Teoria della probabilità Variabili casuali

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1 Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Variabili casuali A.A Alberto Perotti DELEN-DAUIN Variabile casuale Una variabile casuale (VC) è una funzione reale definita sullo spazio campione S: a ciascun punto s S la VC fa corrispondere un valore reale = ξ(s). Per ogni numero reale, l insieme {s: ξ(s) = } è un evento. Per ogni intervallo (, 2 ), l insieme {s: ξ(s) [, 2 ]} è un evento. 2

2 Variabile casuale (cont.) Esempio : lancio di una moneta. Si può associare all evento {testa} ({T}) il valore 0 e all evento {croce} ({C}) il valore. Si ottiene una variabile casuale discreta binaria. 3 Variabile casuale (cont.) Esempio 2: lancio di un dado. Si può associare al punto s i = {è uscito il numero i} il valore = ξ(s i ) = i. Si ottiene una variabile casuale discreta. 4 2

3 Variabile casuale (cont.) Esempio 3: misura di resitenza. Si può associare l evento {il risultato della misura è r} al valore = ξ(r) = r. Si ottiene una variabile casuale continua. 5 Distribuzione cumulativa È una funzione reale definita nel seguente modo: Proprietà: Estremi: F è monotona non decrescente: 6 3

4 Distribuzione cumulativa (cont.) Esempio (cont.): lancio di una moneta. P{T} = ½ P{C} = ½ F ξ () 0 7 Distribuzione cumulativa (cont.) Esempio 2 (cont.): lancio di un dado. P{è uscita la faccia i} = /6 F ξ ()

5 Distribuzione cumulativa (cont.) Esempio 3 (cont.): misura di resistenza. La distribuzione cumulativa è una funzione continua. R 0 : valore nominale della resistenza F ξ () 0 R 0 9 Densità di probabilità È una funzione reale definita nel seguente modo: Significato: è la probabilità dell evento 0 5

6 Densità di probabilità (cont.) Proprietà: Non negativa: Legami con la distribuzione cumulativa: Densità di probabilità (cont.) Esempio (cont.): lancio di una moneta. P{T} = ½ P{C} = ½ f ξ () ½ 0 2 6

7 Densità di probabilità (cont.) Esempio 2 (cont.): lancio di un dado. P{è uscita la faccia i} = /6 f ξ () / Densità di probabilità (cont.) Esempio 3 (cont.): misura di resistenza. La densità di probabilità è una funzione continua. R 0 : valore nominale della resistenza f ξ () 0 R 0 4 7

8 Densità di probabilità (cont.) Data una VC con densità di probabilita f ξ (), la probabilità dell evento {a < ξ < b} vale f ξ () 0 a b 5 Valor medio Il valor medio (o valore atteso) di una VC è definito nei seguenti modi VC discreta cha assume i valori i : VC continua con densità di probabilità f ξ (): 6 8

9 Valor medio (cont.) Esempio (cont.): lancio di una moneta. P{T} = ½ P{C} = ½ f ξ () ½ 0 7 Valor medio (cont.) Esempio 2 (cont.): lancio di un dado. P{è uscita la faccia i} = /6 f ξ () /

10 Valor medio (cont.) Esempio 3 (cont.): misura di resistenza. È necessario conoscere l espressione analitica della densità di probabilità Se f ξ (R 0 + ) = f ξ (R 0 ), R +, il valor medio è R 0. f ξ () 0 R 0 9 Varianza La varianza di una VC è definita nel seguente modo: Fornisce informazioni su quanto la funzione densità di probabilità è concentrata intorno al suo valor medio. La grandezza è il valor quadratico medio, e coincide con la varianza per le VC il cui valore atteso della VC è nullo. 20 0

11 Varianza (cont.) VC discreta cha assume i valori i : 2 2 [( ξ E[ ξ ]) ] = ( E[ ξ ]) P{ ξ = E } VC continua con densità di probabilità f ξ (): 2 [( ξ E[ ξ ]) ] = i i i 2 E ( E[ ξ ]) f ( ) d ξ 2 Varianza (cont.) Esempio (cont.): lancio di una moneta. P{T} = ½ P{C} = ½ ½ f ξ () 0 22

12 Varianza (cont.) Esempio 2 (cont.): lancio di un dado. P{è uscita la faccia i} = /6 f ξ () / Varianza (cont.) Esempio 3 (cont.): misura di resistenza. È necessario conoscere l espressione analitica della densità di probabilità e il valor medio di ξ. f ξ () 0 R

13 Densità uniforme Densità di probabilità uniforme in [a,b] f ξ () / (b-a) a F ξ () b a b 25 Densità uniforme (cont.) Valor medio: Varianza 26 3

14 Densità uniforme - esempi Variabile casuale ξ distribuita uniformemente in [5, 2]: 27 Densità di Bernoulli Un esperimento ha probabilità di successo p e probabilità di insuccesso p Solitamente, si associa all evento {successo} il valore e all evento {insuccesso} il valore 0 Le funzioni distribuzione cumulativa e denstià di probabilità valgono 28 4

15 Densità binomiale Eseguendo n esperimenti di Bernoulli statisticamente indipendenti con probabilità di successo p, la probabilità di ottenere esattamente k successi vale Definendo la VC ξ come il numero di successi, si ottiene 29 Densità Gaussiana Densità di probabilità Gaussiana (o normale) N(µ, σ 2 ) La funzione erf() è chiamata funzione errore. 30 5

16 Densità Gaussiana (cont.) Esempio: densità Gaussiana (o normale) µ: valor medio σ : deviazione standard σ 2 : varianza f ξ () σ = 0.5 σ = σ = 2 µ 3 Densità Gaussiana (cont.) Data una VC ξ Gaussiana con media µ e deviazione standard σ, la probabilità dell evento {ξ > a} è data da La funzione erfc() = erf() è la funzione errore complementare F ξ () 0 µ a 32 6

17 Densità Gaussiana - esempio Si consideri un resistore di resistenza R scaldato ad una qualsiasi temperatura T > 0 K e collegato ad un carico adattato. La tensione che si può misurare ai capi del carico è dovuta all agitazione termica delle particelle cariche nel resistore. 33 Densità Gaussiana esempio (cont.) Campionando in un qualsiasi istante la tensione generata dal resistore, si ottiene una VC Gaussiana a valor medio nullo e varianza proporzionale alla temperatura 2 kt σ = 2 k è la costante di Boltzmann ( J/K) Il prodotto kt è solitamente indicato con N

18 Distribuzione cumulativa congiunta di due VC Date due VC ξ e ξ 2, si definisce la funzione reale dove 35 Distribuzione cumulativa congiunta di due VC (cont.) Proprietà: Osservando che {ξ 2 < } è l evento certo, si ha Analogamente Inoltre 36 8

19 Densità di probabilità congiunta di due VC Date due VC ξ e ξ 2, si definisce la funzione reale La densità di probabilità marginale rispetto a ξ è ottenibile integrando la congiunta rispetto a 2 : f ξ ) = fξ (, 2) 2 ξ ( d 2 37 Distribuzione cumulativa e densità condizionate Data una VC ξ, si definisce la distribuzione cumulativa di ξ condizionata all evento A come La corrispondente densità di probabilità condizionata vale 38 9

20 Distribuzione cumulativa e densità condizionate (cont.) Esempio: se A è l evento {ξ a}, si ottiene F ξ ( ξ a) f ξ ( ξ a) 0 a 0 a 39 Esercizio 7 Una VC ξ ha la seguente densità di probabilità: f ξ ( ) = [ u( ) u( 3) ] 2 dove u() è la funzione gradino unitario Verificare che f ξ () sia una densità di probabilità. Calcolare la funzione distribuzione cumulativa. Calcolare inoltre la probabilità dei seguenti eventi: () (2) (3) (4) { ξ 4} { ξ 2} { ξ } {2 ξ 5 2 } 40 20

21 Esercizio 7 (cont.) Una funzione densità di probabilità deve soddisfare la seguente proprietà: Nel nostro caso: 4 Esercizio 7 (cont.) La distribuzione cumulativa può essere calcolata come F ( ) ξ = P{ ξ } = f = 0 2 ξ 3 3 ( y) dy 42 2

22 Esercizio 7 (cont.) 43 Esercizio 8 Una VC ξ ha la seguente densità di probailità: Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: Calcolare inoltre 44 22

23 Esercizio 8 (cont.) () (2) (3) Infine: Riferimenti bibliografici [P] [G] G. Prati, Videocorso Teoria dei Segnali R. Gaudino, Appunti sulle esercitazioni relative alla Teoria dei Segnali, Comunicaz_elettr_richiami.pdf [BB] S. Benedetto, E. Biglieri, Teoria della Probabilità e Variabili Casuali, Bollati Boringhieri, Torino,