Esercizi sulle radici

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1 Esercizi sulle radici Semplificazione Per semplificare una radice utilizzando, quando necessario, i valori assoluti, dobbiamo ricordare che se una radice ha indice pari, il suo radicando (il numero che è sotto radice) è maggiore o uguale a 0 e la radice stessa assume valore maggiore o uguale a 0, se una radice ha indice dispari, il suo radicando può essere un qualsiasi numero e il risultato della radice ha lo stesso segno del radicando Pertanto, semplificando una radice di indice dispari non utilizzeremo mai il valore assoluto Qualche esempio: Semplifichiamo la radice 5a b Si tratta di una radice quadrata, quindi deve essere 5a b 0 Ma questo è vero indipendentemente dal segno di a e di b: non sappiamo nulla del loro segno Adesso semplifichiamo la radice: 5a b 5 a b 5 a b Abbiamo messo a in valore assoluto perché se fosse a < 0 il risultato della radice sarebbe un numero negativo e per una radice quadrata questo non è possibile Semplifichiamo la radice 8a b Abbiamo una radice di indice pari, quindi deve essere 8a b 0 Questo accade quando a 0 Sappiamo quindi che a 0, ma non sappiamo il segno di b Semplifichiamo: 8a b a b ab Non serve il valore assoluto in a perché sappiamo che a 0 e non serve in b perché un quadrato è sempre maggiore o uguale a 0 Semplifichiamo la radice a b c La radice ha indice pari, quindi deve essere a b c 0 e ciò è vero indipendentemente dal segno di a, b e c: nulla sappiamo di a, b e c Semplifichiamo: a b c a b c ac b Il valore assoluto è necessario in a e in c perché se il loro prodotto fosse negativo avremmo un risultato negativo, non ammissibile per una radice sesta Semplifichiamo x + y + y x Quando sotto alla radice abbiamo delle somme, prima di provare a semplificare dobbiamo scomporre in fattori Abbiamo + x y + xy x ( + xy) + xy x x Abbiamo messo il valore assoluto perché non sappiamo nulla del segno di x e di + xy Semplificate voi queste radici mettendo, solo se necessario, il valore assoluto: x y z 8 x y z 9x y 5z t 5 9a + ab + b x9 + x 8 + x 7 + x a (x + ) b + b a a + b + c 9 7a b d 9 + b a

2 Prodotto tra radici Se moltiplichiamo due radici che hanno lo stesso indice abbiamo n A n B n A B Ad esempio 8 a 8 a 8 a a Perché, semplificando la radice, non abbiamo messo il valore assoluto? a 9 8 a 9a a 9 8 a 9a 7 8 a a Se dobbiamo moltiplicare due o più radici che hanno indici diversi, dobbiamo fare in modo di portare tutte le radici ad avere lo stesso indice, ovviamente senza cambiare il loro valore Questo è possibile tenendo presente che n Am np A mp Questa regoletta, che abbiamo dimostrato in classe che ci è servita anche per semplificare le radici, ci dice che è possibile moltiplicare indice della radice ed esponente del radicando per uno stesso numero (ovviamente, m, n e p sono interi positivi) Vediamo qualche esempio: Il minimo comune multiplo tra gli indici delle radici è Possiamo scrivere a a Deve essere a 0 perché a è il radicando di una radice quadrata Essendo a 0, è anche a 0, per cui il prodotto delle due radici non può essere negativo Il minimo comune multiplo tra gli indici è Quindi a a a a a a a 5 a x Deve essere x 0 perché x è il radicando di una radice quarta Invece a può essere sia positivo che negativo Se a 0 il prodotto tra le radici è maggiore o uguale a 0, se a < 0 il prodotto sarà negativo Bisogna distinguere due casi: { a a x x se a 0 a x se a < 0 x x Deve essere x 0, quindi x, perché x è il radicando di una radice quadrata Se x è anche x 0, quindi la x non può essere negativa Pertanto il prodotto sarà maggiore o uguale a 0: x x (x ) x Calcolate i seguenti prodotti, distinguendo i casi se necessario: x x x x a a x x yx 5 x x x + x 7 a 5 a 5 5 a 5 (a 5) 8 abc ab a 9 a b ab

3 Portare fattori fuori dalla radice A volte non è possibile semplificare una radice, ma si può rendere più semplice il radicando Qualche esempio: 75 La radice non è semplificabile perché 75 non è un quadrato perfetto, ma se scomponiamo 75 in fattori primi abbiamo In pratica, abbiamo portato fuori dalla radice il fattore 5 dividendo il suo esponente per l indice della radice 8 Scomponiamo 8 in fattori primi: 8 In questo caso nessuno dei fattori primi aveva un esponente divisibile per che è l indice della radice Ma si può vedere come, poi si porta il fuori dalla radice A prima vista la somma sembra non semplificabile, ma se proviamo a portare fuori dalla radice qualche fattore vediamo che non è così Scomponiamo in fattori i radicandi: x y Quando tra i fattori ci sono delle lettere è importante ricavare alcune informazioni su di esse Deve essere x y 0 perché si tratta del radicando di una radice quadrata Questo accade quando y 0 perché in ogni caso x 0, indipendentemente dal segno di x Quindi sappiamo che y 0, ma x può essere anche negativa Allora x y x y Il valore assoluto non serve alla y sotto alla radice perché sappiamo che y 0, ma è necessario alla x che è uscita dalla radice Infatti, se fosse x < 0, il prodotto x y sarebbe negativo e non potrebbe essere uguale alla radice x y che, per definizione, è maggiore o uguale a 0 a b 5 c d Deve essere a b 5 c d 0 e questo accade quando b 5 d 0, cioè quando bd 0 (gli esponenti dispari non cambiano il segno della base) Quindi sappiamo solo che bd 0, ma non sappiamo nulla sul segno di a, b, c e d Portiamo fuori: a b 5 c d a b bc c d 8 d b c d a bc d Sotto alla radice non serve il valore assoluto in quanto bd 0 perché ha lo stesso segno di bd Fuori dalla radice il valore assoluto serve solo a c, di cui non conosciamo il segno, ma non a b e a d perché sappiamo che bd 0 ax y 5 Deve essere ax y 5 0, cioè axy 0 Ma non conosciamo i segni dei singoli fattori Portiamo fuori: ax y 5 ax xy y x y axy Dentro alla radice non serve il valore assoluto perché sappiamo che axy 0 Fuori, serve solo alla a perché comunque è y 0 x + x + x Dobbiamo scomporre il radicando in fattori: x + x + x x ( x + x + ) x (x + ) Deve essere x (x + ) 0 e questo succede quando x 0 in quanto (x + ) 0 sempre Portiamo fuori: x (x + ) (x + ) x Non serve il valore assoluto in x + perché, essendo x 0, è anche x + 0

4 x + x Scomponiamo il radicando in fattori: x + x x (x + ) Deve essere x (x + ) 0, cioè x + 0, quindi x Portiamo fuori: x (x + ) x x + Serve il valore assoluto perché non è detto che sia x 0 Se la radice da cui portate fuori ha un indice dispari vi dovete solamente preoccupare di scrivere correttamente gli esponenti Non serve alcun valore assoluto Portate fuori dalle radici mettendo, se necessario, i valori assoluti: 7x y 5 a b c ab c d x + x + x 5 x x + x x 5 (x ) (x + ) 7 x 5 + x + x + x 8 x 5 x + x x 9 xy (xy + ) Se possibile, semplificate le seguenti somme: ( + ) ( 8 + ) + ( 5 0 ) ( + ) ( + ) Radicali doppi In generale un espressione del tipo 5 + non è semplificabile, ma in casi particolari può esserlo Questo accade quando il radicando della radice esterna, nel nostro esempio 5 + può essere visto come il quadrato di un binomio Supponiamo di trovarci di fronte a un espressione del tipo s + p dove s e t sono numeri positivi Se esistono due numeri positivi a e b il cui prodotto è p e la cui somma è s, allora risulta ( a + b ) a + b + ab p + s, quindi s + p (a + b ) a + b Qualche esempio: 5 + Dobbiamo cercare due numeri positivi il cui prodotto è e la cui somma è 5: sono e Allora ( ) Cerchiamo sempre due numeri positivi il cui prodotto è e la cui somma è 5: sempre e Allora 5 + ( ) Abbiamo scritto e non perché una radice quadrata non può essere negativa e quindi non può essere uguale a

5 7 + Abbiamo Ci servono due numeri positivi il cui prodotto è e la cui somma è 7: sono e Allora ( + ) In questo caso, che non vi capiterà quasi mai, è più complicato ottenere il due davanti a 5 Provate a seguire i passaggi, se non ci saltate fuori non succede nulla Abbiamo ( ) , quindi, Semplificate i seguenti radicali doppi: Razionalizzare il denominatore Qualche volta, quasi mai, potrebbe darvi fastidio la presenza di una radice al denominatore di una frazione In questi rari casi cercheremo di scrivere una frazione avente lo stesso valore di quella che ci infastidisce, ma che non conterrà la radice al denominatore Vediamo alcuni esempi: Per eliminare dal denominatore senza cambiare il valore della frazione, moltiplichiamo numeratore e denominatore per Otteniamo Il valore della frazione di partenza non cambia perché essa viene moltiplicata per Si procede come prima: moltiplichiamo numeratore e denominatore per Otteniamo Se vogliamo toglierci dai piedi dobbiamo moltiplicarla per, in modo da ottenere Per lo stesso numero dovremo moltiplicare anche il numeratore: Ricordando che (A + B) (A B) A B, moltiplichiamo numeratore e denominatore per 7 : ( 7 ) ( ) ( ) 5 ( 7 ) 7 7 5

6 Moltiplichiamo numeratore e denominatore per + : + + ( ) + ( ) ( ) ( + ) 0 ( + ) Sul vostro libro potete trovare esempi molto più complicati E molto più inutili Ma vediamo almeno un esempio in cui può essere utile razionalizzare il denominatotr di una frazione Risolviamo l equazione x + x + 0 Poiché x ( x ) ( x + ), l equazione diventa + ( x ) ( x ) ( x + ) 0 5 Il denominatore ci dice che non protremo accettare come soluzioni i numeri e Togliendo il denominatore, otteniamo la soluzione dell equazione: + x 0 x x Se non razionalizzassimo il denominatore potremmo non accorgerci che la soluzione non è accettabile Razionalizziamo: x Adesso non ci possiamo sbagliare x è una soluzione non accettabile Razionalizzate i denominatori delle seguenti radici: a b a + b Equazioni con coefficienti irrazionali Se tra i numeri che compaiono nelle equazioni ci sono anche i numeri irrazionali (cioè le radici), non cambia nulla nel procedimento di risoluzione, ma bisogna fare più attenzione ai calcoli Nel paragrafo precedente abbiamo visto un esempio di equazione di primo grado Ne vediamo adesso alcune di grado superiore al primo: x + ( 5 ) x 5 0 Calcoliamo il : ( ) ( 5 ) ( 5 + 5) Osserviamo che se ( 5 ) ( ), risulta Calcoliamo le soluzioni dell equazione: x + ( ) 5 ± ± ( + 5 ) 5

7 x 7x 0 Calcoliamo il : ( 7) ( ) 7 + Vediamo se è possibile scrivere 7 + come quadrato di un binomio, procedendo come abbiamo visto per i radicali doppi: Cerchiamo due numeri positivi il cui prodotto è e la cui somma è 7 Sono e Allora Calcoliamo le soluzioni dell equazione: + + ( + ) ( + ) x 7 ± ( + ) 7 ± ( + ) Se volete potete razionalizzare il denominatore delle soluzioni anche se in questo caso non serve perché non ci sono eventuali numeri da non accettare come soluzioni x + x 0 Non è un equazione di secondo grado, ma la diventa se poniamo t x Otteniamo l equazione t + t 0, in cui 5 e le cui soluzioni sono t ± 5 Se t, allora x che non ha soluzioni perché un quadrato non può essere negativo Se t, allora x, da cui troviamo le soluzioni x ± x + x 0 Se poniamo t x otteniamo la stessa equazione dell esempio precedente le cui soluzioni erano t e t Se t, allora x, da cui x ; se t, allora x, da cui x x x + 0 Non è un equazione di secondo grado, ma la diventa se poniamo t x Otteniamo l equazione t t + 0, per cui abbiamo Calcoliamo le soluzioni: t ± ± ± ( ± ) + Se t, allora x, da cui x ± Cerchiamo due numeri che moltiplicati fanno e sommati fanno : sono e Allora x ± ± + ( ) ( ) + ± ± Se t +, allora x +, da cui x ± + Finite voi l esercizio come nel caso in cui t Risolvete le seguenti equazioni:

8 x ( ) x 0 0x ( + 5 ) x + 0 x + 5x 0 x + x x 5x + 0 x 8 5x 0 7 x 5x 0 8 x 8x x 5 x