Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori

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1 Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo studente e non devono essere considerate come esaustive sull argomento. In esse vengono presentate alcune nozioni di base sull indipendenza lineare di vettori e viene descritto un metodo, derivante dall algoritmo di eliminazione di Gauss, per riconoscere se un insieme di vettori è costituito da elementi linearmente indipendenti. La teoria esposta è illustrata da esempi e, nell ultimo paragrafo, vengono proposti alcuni esercizi (non svolti). Notazioni Nel seguito verranno utilizzate le seguenti notazioni. Si indicano con le lettere dell alfabeto in bold i vettori e con le lettere dell alfabeto greco i numeri reali (detti scalari). Se v è un vettore (colonna) di R n, v i denota la sua i-esima componente e v t denota il vettore (riga) trasposto di v. denota il vettore (colonna) formato da tutte componenti nulle. Indipendenza lineare Si richiamano due operazioni fondamentali sui vettori.. Dati uno scalare α e un vettore v R n, il vettore t = αv appartiene a R n ed è tale che t i = αv i, i =..., n.. Dati due vettori v e w appartenenti a R n, la somma t = v +w appartiene a R n ed è tale che t i = v i + w i, i =..., n. Utilizzando le precedenti operazioni vettoriali è possibile introdurre il concetto di combinazione linare. Definizione. Dati i vettori v,..., v k di R n e gli scalari α,..., α k, il vettore t è detto combinazione lineare di v,..., v k con coefficienti α,..., α k, se k t = α i v i i=

2 Esempio. Combinazione lineare. La combinazione lineare dei seguenti vettori di R v = v = v = con coefficienti α =, α = e α = genera il vettore α v + α v + α v = + + = Si noti che, se t è combinazione lineare di v,..., v k, esiste una relazione che lega i vettori dell insieme {t, v,..., v k, e quindi tali elementi possono essere considerati dipendenti gli uni dagli altri. Viceversa, dato un insieme V di vettori, se nessuno tra questi può essere espresso come combinazione lineare dei rimanenti, allora si può concludere che gli elementi di V non sono legati tra loro, cioè sono indipendenti. Questo concetto viene formalizzato nella seguente definizione. Definizione. I vettori v,..., v k appartenenti a R n si dicono linearmente indipendenti se la condizione k α i v i =, con α i R, i =..., k () i= implica che α i =, per ogni i =..., k. Altrimenti i vettori v,..., v k si dicono linearmente dipendenti. Dalla definizione precedente segue che se i vettori v,..., v k sono linearmente dipendenti allora esiste almeno una k-upla di coefficienti α... α k non tutti nulli per i quali vale la condizione (). Supponiamo, senza perdita di generalità, che, in caso di k vettori dipendenti, si abbia α. Dalla relazione () si ottiene allora che α v = k α i v i da cui v = i= k i= α i α v i Il risultato precedente evidenzia che il vettore v può essere espresso come combinazione lineare dei vettori v,..., v k, cioè dipende da tali vettori. Esempio. Vettori dipendenti e indipendenti I seguenti vettori di R 4 v = v = 4 v = / /

3 sono dipendenti in quanto si verifica facilmente che v + v v =. Vivecersa, i seguenti vettori di R w = [ ] [ w = sono indipendenti. Infatti, scelti due generici coefficienti β e β si ha che [ ] β β w + β v = β e quindi l unica scelta possibile dei coefficienti affinché la combinazione lineare coincida con è β = β =. È possibile esprimere la combinazione lineare dei vettori v,..., v k con coefficienti α,..., α k in forma matriciale, sfruttando il prodotto matrice per vettore. Indicando con V la matrice n k la cui j-esima colonna è costituita dal vettore v j, cioè V = [v,..., v k ], e con α il vettore la cui i-esima componente è il coefficiente α i, è facile verificare che la condizione () equivale a ] V α = () I coefficienti della combinazione lineare sono quindi soluzione di un sistema (in generale non quadrato) con matrice dei coefficienti V e termine noto nullo. Si osservi che tale sistema ammette sempre una soluzione, in quanto la scelta α =... = α k = soddisfa le equazioni (). Dalla definizione di indipendenza lineare segue che i vettori sono indipendenti se il sistema () ammette la sola soluzione nulla e sono dipendenti se ammette anche soluzioni con componenti diverse da zero. Esempio. Combinazione lineare come matrice per vettore. Dati i vettori v, v e v dell Esempio., la loro combinazione lineare nulla v + v v = può essere espressa come il prodotto V α =, dove la matrice V e il vettore di coefficienti α sono definiti come segue: V = 4 4 α = Un metodo per verificare l indipendenza lineare di un insieme di vettori consiste quindi nell analizzare il numero di soluzioni del sistema (), come descritto nel seguente paragrafo.

4 Riconoscimento dell indipendenza lineare Il metodo descritto in questo paragrafo permette di riconoscere se un insieme di vettori è formato da elementi linearmente indipendenti, analizzando il numero di soluzioni del sistema () nel modo seguente.. Dati i vettori v,..., v k di R n, n k, si costruisce la matrice V, n k, la cui j-esima colonna è costituita dal vettore v j, cioè V = [v,..., v k ].. Si trasforma il sistema V α = nel sistema equivalente (cioè con le stesse soluzioni) Ûα =, dove Û è una matrice del tipo Û = [ U ] k righe n k righe con U matrice triangolare k k Poiché le ultime n k equazioni del sistema Ûα = sono della forma =, esse possono essere trascurate al fine di calcolare la soluzione α. Le soluzioni del sistema () coincidono quindi con quelle del sistema Uα = di k equazioni in k incognite.. Si valuta il numero di soluzioni di Uα = (e quindi di V α = ) calcolando il determinante della matrice U, dato dal prodotto dei suoi elementi diagonali. È ben noto che se det U il sistema U α = ammette un unica soluzione. In tal caso poiché il sistema ha termine noto nullo l unica soluzione ammissibile è quella nulla, cioè α i =, i =,..., k. Viceversa, se det U =, allora il sistema ammette infinite soluzioni. Non si può verificare il caso in cui il sistema non ammetta soluzioni in quanto il vettore è soluzione del sistema in ogni caso. Si può quindi concludere che: se det U allora α = è l unica possibile scelta dei coefficienti dei vettori v,..., v k per ottenere la combinazione lineare nulla e quindi i vettori sono indipendenti; viceversa, se det U = allora il sistema Uα = ha infinite soluzioni (ovviamente anche non nulle) e quindi esistono coefficienti non tutti nulli dei vettori v,..., v k per ottenere la combinazione lineare nulla: in tal caso i vettori sono dipendenti. Si noti che, in tal caso, i coefficienti che permettono di esprimere un vettore dell insieme come combinazione lineare dei rimanenti possono essere ricavati risolvendo il sistema V α =. Osservazione. La trasformazione del sistema V α = nel sistema equivalente Ûα = può essere calcolata effettuando una triangolarizzazione analoga a 4

5 quella del metodo di Gauss []. Infatti la fase di triangolarizzazione del metodo di Gauss non sfrutta il fatto di operare su matrici quadrate, ma utilizza combinazioni lineari di righe per annullare gli elementi al di sotto della diagonale principale di ogni colonna della matrice dei coefficienti. Lo stesso procedimento può essere quindi applicato anche alla matrice Û il cui numero di righe è maggiore del numero di colonne, con la sola differenza che la matrice finale non ha struttura triangolare. Più precisamente, se la matrice iniziale ha n righe e k colonne, con n k, la matrice finale ottenuta mediante il processo di triangolarizzazione è tale che le prime k righe formano una matrice triangolare e le rimanenti n k sono nulle, come mostrato nella formula (). Ovviamente quando si trasforma la matrice dei coefficienti di un sistema lineare per ottenerne uno equivalente, è necessario elaborare anche il vettore dei termini noti. Tuttavia, poiché il temine noto del sistema () è il vettore nullo, esso non subisce trasformazioni durante la fase di triangolarizzazione della, in quanto si dovrebbero solo effettuare somme di coordinate nulle. Per tale motivo, il metodo precedentemente descritto non rielabora il termine noto. Esempio. Il metodo nel caso di vettori indipendenti Verificare se i seguenti tre vettori di R 4 sono linearmente dipendenti o indipendenti: v = 4 v = v = Innanzi tutto si deve triangolarizzare la matrice le cui colonne sono i vettori v, v e v analogamente a quanto avviene nel metodo di Gauss per risolvere sistemi lineari: da cui si ottiene II : II + I III : III 4 I IV : IV I IV : IV 9 III U = 9 III : III + II IV : IV + 4 II Poiché il det U = 9 i vettori v, v e v sono linearmente indipendenti.

6 Esempio. Il metodo nel caso di vettori dipendenti Verificare se i seguenti tre vettori di R 4 sono linearmente dipendenti o indipendenti: v = 4 v = v = Innanzi tutto si deve triangolarizzare la matrice le cui colonne sono i vettori v, v e v analogamente a quanto avviene nel metodo di Gauss per risolvere sistemi lineari: II : II + I III : III 4 I IV : IV I da cui si ottiene U = III : III + II IV : IV + 4 II Poiché il det U = i vettori v, v e v sono linearmente dipendenti. Risolvendo il sistema Uα =, che ha infinite soluzioni, si ottengono i coefficienti della combinazione lineare che lega i tre vettori. Utilizzando il metodo di sostituzione all indietro si ha che il valore di α è libero; inoltre α = α e α = α. Fissato, ad esempio α = si ottengono α = e α = da cui v + v + v =, cioè v = v v. Teorema di Rouché-Capelli In questo paragrafo viene presentato (ma non dimostrato) il teorema di Rouché- Capelli, che permette di verificare l esistenza e il numero di soluzioni di un sistema lineare, sfruttando il concetto di vettori linearmente indipendenti. Per enunciare il teorema di Rouché Capelli è necessario introdurre il concetto di rango di una matrice. Definizione. Data una matrice A di dimensione n k, si definisce rango (o caratteristica) di A il numero di colonne linearmente indipendenti di A, viste come k vettori di R n. Il rango di A viene denotato con ρ(a). Poiché si puó dimostrare che il numero delle colonne linearmente indipendenti di una matrice coincide con il numero delle sue righe linearmente indipendenti, è possibile riformulare la definizione precedente considerando le righe della matrice A.

7 Teorema. Rouché-Capelli Siano A una matrice n k e b un vettore appartenente a R n. Il sistema Ax = b ammette soluzioni se e solo se ρ(a) = ρ([a b]), dove [A b]è la matrice ottenuta aggiungendo ad A il vettore b come ultima colonna. Inoltre se il sistema Ax = b ammette soluzioni, si ha che: se ρ(a) = min{n, k allora la soluzione è unica; se ρ(a) < min{n, k allora esistono infinite soluzioni. Poiché in tal caso ci sono (min{n, k ρ(a)) gradi di libertà nella scelta della soluzione, si dice che ci sono (min{n,k ρ(a)) soluzioni. Osservazione. Nel caso di matrici quadrate, cioè se n = k, il teorema di Rouché-Capelli stabilisce che la soluzione del sistema Ax = b esiste unica se e solo se ρ(a) = n. Ma è ben noto che, nel caso di matrici quadrate, la soluzione del sistema Ax = b esiste unica se e solo se det A. Questo suggerisce l equivalenza tra le due condizioni. Si lascia al lettore (come esercizio teorico non banale) da dimostrare che, se A è una matrice n n, allora la condizione ρ(a) = equivale a det A. 4 Esercizi proposti Esempio 4. Verificare se i seguenti insiemi V... V 4 sono costituiti da vettori linearmente dipendenti o indipendenti. Inoltre, nel caso di vettori dipendenti trovare una combinazione lineare degli stessi che, con coefficienti non tutti nulli, generi il vettore nullo.. V = { v, v, v con v = v = v =. V = { v, v, v con v =. V = { v, v, v con v = v = v = v = v =

8 4. V 4 = { v, v, v, v 4 con v = 9 v = 4 v = v 4 = Esempio 4. Trovare il valore del parametro k affinché i vettori dell insieme V = { v, v, v siano linearmente dipendenti, dove v = v = v = Per il valore di k calcolato, esprimere il vettore v come combinazione lineare di v e v. Se k = i vettori sono indipendenti? References [] D. Bini, M. Capovani, O. Menchi: Metodi Numerici per l Algebra Lineare. Bologna: Zanichelli 9 9 k