Oscillazioni. Si produce un oscillazione quando un sistema viene perturbato rispetto a una posizione di equilibrio stabile

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1 Oscillazioni Si produce un oscillazione quando un sistema viene perturbato rispetto a una posizione di equilibrio stabile Caratteristica più evidente del moto oscillatorio è di essere un moto periodico, ovvero che si ripete con regolarità nel tempo Le oscillazioni costituiscono una parte importante del mondo in cui viviamo. Un esempio famoso e vistoso: oscillazioni indotte dal vento su di un ponte sul fiume Tacoma, 7 novembre 1940

2 Moto periodico Qualunque movimento che si ripeta ad intervalli regolari è definito come moto periodico. Il moto periodico è caratterizzato da Frequenza f = numero di oscillazioni compiute in un secondo. Si misura in Hertz: 1 Hz =1 s 1 Periodo T = tempo impiegato per compiere un oscillazione completa; T = 1/f.

3 Moto armonico semplice Se tendiamo o comprimiamo una molla con una massa a un estremo e poi la lasciamo andare, la massa oscillerà avanti e indietro (trascuriamo gli attriti). Questa oscillazione è chiamata Moto Armonico (Semplice). Ad ogni istante: F = m a ma F = kx da cui ovvero ma = m d2 x dt 2 = kx d 2 x(t) dt 2 = k m x(t) = ω2 x(t) dove si è introdotto ω 2 = k m, ovvero ω = k m (frequenza angolare).

4 Dinamica del moto armonico La soluzione più generale dell equazione del moto armonico, d2 x(t) dt 2 = ω 2 x(t), è x(t) = A cos(ωt + φ) da cui v(t) = dx(t) = Aω sin(ωt + φ), dt a(t) = d2 x(t) dt 2 = Aω 2 cos(ωt + φ) = ω 2 x(t) Periodo dell oscillazione: T = 2π/ω Frequenza dell oscillazione: f = ω/2π. Ampiezza massima dell oscillazione: x max = A. Velocità massima: v max = ωa. Accelerazione massima: a max = ω 2 A = ω 2 x max. La fase φ e l ampiezza A sono determinate dalle condizioni iniziali. Da notare che ω non dipende dall ampiezza delle oscillazioni!

5 Moto armonico e moto circolare uniforme La proiezione su di un asse del moto circolare uniforme su di una circonferenza di raggio A a velocità angolare ω descrive un moto armonico Il moto circolare uniforme su di un piano può essere descritto dal vettore r(t): r(t) = (x(t), y(t)) = (A cos(ωt + φ), A sin(ωt + φ)) E immediato verificare che valgono tutte le proprietà del moto circolare uniforme: θ(t) = ωt + φ, r = x 2 (t) + y 2 (t) = A, v = ωr (tangenziale), a = ω 2 r (centripeta).

6 Esempio: molla orizzontale Una massa m = 2 kg attaccata a una molla oscilla con ampiezza A = 10 cm. A t = 0 la velocità è massima, e vale v = +2 m/s. Quanto valgono ω e la costante della molla k? Qual è la legge del moto? v max = ωa = ω = v max A = 2m/s 10cm = 20s 1. k ω = m = k = m ω2 = 2kg(20s 1 ) 2 = 800N/m x(t) = A cos(ωt + φ), v(t) = Aω sin(ωt + φ) Dato che v(0) = Aω sin φ = v max sin φ, deve valere sin φ = 1, ovvero φ = π 2 : x(t) = A cos(ωt π ) = x(t) = A sin(ωt) 2 Notare che servono due condizioni per determinare le due costanti A e φ: per esempio, ampiezza, velocità a t = 0; o posizione e velocità a t = 0.

7 Esempio: molla verticale All equilibrio, la molla si allunga di una lunghezza y 0 data dalla condizione mg = ky 0, ovvero y 0 = mg/k. Se y è misurato a partire dalla posizione di equilibrio, F = ky come nel caso della molla orizzontale: F = ma = ky = d2 y dt 2 = ω2 y con ω = k/m. Come nel caso della molla orizzontale, la soluzione è y(t) = A cos(ωt + φ) dove A è l ampiezza, ω la frequenza angolare (indipendente dall ampiezza!), φ una fase. L oscillazione avviene intorno al punto di equilibrio (dove la forza risultante è nulla). v(t) = Aω sin(ωt + φ), a(t) = ω 2 sin(ωt + φ)

8 Condizioni iniziali L ampiezza A e la fase φ di un moto armonico sono determinate dalle condizioni iniziali. Per esempio: x(t = 0) = x 0, v(t = 0) = 0 da v(0) = ωa sin φ = 0 si ottiene φ = 0 da x(0) = A cos φ = x 0 si ottiene A = x 0 : x(t) = x 0 cos ωt x(t = 0) = 0, v(t = 0) = v 0 da x(0) = A cos φ = 0 si ottiene φ = π/2 da v(0) = ωa sin φ = v 0 si ottiene A = v 0 /ω, da cui infine: x(t) = v 0 ω sin ωt (si è usato cos(θ π/2) = sin θ)

9 Energia nel moto armonico Energia potenziale nel moto armonico: U = 1 2 kx2. Cinetica: K = 1 2 mv2. Se x(t) = A cos(ωt + φ), U(t) = 1 2 ka2 cos 2 (ωt + φ), K(t) = 1 2 mω2 A 2 sin 2 (ωt + φ) L energia meccanica E = K + U non dipende dal tempo (è conservata!): E = 1 2 ka2 cos 2 (ωt + φ) mω2 A 2 sin 2 (ωt + φ) = 1 2 ka2 Notare che l energia meccanica dipende dal quadrato dell ampiezza di oscillazione.

10 Moto approssimativamente armonico L energia potenziale del moto armonico è una funzione quadratica delle coordinate. Esistono in natura moltissimi casi di moto quasi armonico, dovuto ad un energia potenziale approssimativamente armonica. Esempio: energia potenziale fra due atomi in una molecola, come H 2. Attorno alla posizione di equilibrio x 0, vale lo sviluppo in serie di Taylor: U(x) U(x 0 )+(x x 0 ) du dx + 1 x0 2 (x x 0) 2 d2 U dx x0 ma in x = x 0 vale du dx = 0 (equilibrio!); ponendo x = x x 0, U = U U(x 0 ): U (x ) U k x 2, k = d2 U dx 2 x0 Dato che F = du(x)/dx, un potenziale quadratico produce forze lineari in x.

11 Il pendolo semplice Il pendolo semplice è un altro esempio notevole di moto approssimativamente armonico. Soluzione con le forze (lungo l arco): F = ma = mlα = mg sin θ Con i momenti (rispetto al punto di oscillazione): τ = Iα = mgl sin θ Dato che I = ml 2 si ottiene la stessa equazione. Per piccole oscillazioni: sin θ θ, da cui α = mgl θ ovvero: I mgl g α = ω 2 θ, dove ω = = I L. Il pendolo oscilla quindi con periodo T = 2π ω, indipendente dall ampiezza delle oscillazioni, nel limite di piccole oscillazioni.

12 Il pendolo semplice II Soluzione con la conservazione dell energia: E = K + U = 1 2 mv2 + mgl(1 cos θ) (assumendo U = 0 nel punto più basso) da cui E = 1 ( 2 m L dθ ) 2 + mgl(1 cos θ) de dt dt = 0 ml 2dθ dt d 2 θ + mgl sin θdθ dt2 dt = 0 d2 θ dt 2 + g L sin θ = 0 Ricordando che α = d 2 θ/dt 2 e assumendo la validità dell approssimazione sin θ θ, si riottiene l equazione del moto armonico come in precedenza. Soluzione generale: θ(t) = A cos(ωt + θ 0 ). Attenzione! dθ dt = ωa sin(ωt + θ 0) ω! ω è una costante, dθ dt no (oscilla)!

13 Il pendolo fisico (o reale) Solido di forma arbitraria, di massa M, appeso e libero di ruotare attorno a un asse fisso diverso dal suo centro di massa. Scriviamo l equazione del moto rotatorio. Assumiamo I =momento d inerzia per rotazioni attorno ad O. Iα = τ = Mgd sin θ dove d è la distanza fra O e il centro di massa (ricordare che il momento della forza peso è lo stesso che se tutta la massa fosse concentrata nel centro di massa) Notare che questa è l equazione del moto di un pendolo di lunghezza d già trovata in precedenza. Per piccole oscillazioni: Mgd Iα Mgdθ α = ω 2 θ, ω = I Di nuovo, siamo in presenza di oscillazioni armoniche di periodo T = 2π ω = 2π I Mgd

14 Quiz In quale caso la frequenza di oscillazione è maggiore?

15 Oscillazione smorzate Consideriamo di nuovo una molla in presenza di forze di attrito o di resistenza. Per esempio, una molla che oscilla in un liquido viscoso, con forza di resistenza propozionale alla velocità: ma = ky bv m d2 y = ky bdy dt2 dt Questa è un equazione differenziale non del tutto banale Nel caso in cui la forza di resistenza è piccola rispetto alla forza armonica, ovvero se b è piccolo, la soluzione ha la forma: y(t) = Ae b 2m t cos(ωt + φ) dove ω vale ω = k m b2 4m 2

16 Oscillazione forzate Consideriamo ora una molla in presenza di forze di attrito o di resistenza e di una forza esterna oscillante. Assumiamo che la forza esterna abbia la forma F (t) = f 0 cos ω 0 t. L equazione del moto diventa ma = ky bv + f 0 cos ω 0 t m d2 y = ky bdy dt2 dt + f 0 cos ω 0 t. La soluzione di questa equazione è un po complessa. In generale possiamo dire che: Il moto è oscillatorio con frequenza angolare ω 0 e con ampiezza che cresce se ω 0 si avvicina a ω. Se lo smorzamento b è piccolo, l ampiezza di oscillazione diventa molto grande per ω 0 ω, ovvero quando la frequenza di oscillazione della forza esterna è prossima ad una freqeunza di vibrazione interna. Questo fenomeno si chiama risonanza ed è caratterizzato da un forte trasferimento di energia al sistema oscillante. Le immagini all inizio di queste trasparenze mostrano di cosa sono capaci le risonanze!