iperbole. - fissando su af un punto 2 a piacere si ripete il procedimento e si trovano altri due punti dell iperbole; - con procedimento analogo si costruisce anche l altro ramo dell iperbole. 31 Costruzione dell iperbole, dati gli asintoti a e i vertici V1 e V2 - Si uniscono i vertici V1 e V2 con una retta che passa anche per C, centro dell iperbole e si ottiene l asse focale af; - da V1 si traccia una retta normale ad af, che interseca l asintoto a nel punto S; - con centro in C si traccia una circonferenza di raggio CS; 23

24 31 Costruzione dell iperbole, dati gli asintoti a e i vertici V1 e V2 - l intersezione della circonferenza con af determina i fuochi F1 e F2; - si fissa su af un punto 1 a piacere e con centro in F1 si traccia una circonferenza di raggio 1V1; - con centro in F2 si traccia la circonferenza di raggio 1V2; - i punti di intersezione tra le due circonferenze sono punti del ramo d iperbole; - ripetendo la costruzione e raccordando i punti trovati si disegna l iperbole. 32 Costruzione di un ovale, dati gli assi AB e CD - Gli assi AB e CD si intersecano in O; - con centro in O e raggio OA si traccia un arco che interseca il semiasse minore nel punto E; - si traccia il segmento CB; - con centro in C e raggio CE si traccia un arco che interseca CB nel punto F; - si traccia l asse del segmento FB, che interseca AB in H e CD in I; - H e I sono due dei quattro centri dell ovale, gli altri due sono i simmetrici L ed M. 24

25 33 Costruzione di un ovale, dato l asse maggiore AB - Si divide AB in tre parti uguali, segnando i punti 1 e 2; - con centri in 1 e in 2 e raggio pari a A1, si tracciano due circonferenze, che si intersecano in 3 e 4; - unendo 3 e 4 con i punti 1 e 2, si ottengono quattro rette, che intersecano le due circonferenze nei punti t (di separazione tra le curve diverse dell ovale); - con centro in 3 e 4 e raggio 3t, si tracciano due archi che raccordano le circonferenze già tracciate e completano la rappresentazione dell ovale. 34 Costruzione della spirale a passo p costante, dati due centri 1 e 2 PASSO = distanza tra due punti della spirale, dopo che ha compiuto un giro completo p è il doppio della distanza Si traccia una retta r e su essa si posizionano i due centri 1 e 2; - con centro in 1 e raggio 1-2 si traccia una semicirconferenza che incontra r nel punto 3; - con centro in 2 e raggio 2-3 si traccia una semicirconferenza che incontra r nel punto 4; etc. 25

26 35 Costruzione della spirale di Archimede - Si traccia una retta a e su essa si posizionano il centro O della spirale ed il punto A, tale che AO sia pari al passo della spirale; - si divide OA in 12 parti numerate; - si tracciano da O le rette b, c, d, e, f che dividono il piano in 12 settori di uguale apertura angolare; - con centro in O si tracciano 12 circonferenze di raggio O1, O2, O3, etc ; 35 Costruzione della spirale di Archimede - iniziando da O si determinano i punti di intersezione tra rette e circonferenze, allontanandosi sempre di un intervallo; - tali punti appartengono alla spirale che si ottiene raccordandoli. 26

27 36 Costruzione di una spirale con quarti di circonferenza e con passo p assegnato - Si costruisce il quadrato 1234 di lato pari ad ¼ di p e si prolungano a piacere i lati del quadrato; - con centro in 1 e raggio pari a 1-2 si traccia una circonferenza e si determina il punto A; - con centro in 2 raggio 2A si traccia un arco e si trova il punto B; - si prosegue con l arco di centro 3 e raggio 3B, etc. 37 Costruzione di tangente ad una circonferenza in un punto P assegnato - Si fissa il punto P sulla circonferenza di centro C; - si traccia il segmento PC; - si costruisce la retta t perpendicolare a PC e passante per P; - essendo t perpendicolare ad uno dei raggi della circonferenza, risulta essere tangente ad essa. 27

28 38 Costruzione del centro di un arco di circonferenza g assegnata - Dato l arco di circonferenza g, si tracciano a piacere due corde 1-2 e 3-4, - si tracciano, con il procedimento già studiato, gli assi dei segmenti 1-2 e 3-4; - i due assi si intersecano nel punto C, che è il centro dell arco. 39 Costruzione di una circonferenza passante per tre punti assegnati A, B e C - Dati i tre punti assegnati A, B e C, si tracciano i segmenti che li uniscono AB, AC e BC; - si tracciano gli assi di AB e BC, che si incontrano nel punto D; - D è il centro della circonferenza ; - si traccia la circonferenza con centro in D e raggio DA. 28

29 40 Costruzione di due tangenti a una circonferenza da un punto assegnato P - Si traccia una retta passante per P e per il centro della circonferenza C; - Si trova il punto ½ medio di PC e con centro in ½ si traccia un arco di circonferenza di raggio ½C; - l arco interseca la circonferenza nei punti A e B; - I segmenti PA e PB sono le tangenti cercate. 41 Raccordo di due rette a e b perpendicolari con un arco di circonferenza di raggio dato - Si traccia il punto V di intersezione tra a e b; - con centro in V si traccia un arco, pari a quello assegnato, e si determinano i punti A e B di intersezione con le due rette; - con centro in A e B e stessa apertura di compasso già usata, si tracciano due archi; - i due archi si intersecano in C, centro del raccordo; - con centro in C e apertura pari al raggio assegnato, si raccordano i punti A di a e B di b. 29

30 42 Raccordo di due rette a e b formanti un angolo acuto, con un arco di circonferenza di raggio r dato - Si tracciano due rette parallele dalle rette a e b a distanza r da esse; - le due parallele si intersecano nel punto C, centro del raccordo; - da C si tracciano due perpendicolari ad a e b e si determinano i punti A e B; - con centro in C e apertura pari al raggio assegnato, si raccordano i punti A di a e B di b. 43 Raccordo di due rette a e b convergenti con un arco di circonferenza - Si traccia una retta c a piacere, che taglia a e b nei punti D e E; - si tracciano le bisettrici degli angoli formati da a e c e da b e c; - le bisettrici si intersecano in C, centro del raccordo; - da C si conducono le normali ad a e b e si individuano A e B; -Con centro in C e raggio CB si traccia il raccordo tra i punti A di a e B di b. 30

31 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI CUNDARI CESARE, Il Disegno. Ragioni. Fondamenti. Applicazioni, Edizioni Kappa, Roma 2006 DOCCI MARIO, Teoria e pratica del Disegno, Editori Laterza, Roma-Bari 1987 MARIO DOCCI DIEGO MAESTRI, Scienza del disegno, UTET, Torino