Temi d esame di Matematica Finanziarie e Attuariale. Matematica Finanziaria ed Attuariale Prova scritta dell 8 aprile 2005

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1 Temi d esame di Matematica Finanziarie e Attuariale Matematica Finanziaria ed Attuariale Prova scritta dell 8 aprile pti Una somma di denaro raddoppia dopo 10 anni: qual è il tasso di rendimento? (esempio i Buoni postali fruttiferi) Allo stesso tasso di rendimento in quanti anni il capitale triplica? pti Dato l investimento {(-1000,0), (300,1), (400,2), (300,3), (300,4), (400,5)}, calcolare il tempo di recupero finanziario al 10%. Con riferimento all investimento, si supponga di finanziarlo parzialmente (40%) al tasso di interesse del 15% mediante 3 rate costanti. Si calcolino i flussi di cassa del finanziamento Si calcoli l APV al 10% dell investimento finanziato come sopra precisato e confrontarlo con il VAN al 10% dell investimento iniziale. Cosa succede se la quota finanziata passa al 60%? pti Un tale di 50 anni stipula un contratto di mutuo con una Banca per un importo di , da rimborsare mediante 10 rate annue posticipate calcolate al tasso annuo di interesse del 10%. Calcolare la rata annua d ammortamento. Viene stipulato un contratto d assicurazione sulle rate del mutuo, che verranno pagate da un Compagnia d assicurazione in caso di premorienza dell Assicurato. Calcolare il premio unico puro del contratto ed il premio annuo costante posticipato per tutta la durata del mutuo. Calcolare la riserva matematica del contratto alla fine del primo anno. Calcolare il premio naturale P N 1 del contratto per il primo anno e calcolare, mediante la relazione di ricorrenza di Fouret, la riserva matematica alla fine del primo anno. Commentare il valore della riserva. Base demografica 1981 maschi, tasso 3%, come da tavole allegate. Durata 2h

2 Matematica Finanziaria ed Attuariale Prova scritta del 28 aprile pti Dato uno zero-coupon bond (ZCB) di durata 10 anni, emesso al tasso di interesse composto lordo del 7%, sapendo che alla scadenza dei 10 anni l investitore deve pagare il 12.5% dell interesse, quale è in tasso di interesse netto dell investimento? pti Dato l investimento {(-1000,0), (300,1), (700,2), (300,3), (400,4)}, si supponga di finanziarlo parzialmente (40%) al tasso di interesse del 15% mediante 3 rate costanti. Si calcolino i flussi di cassa del finanziamento, l APV al 10% dell investimento finanziato. La quota percentuale finanziata sia ora una variabile α, con 0 α 1. Esprimere l APV come funzione di α e tracciarne un grafico sommario. Dire per quale valore di α tale funzione assume il valore massimo pti Un tale di 50 anni stipula un contratto per ottenere una rendita vitalizia annua differita di 10 anni con rata costante pari a Calcolare il premio unico puro del contratto ed il premio annuo costante anticipato da versarsi nei 10 anni del differimento. Il premio annuo risulta maggiore o minore di 16000? Esiste una durata di differimento tale che tale relazione si inverta? Occorre aumentare o diminuire la durata di differimento? Con riferimento ad un differimento di 10 anni, calcolare i premi naturali P N 10 e P N 11, le riserve matematiche V 9, V 10, V 11 e verificare la relazione di ricorrenza di Fouret. Calcolare l utile atteso alla fine degli anni 10 e 11. Basi tecniche del 1 e 2 ordine come da tavole allegate. Durata 2h

3 Matematica Finanziaria ed Attuariale Prova scritta del 28 gennaio E dato un contratto di leasing per un importo di da rimborsare mediante 18 canoni mensili posticipati, dei quali i primi 3 corrisposti all atto della stipula, con un valore di riscatto di da pagare alla fine del 18 mese, al tasso annuo nominale j 12 = 8%. Calcolare il canone mensile. Sapendo che vi sono spese di istruttoria della pratica pari a 300 e di incasso dei canoni e del valore di riscatto di 30 l uno (sono esclusi i canoni pagati anticipatamente alla stipula), dire se il TAEG è > 14%, motivando la risposta. 2. Uno 0-coupon bond di durata 15 anni è emesso al tasso del 7% annuo composto e rivenduto da un sottoscrittore dopo 5 anni al tasso di interesse composto del 6%. Qual è il tasso di rendimento composto durante i 5 anni di detenzione del titolo? 3. Si calcoli il premio annuo costante da versare anticipatamente per 20 anni per ottenere una rendita vitalizia anticipata, differita di 20 anni, con rata annua di , per una testa di età x = 40. Calcolare le riserve matematiche V 19,V 20, V 21, mostrando la coerenza con le relazioni di ricorrenza di Fouret. Calcolare l utile atteso nel 20 e 21 anno del contratto mediante la formula di Homans, evidenziandone le due componenti finanziarie e demografica. Allegate le basi tecniche di 1 e 2 ordine.

4 Matematica Finanziaria ed Attuariale Prova scritta del 3 febbraio (4 pti) Calcolare il valore attuale all istante 0 al tasso di interesse composto i = 7%.della rendita differita di 4 periodi, posticipata composta di 5 rate costanti di importo Scrivere la formula generale in forma chiusa del valore attualedi una rendita di n rate di importo R, differita di m periodi, da valutare all istante (3 pti) Uno ZCB (zero coupon bond) di durata 15 anni e tasso di rendimento annuo composto, viene rivenduto dopo 8 anni offrendo all acquirente un tasso di rendimento composto annuo del 6%. Qual è il tasso di rendimento composto effettivamente ottenuto dall investitore con l acquisto e la successiva rivendita del titolo? 3. (6 pti) dato un prestito di rimborsato al tasso di interesse composto dell 8% mediante 3 rate di importi x, , , sborsate agli istanti 1,2,3, calcolare l importo x della 1 rata e stendere l intero piano di ammortamento. 4. (7 pti) Calcolare il premio annuo anticipato da versare per una rendita vitalizia anticipata differita di 30 anni, con rata annua pari a , per una testa di età 30 anni, maschio. Basi tecniche SIM 1992, 2.5% allegate. (N.B. La durata del pagamento dei premi è esattamente eguale alla durata di differimento della rendita) 5. (13 pti) Un tale di 40 anni stipula un contratto di assicurazione mista a capitale raddoppiato di un capitale di , da pagarsi fra 20 anni in caso di sopravvivenza. Calcolare il premio unico puro ed il premio annuo costante anticipato da versarsi nei primi 20 anni di contratto. Calcolare l utile atteso mediante la formula di Homans per gli anni 20 e 21. Basi tecniche del 1 ordine SIM 1992, 2.5% e del 2 ordine SIM 2000, 2% allegate. Tempo disponibile 2 h

5 Matematica Finanziaria ed Attuariale Prova scritta del 25 novembre (4 pti) Calcolare il montante all istante 12 al tasso di interesse composto i=8%.della rendita anticipata di 5 rate costanti di importo Scrivere la formula generale in forma chiusa del montante di una rendita di n rate di importo R da valutare all istante m. 2. (3 pti) Calcolare il valore attuale di una rendita perpetua anticipata al tasso di interesse composto dell 8%, con rata pari a (6 pti) Stendere il piano di ammortamento alla francese per inseguimento di un debito di importo in tre rate, con tassi di interesse composto nei tre periodi pari a 7%, 9%, 7%. 4. (7 pti) Calcolare il premio annuo anticipato da versare per una rendita vitalizia anticipata differita di 40 anni, con rata annua pari a , per una testa di età 25 anni, maschio. Basi tecniche SIM 1992, 2.5% allegate. (N.B. La durata del pagamento dei premi è esattamente eguale alla durata di differimento della rendita) 5. (13 pti) Un tale di 50 anni stipula un contratto di assicurazione mista a capitale raddoppiato di un capitale di , da pagarsi fra 15 anni in caso di sopravvivenza. Calcolare il premio unico puro ed il premio annuo costante anticipato da versarsi nei primi 15 anni. Calcolare i premi naturali P N 15 e P N 16, le riserve matematiche V 15, V 16. Basi tecniche SIM 1992, 2.5% allegate. Tempo disponibile 2 h

6 Matematica Finanziaria ed Attuariale Prova scritta del 23 giugno (2 pti) Scrivere l espressione di & s 1 in funzione del tasso di interesse i. i 2. (2 pti) Sapendo che il montante di una rendita a tasso di interesse del 12% vale 5400, quanto vale il limite della quota costitutiva di capitale per n che tende all infinito? 3. (3 pti) Quanto vale il limite dell importo R della rata di una rendita perpetua anticipata avente valore attuale pari a 7200 e tasso di interesse composto pari all 8%? 4. (2 pti) Scrivere l espressione di σ in funzione del tasso di interesse i. 1 i 5. (4 pti) Calcolare il tasso di interesse incognito in piano di ammortamento all italiana sapendo che le quote di capitale sono pari a 1400, il numero di rate è 9, e che la sesta quota di interesse è (5 pti) Stendere il piano di costituzione di un capitale di importo disponibile alla fine del 7 anno, versando 7 rate annue anticipate capitalizzate al tasso di interesse composto del 4%. 7. (3 pti) Calcolare il premio unico puro di una rendita vitalizia posticipata differita di 20 anni, con rata annua pari a 5000, per un maschio di età 30. Basi tecniche SIM 1992, 2.5% allegate. 8. (12 pti) Un tale di 60 anni stipula un contratto di assicurazione di una capitale di caso morte a vita intera. Calcolare il premio unico puro del contratto ed il premio annuo costante anticipato da versarsi per tutta la durata del contratto. 9. Calcolare i premi naturali P N 10 e P N 11, le riserve matematiche V 9, V 10, V 11 e verificare la relazione di ricorrenza di Fouret. 10. Basi tecniche SIM 1992, 2.5% allegate. Tempo disponibile 2 h

7 Matematica Finanziaria ed Attuariale Prova scritta del 23 giugno (4 pti) Data l obbligazione in scadenza il 1 agosto 2009, avente valor nominale convenzionale 100, cedola annua calcolata al tasso di interesse cedolare 7%, tasso di rendimento effettivo 8%, calcolare i corsi secco e tel quel in data 1 maggio (Nei calcoli non considerare i singoli giorni di calendario, ma esprimere le durate in mesi, considerati tutti pari ad 1/12 di anno) 2. (5 pti) Volendo costituire un capitale di fra 3 anni mediante 3 rate annue posticipate, al tasso di interesse annuo composto dell 8%, disponendo già di un capitale iniziale di , quanto vale la rata annua costante? Stendere l intero piano di costituzione, evidenziando per ogni anno, il fondo di costituzione, la rata versata, la quota di interesse e la quota di capitale. 3. (4 pti) Dovendo emettere un BOT di durata 6 mesi e volendo garantire ai sottoscrittori un tasso di rendimento del 3% annuo semplice al netto delle imposte, si chiede quale dev essere il tasso di rendimento lordo annuo semplice da comunicare al mercato. 4. (9 pti) Un assicurato di età 30 anni versa un premio annuo anticipato di per 30 anni per ottenere in cambio una rendita vitalizia anticipata differita di 30 anni. Calcolare l importo della rata annua della rendita. Se lo stesso contratto fosse stipulato da una testa di età 40, la rata della rendita sarebbe inferiore o superiore? Giustificare. Basi tecniche SIM 1992, 2.5% allegate. (N.B. La durata del pagamento dei premi è esattamente eguale alla durata di differimento della rendita) 5. (12 pti) Dato un contratto di assicurazione mista semplice di un capitale di per una durata di 20 anni stipulato da una testa di età 40 anni, calcolare il premio unico puro, il premio annuo versato per 20 anni, le riserve V 8 e V 9, il premio naturale P 9 N, verificando la formula di Fouret in corrispondenza al nono anno del contratto. Basi tecniche SIM 1992, 2.5% allegate

8 Matematica Finanziaria ed Attuariale Prova scritta del 3 febbraio (4 pti) Calcolare il valore attuale all istante 0 al tasso di interesse composto i = 7% della rendita posticipata composta di 5 rate costanti di importo 1400, differita di 4 periodi. Scrivere la formula generale in forma chiusa del valore attuale di una rendita di n rate posticipate di importo R, differita di m periodi, da valutare all istante (3 pti) Uno ZCB (zero coupon bond) di durata 15 anni e tasso di rendimento annuo composto 7%, viene rivenduto dopo 8 anni offrendo all acquirente un tasso di rendimento composto annuo del 6%. Qual è il tasso di rendimento composto effettivamente ottenuto dall investitore con l acquisto e la successiva rivendita del titolo? 3. (6 pti) dato un prestito di rimborsato al tasso di interesse composto dell 8% mediante 3 rate di importi x, , , sborsate agli istanti 1,2,3, calcolare l importo x della 1 rata e stendere l intero piano di ammortamento. 4. (7 pti) Calcolare il premio annuo anticipato da versare per una rendita vitalizia anticipata differita di 30 anni, con rata annua pari a , per una testa di età 30 anni, maschio. Basi tecniche SIM 1992, 2.5% allegate. (N.B. La durata del pagamento dei premi è esattamente eguale alla durata di differimento della rendita) 5. (13 pti) Un tale di 40 anni stipula un contratto di assicurazione mista a capitale raddoppiato di un capitale di , da pagarsi fra 20 anni in caso di sopravvivenza. Calcolare il premio unico puro ed il premio annuo costante anticipato da versarsi nei primi 20 anni di contratto. Calcolare l utile atteso mediante la formula di Homans per gli anni 20 e Basi tecniche del 1 ordine SIM 1992, 2.5% e del 2 ordine SIM 2000, 2% allegate. Tempo disponibile 2 h