Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti

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1 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti ezione n. Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti. Esercizi con circuiti del I ordine in transitorio con generatori costanti. ircuiti.. serie con generatore di tensione.. parallelo con generatore di corrente. ircuiti.. parallelo con generatore di corrente.. serie con generatore di corrente.. con due resistenze. Esercizi con circuiti del II ordine in transitorio con generatori costanti. ircuiti con una resistenza e un generatore.. serie con generatore di tensione.. parallelo con generatore di corrente. ircuito con tre resistenze e due generatori. ircuito con due resistenze e un generatore. ircuito con due resistenz e un generatore. ircuiti con interruttori In questa lezione applicheremo quello che abbiamo studiato nelle scorse lezioni a circuiti del I ordine e del II ordine. avoreremo con generatori costanti. orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

2 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti. Esercizi con circuiti del I ordine in transitorio con generatori costanti ominciamo con i circuiti del I ordine. Utilizzando generatori di tipo costante avremo a che fare con il calcolo di soluzioni di regime costanti. Un circuito del I ordine alimentato con un generatore costante costituisce il cosiddetto circuito di carica di un condensatore o di un induttore. Immaginiamo di studiare il circuito per t>. Il condensatore e l induttore possono essere a stato zero (variabili di stato nulle) oppure si possono trovare in determinate condizioni di valore iniziale. In ogni caso i generatori costanti forzeranno il condensatore o l induttore ad un valore di regime fissato dal valore del generatore e dalle resistenze presenti nel circuito.. ircuiti.. serie con generatore di tensione onsideriamo il circuito serie di Fig.. I dati sono: t, v (), Ω, - F, e(t) u(t) Volt. Essendo un circuito del I ordine la soluzione cercata è la soluzione del seguente problema (vedi la () della ezione n.8): dv dt v ( ) v τ τ t>. (). con τ - sec pari alla costante di tempo. e(t) i(t) v (t) Fig. ircuito serie. a soluzione del problema () l abbiamo trattata nella ezione n.8. In particolare abbiamo scritto la () che riscriviamo sostituendo i valori assegnati al problema: v t e v k t>. () p orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

3 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti Per calcolare la soluzione dobbiamo calcolare la soluzione particolare v p (t). Essendo il generatore costante la soluzione particolare v p (t) risulterà una costante che possiamo calcolare direttamente dal circuito. In Fig. abbiamo rappresentato il circuito serie in regime stazionario. e(t) i(t) v p (t) Fig. ircuito di Fig. in regime stazionario. Osserviamo che il condensatore si comporta come un circuito aperto e quindi non lascia passare la corrente nella maglia. Pertanto non c è caduta di tensione sulla resistenza attraversa da corrente nulla. Questo comporta che ai capi del condensatore sussiste un tensione pari a quella del generatore di tensione. Possiamo scrivere allora: v p e Volt t>. () integrale generale del problema sarà quindi: ( ) k t t e v t>. () Infine per calcolare la costante k dobbiamo imporre le condizioni iniziali: ( ) k k v (5) In conclusione la soluzione cercata sarà: ( ) - t t e v t>. (6) In Fig. abbiamo rappresentato graficamente la soluzione (6). Determiniamo ora la soluzione con la condizione iniziale non nulla v ()5Volt. Dobbiamo agire direttamente sulla () determinando un diverso valore di k: ( ) k 5 k 5 v (7) orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

4 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti e quindi trovare la soluzione: t -5e v t>. (8) Il grafico della (8) in Fig.. Fig. Grafico della funzione (6). Fig. Grafico della funzione (8). orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

5 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti.. parallelo con generatore di corrente onsideriamo il circuito parallelo di Fig.5. I dati sono: t, v (), Ω, - F, j(t) u(t) A. Essendo un circuito del I ordine la soluzione cercata è la soluzione del seguente problema (vedi la () della ezione n.8): dv dt v ( ) v τ t>. (9) con τ - sec pari alla costante di tempo. I j(t) v (t) a soluzione del problema (9) sarà: v t e v p Fig. 5 ircuito parallelo. k t>. () Per calcolare la soluzione particolare dobbiamo considerare ancora un circuito aperto al posto del condensatore e quindi la tensione ai suoi capi sarà pari alla caduta di tensione sul resistore posto in parallelo al generatore di corrente: v p j Volt t>. () integrale generale del problema sarà: ( ) k t t e v t>. () Infine per calcolare la costante k dobbiamo imporre le condizioni iniziali: ( ) k k - v () II orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 5

6 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti In conclusione la soluzione cercata sarà: t -e v t>. () Osserviamo che la (6) e la () sono uguali grazie al fatto che e(t)j(t)/! Il fatto che questa condizione ci ha fatto ritrovare la stessa soluzione è la conseguenza del Teorema del generatore equivalente che vedremo nella prossima lezione.. ircuiti.. parallelo con generatore di corrente onsideriamo il circuito parallelo di Fig.6. I dati sono: t, i (), Ω, - H, j(t) u(t) A. Essendo un circuito del I ordine la soluzione cercata è la soluzione del seguente problema (vedi la (6) della ezione n.8): di dt i ( ) i τ τ t>. (5). Dove τ / - sec è la costante di tempo. i (t) j(t) Fig. 6 ircuito parallelo. a soluzione del problema (5) sarà quindi: i t e i k t>. (6) p orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 6

7 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti a soluzione particolare i p (t) la possiamo calcolare direttamente dal circuito. In Fig. 7 abbiamo rappresentato il circuito parallelo in regime stazionario. i p (t) j(t) Fig. 7 ircuito di Fig. 6 in regime stazionario. Osserviamo che l induttore si comporta come un corto circuito e quindi impone una tensione nulla sulla resistenza. Questo comporta che l induttore è attraversato da una corrente pari alla corrente del generatore. Possiamo scrivere allora: i p t>. (7) integrale generale del problema sarà: ( ) k t t e i t>. (8) Infine per calcolare la costante k dobbiamo imporre le condizioni iniziali: ( ) k k i (9) In conclusione la soluzione cercata sarà: t -e i t>. () Il grafico della funzione () è simile a quello di Fig.. iò che cambia è la costante di tempo dell esponenziale... serie con generatore di tensione onsideriamo il circuito serie di Fig. (b) della ezione n.5. I dati sono: t, i (), Ω, - H, e(t) u(t) Volt. E facile verificare che, essendo e(t)j(t), la soluzione sarà: orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 7

8 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti t -e i t>. ().. con due resistenze isolviamo ora un esercizio un po più complesso dei precedenti. onsideriamo il circuito di Fig. 8. v I i II i i i j(t) v v v Fig. 8 Esempio di circuito del I ordine con due resistenze. icordiamo la () della ezione n.5: di dt - i j t>t, () eq con t istante iniziale e dove eq dall induttore quando il generatore di corrente è spento. a () la possiamo riscrivere: III è la resistenza equivalente serie vista di - i dt τ j t>t, () con τ / eq la costante di tempo. In base alla () della ezione n. 8, possiamo dire che l integrale generale della () risulterà: i - ( t t ) k τ e i t>t. () p Ancora la k è da determinare imponendo le condizioni iniziali alla (). isolviamo per il circuito in esame tre esercizi: orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 8

9 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti a) alcolare la corrente nell induttore per t > t. I dati sono: t, Ω, Ω, mh, i () A, j(t) u(t) A. b) alcolare la corrente nell induttore per - < t <. I dati sono: Ω, Ω, mh, j(t) u(-t) A u(t) A. c) alcolare la corrente nell induttore del circuito di Fig. 9 per - < t <. I dati sono: t, Ω, Ω, mh, j(t) A. t I i II i i i j(t) v v v v III Fig. 9 Esempio di circuito del I ordine con due resistenze e interruttore. Per tutti e tre gli esercizi si ha: eq e τ sec. eq Esercizio (a) Il problema da risolvere sarà: di dt i ( ) i τ t>, (5) con τ sec. integrale generale della (5) sarà ancora la (). a soluzione particolare si otterrà con il partitore di corrente tra le due resistenze: i p j A (6) eq Il coefficiente k nella () (con t ) si calcola imponendo la condizione iniziale: orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 9

10 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti ( ) k > k i. (7) In conclusione la soluzione sarà: i - e,t t>. (8) Il grafico della (8) in Fig.. Esercizio (b) Fig. Grafico della funzione (8). A differenza dell esercizio (a) in questo esercizio è necessario determinare prima la soluzione di regime stazionario (il generatore e costante) per t<. Sarà necessario risolvere un partitore di corrente e quindi si avrà: i per t<. (9) j,a eq In questo modo conosciamo il valore della soluzione in t: ( ),A condizione iniziale dell evoluzione del sistema per t>. Il problema da risolvere per t> sarà dunque: i che sarà la orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

11 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti di dt i ( ) con τ i τ t>, () sec. a soluzione particolare analogamente alla (6) sarà: i p j 6,6A () eq Il coefficiente k dell integrale generale si calcola imponendo la condizione iniziale: i ( ) k > k,a. () Fig. Grafico della funzione (). In conclusione la soluzione sarà: -t i u( - t) e u () Il grafico della () in Fig.. orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

12 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti Esercizio (c) c) alcolare la corrente nell induttore del circuito di Fig. 9 per - < t <. I dati sono: t, Ω, Ω, mh, j(t) A. In questo esercizio il transitorio si accende grazie alla variazione nell istante t della struttura del circuito. In quell istante si apre il corto circuito inserendo nel circuito la presenza della resistenza. Per t< il circuito si trova a regime, l induttore si comporta come un corto circuito e dunque: j A i per t<. () In questo modo conosciamo il valore della soluzione in t: i ( ) A che sarà la condizione iniziale dell evoluzione del sistema per t>. In questo caso il circuito è lo stesso dell esercizio (a) e (b) e quindi il problema da risolvere per t> sarà: di dt i ( ) i τ t>, (5) con τ sec. a soluzione particolare ugualmente alla (6) sarà: i p j A (6) eq Il coefficiente k dell integrale generale si calcola imponendo la condizione iniziale: ( ) k > k A i. (7) In conclusione la soluzione sarà uguale alla (8) per t>: i -t u( - t) ( e ) u (8) Il grafico della (8) in Fig.. orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

13 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti Fig. Grafico della funzione (8). Per esercizio si potrebbe risolvere il circuito di Fig. 5 della ezione n.9.. Esercizi con circuiti del II ordine in transitorio con generatori costanti ontinuiamo con i circuiti del II ordine. Utilizzando generatori di tipo costante avremo a che fare con il calcolo di soluzioni di regime stazionario.. ircuiti con una resistenza e un generatore isolveremo il classico serie e il parallelo con generatore costante... serie con generatore di tensione In Fig. abbiamo rappresentato un circuito serie. Vogliamo studiare il comportamento di questo circuito per t>t. In particolare vogliamo calcolare v (t) per t>t. Il generatore lo supponiamo costante per t>t, cioè e ( t ) E per t>t. I dati del problema sono: t, Ω, 5µF, mh, E Volt; le condizioni iniziali v ( - ) Volt, i ( - ) A. orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

14 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti v (t) v (t) i (t) II i (t) III i (t) i (t) e(t) v (t) v (t) Fig. ircuito serie. IV e equazioni di stato per tale circuito le abbiamo ricavate nella (6) di ezione n.6. Nel nostro caso poniamo e(t)e. Abbiamo: dv dt di dt i -i - v E per t>. (9) Alle (9) dobbiamo aggiungere le condizioni iniziali sulle variabili di stato che sappiamo continue in. Scriviamo: v i - ( ) v ( ) - ( ) i ( ) V I ;, Scegliamo di risolvere il problema, cioè trovare l equazione differenziale del II ordine, nella variabile v. Quindi abbiamo bisogno della condizione iniziale sulla sua derivata. Dalla prima equazione del sistema (9) ricaviamo i ( ) I 6 6 t 5 () dv.. () dt Ora riscriviamo l equazione (9) della ezione n. 9: orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

15 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti d v dt dv v E. () dt a soluzione della () la possiamo scrivere come somma dell integrale generale dell omogenea associata e di quella di regime (o soluzione particolare): v t) v v ( ). () ( t p Per costruire il termine transitorio v (t) abbiamo bisogno di calcolare le frequenze naturali del circuito. onsideriamo quindi il polinomio caratteristico: λ λ. () e radici di questo polinomio sono complesse coniugate λ (. 5 j 5) ; (. 5 j 5). λ (5). Essendo radici complesse coniugate il termine transitorio sarà: v ( k cos 5t k sin 5t ) 5t e. (6) Essendo il generatore di tensione costante l integrale particolare del problema è una costante; cioè: V v p. Bisogna valutare V. Osservando il circuito si nota che a regime (stazionario) il condensatore si comporta come un circuito aperto e l induttore si comporta come un corto circuito. Essendoci un unica maglia il circuito aperto corrispondente al condensatore non lascerà passare corrente nella maglia stessa e quindi non vi sarà caduta di tensione sulla resistenza. Pertanto la tensione sul condensatore sarà pari a quella del generatore di tensione e quindi: V v p. (7) a () per la (6) e la (7) diventa: v 5 ( ) t t e ( cos 5t k sin 5t ) k Imponendo le condizioni iniziali troviamo k e k.. (8) orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 5

16 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti αt [ e ( k cosωt k sinωt) ] t αt αt αt αt [ k( αe cosωt ωe senωt) k ( αe senωt ωe cosωt) ] t con α.5 e ω. 5 k k 7, Dunque la soluzione (8) risulta:. Dalla (9) si ottiene. 6 (9) v [- 7cos( 5t) ( 5t) ] 5 t ( t ) e sin a costante di tempo del transitorio sarà:. (5) τ.sec. α iò implica che il termine transitorio della soluzione si esaurirà con un errore dell % dopo. 6τ. 9 sec. In Fig. abbiamo rappresentato l andamento della soluzione (5). In questa figura abbiamo anche evidenziato la risposta forzata e l evoluzione libera. Queste due funzioni andrebbero calcolate. sapendo che la loro somma deve coincidere con la soluzione (5) trovata! Fig. Andamento della soluzione (5)... parallelo con generatore di corrente In Fig. 5 abbiamo rappresentato un circuito parallelo. Vogliamo studiare il comportamento di questo circuito per t>t. In particolare vogliamo calcolare i (t) per orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 6

17 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti t>t. Il generatore di corrente lo supponiamo costante, cioè j ( t ) J per t>t. I dati del problema sono: t, Ω, 5µF, mh, J 5 A; le condizioni iniziali v () Volt, i () A. i (t) I i (t) i (t) i (t) j(t) v (t) v (t) v (t) v (t) II Fig. 5 ircuito parallelo. e equazioni di stato per tale circuito le abbiamo ricavate nella (8) della ezione n.6. Abbiamo dv dt di dt v - - i J v per t>. (5) Alle (5) dobbiamo aggiungere le condizioni iniziali: v i - ( ) v ( ) - ( ) i ( ) V I ;, (5) Scegliamo di risolvere il problema nella variabile i. Innanzitutto abbiamo bisogno della condizione iniziale sulla sua derivata. Dalla prima equazione del sistema (5) ricaviamo v ( ) V di. (5) dt t Ora riscriviamo l equazione differenziale del II ordine () della ezione n. 9: d i dt di i J. (5) dt orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 7

18 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti a soluzione del problema la possiamo scrivere come somma della soluzione transitoria e di quella di regime: i ( t ) i ( t ) i ( t ). (55) r Per costruire il termine transitorio i (t) abbiamo bisogno di calcolare le frequenze naturali del circuito. onsideriamo quindi il polinomio caratteristico: λ λ. (56) e radici di questo polinomio sono reali e distinte (negative) λ ( 5) ; ( 5 5). λ (57). Essendo radici reali e distinte il termine transitorio sarà: i 5 t 5.5t ke ke. (58) Essendo il generatore di tensione costante l integrale particolare del problema sarà una costante; cioè: J i p. Bisogna valutare J. Osservando il circuito si nota che a regime (stazionario) il condensatore si comporta come un circuito aperto e l induttore si comporta come un corto circuito. Essendo tutti i tre bipoli passivi in parallelo il corto circuito corrispondente all induttore imporrà una tensione nulla sugli altri due bipoli passivi. Pertanto la corrente nell induttore sarà pari a quella del generatore di corrente e quindi: J 5 i p. (59) a (55) per la (58) e la (59) diventa: 5t 5.5t i k e k e 5. (6) Imponendo le condizioni iniziali troviamo k e k. λt λt [ ke k e 5] t λt λt [ λ ] ke λk e t (6) orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 8

19 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti dove λ ( 5) ; λ ( 5 5) k k.,5,.5. Dunque la soluzione (6) risulta:.. Da (6) si ottiene 5 t 5t i,5e,5e 5. (6) a costante di tempo del transitorio sarà: τ 8 sec. α iò implica che il termine transitorio della soluzione si esaurirà con un errore dell % dopo. 6τ. 7s. In Fig. 6 abbiamo rappresentato l andamento della soluzione (6). In questa figura abbiamo anche evidenziato la risposta forzata e l evoluzione libera. Queste due funzioni andrebbero calcolate. Sapendo che la loro somma deve coincidere con la soluzione (6) trovata! Fig. 6 Andamento della soluzione (6).. con tre resistenze e due generatori di corrente Proviamo ora a risolvere un circuito un pò più complicato. onsideriamo il circuito di Fig. 7. Il circuito è lo stesso di quello di Fig. della ezione n.9. Vogliamo calcolare v 5 (t) per - < t <. orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 9

20 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti j (t) i (t) v (t) I v (t) i (t) II v (t) v 5 (t) i (t) III j (t) i 5 (t) i 6 t) v 6 (t) IV Fig. 7 ircuito del II ordine. I dati del problema sono: j (t)j u(-t), j (t)j u(t), J - A, J A, Ω, Ω, Ω, µf, mh. Il circuito si trova a regime per t<. ominciamo a studiare il circuito a regime per t<. Il generatore j (t) è acceso mentre quello j (t) è spento. Essendo a regime stazionario, il condensatore si comporta come un circuito aperto mentre l induttore come un corto circuito. Il nostro circuito diviene allora quello di Fig.8. I II i (t) III j (t) v 5 (t) Fig. 8 ircuito di Fig. 7 a regime stazionario per t<. Dobbiamo calcolare v 5 ed i. Saranno entrambi costanti poiché il regime è stazionario. Osserviamo che i 5 e v per t< e che v 5 è la tensione ai capi della resistenza : v (t) i (t) t<. (6) IV orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

21 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti Osserviamo che i è la corrente che attraversa la serie di con. Essa sarà data dal partitore di corrente tra la serie di con e di. Andiamo per gradi: calcoliamo la resistenza serie equivalente tra ed : (6) Il partitore tra ed sarà dato da: 5 i J J t<. (65) v 5 (t) dalla (6) e dalla (65) sarà quindi data da: v J 5 t<. (66) 5 e condizioni iniziali che mi occorrono per affrontare il calcolo della soluzione per t> le calcolo dalla (65) e dalla (66). Possiamo scrivere: v 5 ( - ) -5; i ( - ) -5/. (67a) (67b) Ora dobbiamo studiare il circuito per t>. Il generatore j è spento mentre il generatore j è acceso e costante. Il generatore j spento equivalente ad un circuito aperto, come abbiamo rappresentato in Fig.9; pertanto le due resistenze ed le consideriamo in serie pari alla resistenza equivalente. (68) Il circuito di Fig.9 è quello da studiare per t>. E un circuito del II ordine di cui conosciamo le condizioni iniziali. Queste infatti le ricaviamo per continuità dalle (67a) e (67b): v 5 ( )v 5 ( - )-5; i ( )i ( - )-5/. (69a) (69b) Il comportamento del circuito a regime per t-> sarà di tipo stazionario. orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

22 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti i (t) i (t) i (t) v (t) v (t) Fig. 9 alcolo di una resitenza equivalente vista dai nodi II IV per il circuito di Fig.7 per t>. Per determinare la soluzione del problema per t> abbiamo bisogno di individuare l equazione differenziale del II ordine relativa al circuito di Fig.. III v (t) i (t) j (t) III i (t) v (t) m v 5 (t) i 5 (t) m i 6 (t) v 6 (t) IV Fig. ircuito di Fig. 7 per t>. Per quanto riguarda il sistema di equazioni di stato, è quello della (59) della ezione n.9 con j : dv5 v5 i dt di v 5 dt ( ) j i (7) orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

23 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti Dal sistema (7), abbiamo dimostrato nella ezione n.9 (abbiamo posto j (t)), che si ottiene la seguente equazione differenziale di II ordine nella variabile la tensione v 5 (t) (confronta con la (6) della ezione n.9): d v 5 dt dv5 v j. (7) Il termine dj dt dt 5 perché la j è costante. a (7) insieme alle seguenti condizioni iniziali costituisce il nostro problema di auchy: v 5 ( ) 5, dv 5 dt i v j 5 t 5 t (7a). (7b) Vogliamo calcolare le frequenze naturali del problema (7). onsideriamo il polinomio caratteristico: λ λ. (7) 6 Valutiamo il radicando:,88 >. Essendo > avremo radici reali e distinte. e calcoliamo:, 7,6 6,,8 λ 5; λ 758 (7) a soluzione dell equazione (7) la possiamo scrivere come sovrapposizione di un termine transitorio e uno di regime (soluzione particolare). Poniamo: v v v. (7) p alcoliamo per prima cosa il termine transitorio. Per fare questo scriviamo la soluzione dell equazione omogenea associata alla (7): v 5t 758t e k e. (75) k orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

24 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti Per quanto riguarda la soluzione particolare v p (t) osserviamo che il generatore è costante per t> e quindi la soluzione particolare sarà anch essa costante, pertanto possiamo porre v 5p (t)v. III i (t) j (t) III v (t) V v 6 (t) IV Fig. ircuito di Fig.8 per t -> a regime. Valutiamo V lavorando direttamente sul circuito di Fig.. Osserviamo che essendo a regime stazionario il condensatore si comporta come un circuito aperto e l induttore come un corto circuito. Pertanto la tensione sul condensatore sarà: V v 5 (t) v (t) v 6 (t). Allora per valutare il valore di V basterà calcolare la tensione esistente sul parallelo delle due resistenze del circuito di Fig.. Questa tensione si calcola considerando innanzitutto la resistenza equivalente: eq e poi, considerando che eq è attraversata dalla corrente del generatore j, con la relazione caratteristica del resistore: V eq J,5. (76) Dalla (75) e dalla (76) possiamo infine scrivere l integrale generale della (7): 5t 758t k e k e, 5 v t>. (77) 5 i rimane da calcolare le costanti k e k utilizzando le condizioni iniziali (7a) e (7b). Imponendo entrambi le condizioni iniziali possiamo scrivere: orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/

25 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti v 5 dv 5 dt t ( ) 55 k k 758t e t e t k k,5 5 t 5 Da cui si ricava k -.76, k.6; che sostituiti nella soluzione (77) ci danno la soluzione del problema: 55t 758t.76e.6e. 5 v t>. (78) 5 In conclusione abbiamo: v 5 5,.76e 55 t < (79) t 758t.6e.5. t > Il grafico della (79) per t> è rappresentato in Fig.. Fig. Grafico della funzione nella (79) per t>.. ircuito con due resistenze e un generatore avoriamo su un altro circuito che abbiamo analizzato nella ezione n. 9. Il circuito è quello di Fig.. Si tratta di un circuito. orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 5

26 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti v v I i II i III i i i 5 e(t) v v v 5 Fig. ircuito del II ordine con due capacità. I dati del problema sono: e(t)e u(-t)e u(t), E - Volt, E Volt, Ω, Ω, µf, µf. Il circuito si trova a regime per t<. Il circuito va risolto prima per t< in regime stazionario. I due condensatori si comportano come circuiti aperti non lasciando passare la corrente; pertanto: v (t), v (t)e. bisogna poi ricavare le condizioni iniziali. icordiamo dalla (5) della ezione n.9 che per t> dovremo risolvere il seguente problema: IV v&& v v& v& v e& ( t ) V v ( t ) v ( t ) e( t ) DV t t (8) a soluzione del problema (8) è da trovare.. ircuito con due resistenze e un generatore avoriamo, ora, sull altro circuito in cui siano presenti due resistenze come rappresentato in Fig. e i due elementi dinamici sono entrambe delle induttanze. orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 6

27 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti v i v v I i II i III i i e(t) v v Fig. ircuito del II ordine con due induttanze. IV I dati del problema sono: e(t)e u(-t)e u(t), E - Volt, E Volt, Ω, Ω, mhenry, mhenry. Il circuito si trova a regime per t<. Il circuito va risolto prima per t< in regime stazionario. I due induttori si comportano come corto circuiti; pertanto: i (t)i (t)e /. Bisogna poi ricavare le condizioni iniziali. icordiamo dalla (56) della ezione n.9 che per t> dovremo risolvere il seguente problema: && i i i& i& i E i ( ) ( ) i ( ) t E (8) a soluzione del problema (8).. orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 7

28 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti. ircuiti con interruttori In questo paragrafo affronteremo lo studio di circuiti con interruttori considerando i circuiti di Fig. 8 e 9 della ezione n. 9 nei quali abbiamo inserito un interruttore che produce un transitorio. onsideriamo i circuiti di Fig. 5 e 6. Partiamo con la soluzione di quello di Fig. 5. I dati del problema sono: e(t)e, E - Volt, Ω, Ω, mh, µf, t. Il circuito si trova a regime per t<. Pertanto dovremo determinare la corrente i e la tensione v studiando un circuito a regime stazionario. Il condensatore si comporta come un circuito aperto e non lascia passare la corrente nella maglia. Quindi: i (t), t< v (t)e. t< Per t> il circuito cambia fisionomia; dovremo risolvere un problema dinamico le cui equazioni di stato del circuito di Fig. 5 (vedi (7) della ezione n.9) sono: dv - v dt di - v - i dt i e (8) con t>. E quindi ricordando il problema (8) della ezione n.9 scriviamo: v&& v v& v& v ( t ) E - v ( ) i ( ) - E t E per t > (8) a soluzione del problema (8) è da trovare. orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 8

29 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti. v v tt I i II i III i i i 5 e(t) v v v 5 Fig. 5 ircuito del II ordine con due resistenze e un interruttore. ontinuiamo con la soluzione di quello di Fig. 6. I dati del problema sono: j(t)j, J - Volt, Ω, Ω, mh, µf, t. Il circuito si trova a regime per t<. Pertanto dovremo determinare la corrente i e la tensione v studiando un circuito a regime stazionario. Il condensatore si comporta come un circuito aperto e non lascia passare la corrente nella maglia. Quindi: i (t)j, t< v (t). t< Per t> il circuito cambia fisionomia; dovremo risolvere un problema dinamico le cui equazioni di stato del circuito di Fig. 6 (vedi (9) della ezione n.9) sono: IV dv - dt di v dt v - i - i j (8) con t>. E quindi ricordando il sistema (5) della ezione n.9: orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/ 9

30 ezione Esercizi: circuiti dinamici con generatori costanti && i i i& i& i ( ) J v ( ) - i ( ) t - J J per t > t (85) I i i i i v v j(t) v II v tt v 5 III i 5 Fig. 6 ircuito del II ordine con due resistenze e un interruttore. Il problema (85) è stato risolto in classe. o trovate negli esercizi messi sul sito. orso di Introduzione ai ircuiti Prof.ssa orenza orti A.A. 9/