ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE Ing. Luigi Biagiotti Tel luigi.biagiotti@unibo.it

2 Stabilità e sistemi in retroazione Schema di riferimento: Condizione necessaria e sufficiente per l asintotica stabilità del sistema di controllo in retroazione è che l equazione caratteristica abbia tutte le radici con parte reale negativa Introduzione -- 2

3 Stabilità e sistemi in retroazione Obiettivo: dedurre conclusioni sulla stabilità robusta del sistema in retroazione dallo studio nel domino della frequenza della funzione ad anello aperto Criterio di Bode (caso particolare del criterio di Nyquist) Importanza del risultato: 1. Dalla lettura di un solo punto del diagramma di Bode di si deduce la stabilità o meno del sistema chiuso in retroazione F(s). 2. Possibilità di ottenere misure sulla robustezza della stabilità del sistema in retro a fronte di incertezze sul diagramma dei moduli e delle fasi di. Introduzione -- 3

4 Margini di stabilità Margine di ampiezza 0dB M A Margine di fase M F Introduzione -- 4 ω

5 Stabilità: : Criterio di Bode Ipotesi Tesi L(s) non ha poli a parte reale positiva il criterio vale solo per sistemi stabili L(s) abbia guadagno statico > 0 (L(0)>0) altrimenti la retroazione diventa positiva condizione necessaria e sufficiente per l'asintotica stabilità del sistema in retroazione è che il Margine di Fase di L(s) sia > 0 Introduzione -- 5

6 Stabilità e Diagrammi di Bode Margine di fase e stabilità margine di fase proprietà del sistema in catena aperta lo smorzamento della risposta del sistema chiuso in retroazione unitaria dipende dal margine di fase se esiste almeno una frequenza ω 0 alla quale la fase è -180 il guadagno è maggiore di uno il sistema chiuso in retroazione unitaria è instabile. y ref ϕ = e R(s) u G(s) y Introduzione -- 6

7 Stabilità robusta Margine di ampiezza Misura di robustezza della stabilità rispetto ad incertezze sul guadagno di anello. Rappresenta la massima variazione del guadagno di anello che non pregiudica la stabilità 0dB 0 M A Margine di fase Misura di robustezza della stabilità rispetto ad incertezze sulla fase della funzione d'anello. Rappresenta la massima variazione di fase nell'anello che non pregiudica la stabilità M F vanno considerati entrambi ω Introduzione -- 7

8 Relazioni tra rappresentazioni diverse Caratterizzazione frequenziale della risposta di sistemi in retroazione margine di fase basso adeguato guadagno bassa frequenza adeguato basso 1 alta alte frequenze bassa banda passante basse frequenze t Introduzione -- 8

9 Funzione di sensitività complementare Relazione tra F(jω) e la f.d.t. di anello L(jω) Il sistema in retroazione approssima un filtro passa basso a guadagno unitario il suo comportamento si mantiene anche se il sistema in catena aperta cambia le sue caratteristiche possiede quindi poli dominanti nell'intorno di ω c il numero dipende dalla pendenza della L(jω) ) in ω = ω c se la pendenza è -1 avremo un solo polo dominante reale se la pendenza è -2 avremo una coppia di poli dominanti lo smorzamento dipende dal margine di fase 0dB F L ω c ω Introduzione -- 9

10 Risultato fondamentale Smorzamento del sistema in retroazione e margine di fase Regola empirica: Se il margine di fase (sistema in catena aperta) è < di 75 il sistema in retroazione avrà poli complessi coniugati L'analisi della funzione di sensitività complementare ci consente di mettere in relazione proprietà della funzione di trasferimento di anello (margine di fase e pulsazione di attraversamento) con la pulsazione naturale e lo smorzamento dei poli dominanti del sistema in retroazione Abbiamo stabilito un importantissimo legame tra Analisi in catena aperta Proprietà del sistema in retroazione ATTENZIONE: La funzione di sensitività complementare descrive anche la relazione tra il rumore di misura n e l'uscita rumori di misura in banda sono trasferiti senza attenuazione all'uscita Introduzione -- 10

11 Funzioni di sensitività Schema di riferimento ṉ y sp e u R(s) G(s) + d + y Matrice delle funzioni di trasferimento tra le diverse uscite di interesse e gli ingressi Introduzione -- 11

12 funzione di sensitività - S(s) Relazione con la f.d.t. di anello L(jω) 0dB S L il modulo di S(jω) ) appare simile a quello di un filtro passa alto con pulsazione di taglio ω c ω c ω l'attenuazione dei disturbi si mantiene elevata per tutte le pulsazioni per cui L(jω) ) >> 1 le componenti armoniche dei disturbi > di ω c non sono attenuate possiede gli stessi poli dominanti di F(jω) nell'intorno di ω c Introduzione -- 12

13 Funzione di sensitività del controllo Q(jω) Relazione con la f.d.t. dell'impianto e quella del regolatore R 0dB L G Q ω c ω attenzione al guadagno del Regolatore L'azione di controllo si manterrà limitata nell'intervallo di frequenze nelle quali l'impianto ha modulo massimo 0-ω0 g. Poi comincia a crescere fino a ω c per poi portarsi ad un valore che dipende dal guadagno del regolatore Introduzione -- 13

14 Relazione tra specifiche e proprietà di L(s) Nell analisi dei sistemi in retro si è visto come le specifiche sia statiche che dinamiche sul sistema in retroazione possano essere tradotte (in maniera approssimata) in specifiche sulla funzione di anello. Il problema del controllo che rende soddisfatte le specifiche per il sistema in retroazione può quindi essere trasformato in un problema di progetto di L(s) Introduzione -- 14

15 Stabilità robusta Alti margine di fase e di ampiezza danno garanzia di buona robustezza a fronte di incertezze sulla funzione di risposta armonica d anello (sia in termini di incertezze sul modulo che sulla fase) Lower bound su M f e M a Introduzione -- 15

16 Specifiche statiche Riferimenti e disturbi sull uscita (usualmente confinati a basse frequenze) L inverso del modulo di L(jω) nel campo di frequenze in cui è confinato il riferimento e\o il disturbo rappresenta il fattore di attenuazione a regime sull errore di inseguimento y sp + - e R(s) G(s) d Bode Plot Lower bound su L(jω) Livello di attenuazione desiderato su e Magnitude (db) A db Regione proibita per L(jω) 0 db -40 Spettro in cui è confinato il riferimento e/o il disturbo sull uscita Introduzione -- 16

17 Specifiche statiche Riferimenti e disturbi sull uscita (usualmente confinati a basse frequenze) Per soddisfare la specifica statica relativamente a riferimenti e a disturbi sull uscita costanti e necessario che: se e* > 0 L(0) > L* se e* = 0 L(0) = y sp + - e R(s) G(s) d Bode Plot 40 Vincoli sulla pendenza iniziale del diagramma delle ampiezze di L(jω) Magnitude (db) db Introduzione -- 17

18 Specifiche statiche Disturbi di misura (usualmente confinati ad alte frequenze) Il modulo di L(jω) nel campo di frequenze in cui è confinato il disturbo di misura rappresenta il fattore di attenuazione del disturbo sull errore + e - n - R(s) G(s) 60 Bode Plot Upper bound su L(jω) Livello di attenuazione desiderato su e 40 Regione proibita per L(jω) Magnitude (db) db -A db Spettro in cui è confinato il riferimento e/o il disturbo sull uscita Introduzione -- 18

19 Specifiche dinamiche Usualmente date in termini di tempo di assestamento e sovraelongazione percentuale massima nella risposta al gradino È possibile trasformare (in maniera approssimata) le specifiche dinamiche in specifiche frequenziali su L(jω) Se la funzione d anello L(jω) è caratterizzata da una pulsazione di attraversamento ω c e un margine di fase M f allora è lecito aspettarsi che la coppia dei poli c.c. dominanti del sistema in retroazione sia caratterizzata da Introduzione -- 19

20 Specifiche dinamiche Lower bound su M f Lower bound su ω c Possibile range per ω c 60 Bode Plot Magnitude (db) Phase (degrees) Regione proibita per arg(l(jω)) Frequency - log scale Introduzione -- 20

21 Moderazione del controllo e realizzabilità fisica del controllore La moderazione dello sforzo di controllo si ottiene: Limitando la pulsazione di attraversamento ω c (rispetto alla pulsazione di attraversamento del sistema controllato) Realizzando regolatori passa-basso Affinchè il regolatore sia fisicamente realizzabile (grado relativo >= 0), occorre che il grado relativo di L(s) sia >= di quello di G(s) 60 Bode Plot 40 Pendenza a frequenza elevata di L(jω) almeno pari a quella di G(jω) Magnitude (db) db Introduzione -- 21

22 Riepilogo Specifica statica per y 60 sp, d costanti Magnitude (db) Specifica statica per y sp, d definito spettralmente Specifica dinamica su T a Bode Plot Limite sup. per ω c dato da: -Robustezza ai ritardi -Moderazione di controllo Specifica statica per n definito spettralmente Fisica realizzabilità controllore 3 + moderazione controllo 45 Phase (degrees) Specifica dinamica su S% + robustezza stabilità Frequency - log scale 3 Introduzione -- 22

23 Approccio al controllo È conveniente dividere il progetto del controllo in due passi associati al progetto di due sottoparti del regolatore: Regolatore statico : parte del regolatore il cui progetto mira ad imporre le specifiche statiche a bassa frequenza (disturbi sull uscita e/o riferimenti) Regolatore dinamico : parte del regolatore il cui progetto mira ad imporre le specifiche statiche ad alta frequenza (disturbi di misura) e le specifiche dinamiche Introduzione -- 23

24 Approccio al controllo (1 parte Progetto R s (s)) Gli obbiettivi dietro al progetto di R s (s) sono: Rispettare le specifiche sul massimo errore e(t) ammesso a fronte di: Ingressi di riferimento y sp noti (gradino, rampa, ); Disturbi sull uscita d(t), costanti o comunque definiti spettralmente (sinusoidi a frequenze comprese in un range noto); Introduzione -- 24

25 Approccio al controllo (2 parte Progetto R d (s)) Gli obbiettivi dietro al progetto di R d (s) sono: Imporre ω c in un certo intervallo frequenziale Garantire un certo margine di fase Garantire una certa attenuazione e pendenza a frequenze elevate Non bisogna apportare modifiche alla parte statica del regolatore, già progettata (ad es. modificando il guadagno statico) NOTA BENE: tali obbiettivi vanno raggiunti lavorando sul sistema esteso Introduzione -- 25

26 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE - FINE Ing. Luigi Biagiotti Tel luigi.biagiotti@unibo.it