EQUAZIONI non LINEARI

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1 EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44

2 EQUAZIONI NON LINEARI Data una funzione f : R R consideriamo il problema di determinare i valori x tali che f(x) = 0 Tali valori sono solitamente chiamati zeri o radici della funzione f. Esempi: Equazioni algebriche: P n (x) = n i=0 a ix i = 0 x + 4 sin(x) = 0, e x + x 2 = 0, x log(x) = 3 EQUAZIONI non LINEARI p.2/44

3 EQUAZIONI NON LINEARI In generale non sono disponibili formule esplicite per la determinazione delle radici di una funzione (per esempio equazioni algebriche n > 4) metodi iterativi Tecniche che consentono di approssimare le soluzioni con un prestabilito grado di precisione A partire da una approssimazione iniziale x 0 si costruisce una successione x 1, x 2,... che, sotto opportune ipotesi, risulta convergere alla radice cercata EQUAZIONI non LINEARI p.3/44

4 Procedimenti iterativi Sia P un problema ed α una soluzione del problema P. Supponiamo di utilizzare un procedimento iterativo per la determinazione di α che genera una successione {x i } i=0,1,... convergente ad α. È importante tener presente tre questioni fondamentali: 1. Scelta del valore di innesco e convergenza Supponiamo di considerare procedimenti iterativi ricorrenti ad un passo x i+1 = φ(x i ) è necessario per poter innescare il procedimento un punto di innesco x 0 DEF: Un metodo converge localmente ad α se la convergenza della successione {x i } dipende in modo critico dalla vicinanza di x 0 ad α. Il procedimento è globalmente convergente quando la convergenza non dipende da quanto x 0 è vicino ad α. Per i metodi a convergenza locale la scelta del punto di innesco è cruciale. EQUAZIONI non LINEARI p.4/44

5 Procedimenti iterativi 2. Velocità di convergenza: DEF: data una successione {x i } convergente ad un limite α, si ponga e i := x i α. Se esistono due numeri reali p e C tali che sia e i+1 lim i e i p = C si dice che la successione ha ordine di convergenza p e fattore di convergenza C. Per p = 1 la convergenza si dice lineare Per p = 2 la convergenza si dice quadratica. Nel caso p = 1 si deve necessariamente avere C < 1. Un metodo iterativo è convergente di ordine p se tale è la successione da esso generata. EQUAZIONI non LINEARI p.5/44

6 Procedimenti iterativi 3. Criteri di arresto Chiaramente non è possibile generare infinite iterate della successione. Il procedimento dovrebbe arrestarsi quando e i = x i α < toll Non disponendo della soluzione è necessario procurarsi una stima di e i. Una possibile strategia è quella di approssimare e i con x i+1 x i. Si ottiene il criterio di arresto assoluto x i+1 x i < toll A Il criterio di arresto assoluto può fallire: se toll A = 10 6 e α x i se toll A = 10 6 e α x i tolleranza troppo grande tolleranza troppo piccola EQUAZIONI non LINEARI p.6/44

7 Procedimenti iterativi criteri di arresto conviene usare un criterio di arresto relativo dato da x i+1 x i x i+1 < toll R OSS: la tolleranza utilizzata nel criterio di arresto relativo NON deve essere minore della precisione di macchina, ma toll R > ε m (due numeri macchina non possono avere distanza relativa minore di ε m ) EQUAZIONI non LINEARI p.7/44

8 Procedimenti iterativi criteri di arresto Per equazioni non lineari si può anche utilizzare il controllo del residuo: f(x i+1 ) toll se f (α) << 1: è inaffidabile ( e i potrebbe essere molto grande) se f (α) >> 1: troppo restrittivo se f (α) 1: produce un indicazione soddisfacente Quando non si ha la certezza della bontà dei tests (su x i e su f), conviene includerli entrambi, In pratica se il criterio di arresto funziona, non si ha la soluzione α, ma solo una sua approssimazione EQUAZIONI non LINEARI p.8/44

9 Metodo di bisezione Il metodo di bisezione è il metodo iterativo più semplice per approssimare gli zeri reali di una funzione. Ipotesi: 1) f(x) continua nell intervallo [a, b] 2) f(a)f(b) < 0 per il teorema degli zeri ammette almeno una soluzione α di f(x) = 0, in (a, b). Si procede suddividendo ad ogni passo l intervallo [a, b] a metà e determinando in quale dei due sottointervalli si trova la soluzione, dimezzando così l ampiezza dell intervallo che contiene α. EQUAZIONI non LINEARI p.9/44

10 Metodo di bisezione ALGORITMO 1. Si pone a 0 := a e b 0 := b 2. Per i = 0, 1,..., nmax si calcolano x i := a i + b i 2, e f(x i ) 1. Se f(x i ) f(a i ) < 0 a i+1 := a i, b i+1 := x i 2. Altrimenti se f(x i ) f(b i ) < 0 a i+1 := x i, b i+1 := b i 3. altrimenti se f(x i ) = 0 x i := α 3. Il procedimento viene arrestato se per un indice i risulta f(x i ) toll a i b i toll e/o EQUAZIONI non LINEARI p.10/44

11 Metodo di bisezione α a=a 0 b=b 0 EQUAZIONI non LINEARI p.11/44

12 Metodo di bisezione a=a x 0 0 =a 1 b=b 0 =b 1 α EQUAZIONI non LINEARI p.11/44

13 Metodo di bisezione a=a x 0 0 =a 1 b=b x 0 =a 1 =b 2 2 =b 1 α EQUAZIONI non LINEARI p.11/44

14 Metodo di bisezione Per costruzione ad ogni passo l ampiezza dell intervallo è dimezzata, dopo n passi arriviamo all intervallo [a n, b n ] di ampiezza: b n a n = b n 1 a n 1 2 = b n 2 a n = = b 0 a 0 2 n Se come stima di α prendiamo x n = a n+b n 2 abbiamo e n = x n α b 0 a 0 2 n+1 Se poniamo b 0 a 0 2 n+1 ε otteniamo n da 2 n+1 b 0 a 0 ε n log 2 ( b0 a 0 ε ) 1 EQUAZIONI non LINEARI p.12/44

15 Metodo di bisezione Il metodo di bisezione converge globalmente alla soluzione con la sola ipotesi che f sia continua nell intervallo [a, b]. La convergenza è però lenta e questo costituisce il limite del metodo: ad ogni passo si riduce l errore di 1/2, per ridurlo di 1/10 (1 cifra decimale) occorrono circa 3.3 passi. Una spiegazione può essere ricercata nel fatto che non si tiene conto dei valori della funzione ma soltanto dei segni. Geometricamente il metodo costruisce ad ogni passo l approssimazione della radice calcolando l intersezione con le ascisse della retta passante per i punti (a, segn f(a)), (b, segn f(b)) EQUAZIONI non LINEARI p.13/44

16 Metodo della regula falsi Un modo naturale per migliorare il metodo di bisezione è quello di considerare anche i valori che la funzione assume negli estremi dell intervallo Si prende come nuova approssimazione della soluzione l intersezione delle ascisse con la retta passante per (a, f(a)), (b, f(b)) da cui si ottiene { y f(a) = (f(b) f(a)) b a y = 0, x = a f(a) (x a), (b a) f(b) f(a) EQUAZIONI non LINEARI p.14/44

17 Metodo della regula falsi Il metodo risultante è noto come metodo della regula falsi o della falsa posizione 1. Dato [a 0, b 0 ] tale che f(a 0 )f(b 0 ) < 0 2. Finchè non sia verificato un criterio di arresto, poni (b i a i ) 1. x i := a i f(a i ) f(b i ) f(a i ) 2. Se f(x i ) f(a i ) < 0 a i+1 := a i, b i+1 := x i 3. Altrimenti a i+1 := x i, b i+1 := b i 4. i = i + 1 Il metodo genera una successione di intervalli in cui è contenuta la radice: la scelta dell intervallo in base al segno della funzione, comporta una convergenza globale è più veloce rispetto al metodi di bisezione, anche se in generale [a i, b i ] i 0 pertanto il criterio di arresto basato sull ampiezza dell intervallo non è applicabile. EQUAZIONI non LINEARI p.15/44

18 Altre idee... Data f(x), x 0 f(x 0 ): si approssima la funzione con una retta per (x 0, f(x 0 )) y = f(x 0 ) + m(x x 0 ) Si ottiene una versione linearizzata del problema f(x) = 0, { y = 0, y = f(x 0 ) + m(x x 0 ), da cui x 1 = x 0 f(x 0) m In generale x i+1 = x i f(x i) m i A seconda della scelta di m i si ottengono: metodo delle corde (m i = m = costante), metodo delle secanti e metodo di Newton EQUAZIONI non LINEARI p.16/44

19 Metodo delle secanti m i : coefficiente angolare della retta per (x i, f(x i )) e (x i 1, f(x i 1 )) m i = f(x i) f(x i 1 ) (x i x i 1 ) (x i x i 1 ) x i+1 = x i f(x i ) f(x i ) f(x i 1 ) Può essere visto come una variante della regula falsi in cui sono richieste due approssimazioni iniziali senza alcun altra condizione e senza la necessità di controllare il segno di f(x) La convergenza del metodo è garantita se le approssimazioni iniziali sono abbastanza vicine alla radice α: convergenza locale EQUAZIONI non LINEARI p.17/44

20 Metodo di Newton m i : derivata prima di f in x i m i = f (x i ) x i+1 = x i f(x i) f (x i ) Geometricamente si prende come nuova approssimazione l intersezione delle ascisse con la retta tangente a f in (x i, f(x i )) Alla i esima iterazione questo metodo richiede due valutazioni funzionali f(x i ), f (x i ) L aumento del costo computazionale è compensato dal fatto che la convergenza (locale) è di ordine superiore al primo. In generale è quadratica EQUAZIONI non LINEARI p.18/44

21 Metodo di Newton α x 0 EQUAZIONI non LINEARI p.19/44

22 Metodo di Newton α x 1 x 0 EQUAZIONI non LINEARI p.19/44

23 Metodo di Newton α x 2 x 1 x 0 EQUAZIONI non LINEARI p.19/44

24 Metodo di Newton α x 3 x 2 x 1 x 0 EQUAZIONI non LINEARI p.19/44

25 Metodi di iterazione funzionale La ricerca degli zeri di una funzione f è ricondotta allo studio dei punti fissi di un opportuna funzione g: f(α) = 0 g(α) = α La successione delle approssimazioni sarà definita assegnto x 0 come: x i+1 = g(x i ), i = 0, 1... La funzione di iterazione g non è unica e può essere costruita nei modi più diversi, ma non tutti daranno luogo a strumenti efficienti. Bisogna studiare sotto quali condizioni la successione delle iterate appartenga sempre al dominio di f e sia convergente ad α. EQUAZIONI non LINEARI p.20/44

26 Metodi di iterazione funzionale EX: Corde f(x) = 0 f(x) m = 0 x f(x) m g(x) = x f(x) m = x EX: Newton f(x) = 0 f(x) f (x) = 0 x f(x) f (x) = x g(x) = x f(x) f (x) EQUAZIONI non LINEARI p.21/44

27 Metodo di iterazione funzionale g(x) α x 0 EQUAZIONI non LINEARI p.22/44

28 Metodo di iterazione funzionale g(x) α x 1 x 0 EQUAZIONI non LINEARI p.22/44

29 Metodo di iterazione funzionale g(x) α x 2 x 1 x 0 EQUAZIONI non LINEARI p.22/44

30 Metodo di iterazione funzionale g(x) α x 3 x 2 x 1 x 0 EQUAZIONI non LINEARI p.22/44

31 Metodo di iterazione funzionale α x 0 EQUAZIONI non LINEARI p.23/44

32 Metodo di iterazione funzionale α x 1 x 0 EQUAZIONI non LINEARI p.23/44

33 Metodo di iterazione funzionale α x 1 x 2 x 0 EQUAZIONI non LINEARI p.23/44

34 Metodo di iterazione funzionale α x 1 x 3 x 2 x 0 EQUAZIONI non LINEARI p.23/44

35 Metodo di iterazione funzionale α x 1 x 3 x 4 x 2 x 0 EQUAZIONI non LINEARI p.23/44

36 Convergenza Risultato importante teoricamente, ma nella pratica è difficile stabilire a priori l intervallo in cui sono soddisfatte le ipotesi. TEO (Ostrowski): Sia α un punto fisso di g C 1 [α ρ, α + ρ]. Se g (x) < 1, x [α ρ, α + ρ] allora x 0 [α ρ, α + ρ] la successione delle iterate generata da g è tale che 1. x i α unico punto fisso di g 2. x i [α ρ, α + ρ] DIM: Per ipotesi g è una contrazione per cui il punto fisso è unico (si dimostra per assurdo). EQUAZIONI non LINEARI p.24/44

37 Convergenza Per dimostrare che la successione converge si considera x i+1 α = g(x i ) g(α) (Teo della media) = g (η i )(x i α) dove η i (α, x i ). Per 2. g (η i ) < M < 1 per cui x i+1 α < M x i α < < M i+1 x 0 α lim i x i+1 α = 0 Inoltre dalla continuità di g si ha lim i x i+1 α x i α = lim i g (η i ) = g (α) EQUAZIONI non LINEARI p.25/44

38 Convergenza La convergenza può esserci in insiemi molto più grandi di quelli in cui g (x) < 1: condizione sufficiente, convergenza locale α g(x) α x 1 x 3 x 4 x 2 x 0 x 3 x 2 x 1 x 0 1 < g (α) < 0: 0 < g (α) < 1: convergenza alternata convergenza monotona x i+1 α = g (η i )(x i α), con η i (α, x i ) EQUAZIONI non LINEARI p.26/44

39 Convergenza Se g (α) > 1 allora α x i+1 > α x i : locale divergenza x 1 x 0 α x 1 x 0 x x 2 x 4 3 g (α) < 1 g (α) > 1 EQUAZIONI non LINEARI p.27/44

40 Ordine di convergenza Per i metodi di iterazione funzionale è possibile anche dare una relazione tra ordine del metodo e molteplicità di α rispetto a g TEO: Sia α I (opportuno intervallo) punto fisso di g C p [I] con p 2. Se per un punto x 0 I la successione {x i } è convergente e se g (α) = g (α) = = g (p 1) (α) = 0 e g (p) (α) 0 allora il metodo ha ordine di convergenza p e risulta lim i x i+1 α x i α p = g(p) (α) p! EQUAZIONI non LINEARI p.28/44

41 Ordine di convergenza DIM: Dallo sviluppo di Taylor si ha in generale (tenuto conto che x i+1 = g(x i )): x i+1 α = g(x i ) g(α) = g (α)(x i α) + g (α) (x i α) 2 + 2! + g (p 1) (α) (x i α) p 1 + g (p) (ξ) (x i α) p (p 1)! p! dove ξ (x i, α). Quindi se valgono le hp del teorema si ha la tesi. A parità di ordine di convergenza p, quanto più piccola risulterà la quantità g(p) (α) p! tanto più veloce sarà la convergenza delle iterate ad α. EQUAZIONI non LINEARI p.29/44

42 Convergenza metodo di Newton Il metodo di Newton può essere visto come un metodo di iterazione funzionale con la funzione g data da g(x) = x f(x) f (x) Osservando che se f C 2 e f (α) 0 (ovvero α radice semplice) g (x) = f (x)f(x) (f (x)) 2 g (α) = 0 quindi il metodo è localmente sempre convergente e la convergenza è almeno quadratica. Per radici doppie (f (α) = 0), o multiple in generale, la convergenza si riduce a lineare. EQUAZIONI non LINEARI p.30/44

43 Convergenza metodo di Newton Risultati di convergenza globale TEO: Sia f C 2 [α, α + ρ] tale che (i) f(x)f (x) > 0 in (α, α + ρ] (ii) f (x) 0 in (α, α + ρ] allora x 0 (α, α + ρ] la successione originata dal metodo di Newton DECRESCE monotonicamente ad α. Per gli intorni sinistri [α ρ, α] si ottiene una successione che converge in modo monotono CRESCENTE ad α. EQUAZIONI non LINEARI p.31/44

44 ESERCIZI EQUAZIONI non LINEARI p.32/44

45 Esecizio 1. Posto f(x) = x 8 2: 1) analizzare la convergenza di Newton per approssimare la radice positiva di f ; 1) f(x) = 0 x 8 2 = 0, per x = ± 8 2, si studia la convergenza ad α = 8 2. Costruiamo la g del metodo di iterazione funzionale associata ad f, consideriamo le derivate f (x) = 8x 7, f (x) = 56x 6 : g(x) = x f(x) f (x) = x x8 2 8x 7 = 7x x 7 g (x) = f(x)f (x) (f (x)) 2 = 56x6 (x 8 2) 64x 14 = 7 8 g (α) = g ( 8 2) = 0 convergenza locale x 8 2 x 8 Vediamo se possiamo applicare il teorema di convergenza del metodo di Newton: a) per (α, α + ρ] : si ha f(x) > 0, f (x) > 0 x > α per cui f(x)f (x) > 0, e inoltre f (x) 0 x > α convergenza per x > α (monotona decrescente) b) per [α ρ, α) : si ha f(x) < 0, f (x) > 0 l ipotesi (i) del teorema non è soddisfatta. EQUAZIONI non LINEARI p.33/44

46 Esecizio 1 (segue...) Studiamo g (x) < 1 7 x x x 8 x 8 < 1, > 1 x, x < , x > Qunidi per x > si ha la convergenza (Per il Teorema di Ostrowski la condizione g (x) < 1 deve essere verificata in un intorno di α, ma poichè per x > α si ha 0 < g (x) < 1 la convergenza è monotona, posso estendere l intorno a tutto (α, + )) Newton x 0 = Iterate x 0 = EQUAZIONI non LINEARI p.34/44

47 Esecizio 1 (segue...) 2) indicare quante iterazioni del metodo di bisezione sono necessarie per approssimare la radice positiva di f con una precisione ε < 10 2, considerando [a, b] = [ 1 2, 3 2 ]. 2) Si vuol trovare k per cui e k = x k α < 10 2 e k b k a k = b a < k+1 ( ) k+1 < k+1 > 100 k > log 2 (100) almeno 6 iterazioni EQUAZIONI non LINEARI p.35/44

48 Esecizio 2. L equazione f(x) = x 3 3x 2 + 2x = 0 può immediatamente essere trasformata nel seguente problema di punto fisso g(x) = x con g(x) = x 3 3x 2 + 3x. Analizzare la convergenza e l ordine del metodo delle iterate in un introrno delle 3 soluzioni. f(x) = 0 x 3 3x 2 + 2x = 0 x(x 1)(x 2) = 0, per α = 0, β = 1, γ = 2. g (x) = 3x 2 6x + 3, la convergenza è garantita in un intorno della soluzione se g (x) < 1 : g (α) = g (0) = 3 divergenza locale g (β) = g (1) = 0 convergenza locale (almeno di ordine p = 2) g (γ) = g (2) = 3 divergenza locale Analizziamo solo la convergenza per β = 1 e studiamo dove vale g (x) < 1 g (x) = 3(x 1) 2 = 3(x 1) 2 < 1 convergenza locale ( per x 1 1, ). 3 3 Inoltre g (x) = 6x 6 g (1) = 0 convergenza almeno di ordine p = 3 g (x) = 6 0 convergenza esattamente di ordine p = 3. EQUAZIONI non LINEARI p.36/44

49 Esecizio 3. Studiare la convergenza del metodo di Newton applicato a f(x) = x3 + x 2 1. a) Si fa uno studio della funzione per capire dove sono gli zeri: f (x) = ( ) 2 x 3 x 2 + 2x = 2x = 0, per x = 0, x = 3, con f(0) = 1, f( 3) = 0, α = 3 radice doppia f (x) > 0 (f crescente) per x > 0 e x < 3. Si osserva che poichè per x > 0 la funzione è crescente con f(0) = 1 < 0 e f(1) = 2 > 0 c è un altra radice β (0, 1), tale radice è semplice in quanto 3 f (x) 0, per x > 0. Studiamo la derivata seconda: f (x) = 4 3 x + 2 = 0 x = 3 2 f (x) > 0 (f convessa) per x > 3 2. b) Convergenza a β (0, 1): Per x > β si ha f(x) > 0 e f (x) > 0 con f (x) 0 quindi per il teorema del metodo di Newton si ha convergenza monotona decrescente. Da un esame grafico si vede che la convergenza si può estendere x 0 > 0 (eventualmente dopo la prima iterazione). L ordine è almeno 2 in quando la radice è semplice. EQUAZIONI non LINEARI p.37/44

50 Esecizio 3 (segue...) Convergenza a β (0, 1) x 0 = con f (x) 0 per x α quindi per il teorema sul metodo di Newton si ha convergenza monotona crescente in (, 3) Convergenza ad α = 3: f(x) < 0 e f (x) < 0 per x < e monotona decrescente in ( 3, 2 0 x 0 =3 3 ). Da un esame grafico si vede che c è convergenza 2 x 0 < 0, eventualmente dopo la prima iterazione. Ordine p = 1 per radice doppia x 0 = EQUAZIONI non LINEARI p.38/44

51 Esecizio 4. Assegnata l equazione f(x) = 5 2 x x2 + 6x 1 = 0 analizzare la convergenza del metodo di Newton dopo un breve studio analitico dell andamento della funzione. Si ha: f (x) = 15 2 x2 15x + 6 = 0, per x 1 = , x 2 = f (x) > 0 per x (, ) ( , + ) con f(x 1 ) = , f(x 2) = , inoltre lim f(x) =, lim f(x) = + x x + - f (x) > 0 (f crescente) per x < x 1 e poichè f(x 1 ) > 0 e f(0) = 1 < 0 c è una radice semplice α (0, x 1 ). - f (x) > 0 (f crescente) per x > x 2 e poichè f(x 2 ) < 0 e f(x) tende a + per x che tende a + c è una radice semplice β (x 2, + ). - Inoltre poichè f(x 1 )f(x 2 ) < 0 c è una terza radice γ (x 1, x 2 ) = (1 1 5, ). Studiamo la derivata seconda: f (x) = 15x 15 = 0 x = 1, con f(1) = 0 γ = 1 f (x) > 0 x > 1 EQUAZIONI non LINEARI p.39/44

52 Esecizio 4 (segue...) a) Convergenza ad α in (, ): per x < α si ha f(x) < 0 e f (x) < 0 con f (x) 0 quindi per il teorema sul metodo di Newton si ha convergenza monotona crescente per x 0 (, α). L ordine è almeno 2 in quando la radice è semplice. Per x > α si ha f(x) > 0 e f (x) < 0, le ipotesi del teorema non sono soddisfatte. b) Convergenza a β in ( , + ): per x > β si ha f(x) > 0 e f (x) > 0 con f (x) 0 quindi per il teorema sul metodo di Newton si ha convergenza monotona decrescente per x 0 (β, + ). L ordine è almeno 2 in quando la radice è semplice. Nel intorno sinistro di β le ipotesi del teorema non sono soddisfatte. c) Convergenza a γ = 1 in (1 1 5, ). Le condizioni del teorema sul metodo di Newton non sono soddisfatte: per x > 1 si ha f(x) < 0 e f (x) > 0 mentre per x < 1 si ha f(x) > 0 e f (x) < 0. Quindi il teorema non può essere applicato α γ β EQUAZIONI non LINEARI p.40/44

53 Esecizio 5. Assegnata l equazione f(x) = (e x 1) 2 = 0 i) analizzare la convergenza del metodo di Newton per approssimarne le radici e in caso di convergenza determinare l ordine. ii) Stabilire se il metodo iterativo x i+1 = g(x i ) con g(x) = x ex 1 affermativo determinarne l ordine. e x è convergente e in caso Si ha: f(x) = (e x 1) 2 = 0, per x = 0 α = 0, f(x) > 0 x 0 f (x) = 2e x (e x 1) = 0 per x = 0 α radice doppia f (x) > 0 per x > 0 f (x) = 2e x (2e x 1) = 0 per e x = 1 2 x = ln 1 2 < 0 f (x) > 0 per x > ln in (0, + ) : si ha f(x)f (x) > 0 e f (x) 0 quindi per il teorema del metodo di Newton si ha convergenza monotona decrescente x 0 (0, + ) - in (ln( 1 2 ), 0) : si ha f(x)f (x) > 0 e f (x) 0 quindi per il teorema del metodo di Newton si ha convergenza monotona crescente x 0 (ln(1/2), 0) (o in ogni intervallo chiuso della forma [α ρ, α) contenuto in (ln(1/2), 0)) convergenza monotona x 0 > ln(1/2), del primo ordine in quanto la radice è doppia. EQUAZIONI non LINEARI p.41/44

54 Esecizio 5. Assegnata l equazione f(x) = (e x 1) 2 = 0 i) analizzare la convergenza del metodo di Newton per approssimarne le radici e in caso di convergenza determinare l ordine. ii) Stabilire se il metodo iterativo x i+1 = g(x i ) con g(x) = x ex 1 affermativo determinarne l ordine. e x è convergente e in caso y=f(x) x 0 = EQUAZIONI non LINEARI p.41/44

55 Esecizio 5 (segue...) ii) Sia il metodo delle iterate con: g(x) = x ex 1 e x e g(x) = x per α = 0, g (x) = 1 ex e x e x (e x 1) e x e x = 1 1 e x g (0) = 0 convergenza locale (almeno) del secondo ordine g 1 (x) = 0 x (esattamente) del secondo ordine ex Analizzando la condizione g (x) < 1 si trova che vale per x > ln(1/2) e quindi si ha convergenza in ogni intorno di α contenuto in (ln(1/2), + ) y=g(x) y=g(x) x 0 = x 0 = Si nota graficamente convergenza anche per x 0 < ln(1/2). EQUAZIONI non LINEARI p.42/44

56 Esecizio 6. Assegnata l equazione f(x) = e 1 x 1 = 0 i) analizzare la convergenza del metodo di Newton per approssimarne le radici e in caso di convergenza determinare l ordine. ii) Stabilire se il metodo iterativo x i+1 = g(x i ) con g(x) = x + e 1 x 1 è convergente e in caso affermativo determinarne l ordine. i) Si ha: f(x) = e 1 x 1 = 0, per x = 1 α = 1, f(x) > 0 per x < 1 f (x) = e 1 x < 0, x α radice semplice f (x) = e 1 x > 0 x - in (1, + ) : si ha f(x) < 0, f (x) > 0 quindi il teorema del metodo di Newton non è applicaile - in (, 1) : si ha f(x)f (x) > 0 e f (x) 0 quindi per il teorema del metodo di Newton si ha convergenza monotona crescente x 0 (, 1) o in ogni intervallo chiuso della forma [1 ρ, 1) ivi contenuto (secondo ordine per radici semplici). EQUAZIONI non LINEARI p.43/44

57 Esecizio 6. Assegnata l equazione f(x) = e 1 x 1 = 0 i) analizzare la convergenza del metodo di Newton per approssimarne le radici e in caso di convergenza determinare l ordine. ii) Stabilire se il metodo iterativo x i+1 = g(x i ) con g(x) = x + e 1 x 1 è convergente e in caso affermativo determinarne l ordine y=f(x) EQUAZIONI non LINEARI p.43/44

58 Esecizio 6 (segue...) ii) Sia il metodo delle iterate con: g(x) = x + e 1 x 1 e g(x) = x per α = 1, g (x) = 1 e 1 x = 0 per x = 1 = α convergenza locale (almeno) del secondo ordine g (x) = e 1 x 0 x (esattamente) del secondo ordine g (x) < 1 per x > 1 ln(2) 0.3 quindi si ha convergenza in ogni intorno di α contenuto in (1 ln(2), + ) y=g(x) y=g(x) x 0 = x 0 = Si nota graficamente convergenza x 0 R. EQUAZIONI non LINEARI p.44/44