APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE

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1 APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE. Definizione Si dice spazio vettoriale (sul campo dei numeri reali R) un insieme V per il quale siano definite l operazione interna di somma (che ad ogni coppia di vettori e y associa il vettore +y) e l operazione esterna detta moltiplicazione scalare (che ad ogni numero reale λ e ad ogni vettore associa il vettore λ ), soddisfacenti gli otto assiomi che seguono: A) ( ) + z = + (y + z) per tutti i vettori, y, z V A2) = y + per tutti i vettori, y V A3) esiste 0 V tale che + 0 = 0 + = per tutti i vettori V A4) per ogni V esiste un elemento V tale che + = + = 0 A5) λ( ) = λ + λ y per tutti i vettori, y V, per ogni scalare λ R A6) (λ + µ) = λ + µ per ogni vettore V, per tutti gli scalari λ, µ R A7) (λµ) = λ(µ ) per ogni vettore V, per tutti gli scalari λ, µ R A8) = per ogni vettore V Osservazione L elemento neutro per la somma, il vettore nullo 0, è unico. L elemento opposto, la cui esistenza è garantita dall assioma A4, è, per ogni vettore dato, univocamente determinato. 2. Esempi Per ogni intero positivo n si consideri l insieme delle ennuple reali: R n = { (, 2,, n ), 2,, n R } All insieme R n si può dare struttura di spazio vettoriale definendo somma e moltiplicazione scalare tramite le relazioni (, 2,, n ) + (y, y 2,, y n ) = (, 2 2,, n n ) λ(, 2,, n ) = (λ, λ 2,, λ n ) per tutte le ennuple (, 2,, n ), (y, y 2,, y n ) R n e per ogni scalare λ R. Altri spazi vettoriali sono, per opportune operazioni che non esplicitiamo, l insieme dei vettori geometrici (classi di equivalenza di segmenti orientati) dello spazio o del piano. Il più piccolo spazio vettoriale è l insieme {0} che contiene soltanto il vettore nullo; tale spazio è detto spazio nullo. Dati gli interi positivi m e n, si dice matrice (reale) a m righe e n colonne ogni collezione ordinata di numeri reali ( ij ), per i =, 2,, m e j =, 2,, n. La notazione standard è m n mn

2 Nell insieme delle matrici m n (o di ordine (m,n)) si possono definire l operazione di somma: 2 m 2 22 n y y + 2 mn ym e di moltiplicazione scalare: λ 2 m 2 22 n λ λ = 2 mn λm y2 y22 y λ λ 2 22 yn y = ymn λ λ λ n mn Con tali operazioni, l insieme delle matrici m n diviene uno spazio vettoriale (per ogni m, n > 0). 2 m 22 m n mn n mn 3. Teorema Se V è una spazio vettoriale su R, allora i) 0 = 0 per ogni vettore V ii) ( ) = per ogni vettore V iii) λ0 = 0 per ogni scalare λ R Osservazione In virtù di ii), l elemento opposto di, indicato con, viene denotato con Definizione Un sottoinsieme non vuoto X di uno spazio vettoriale V su R è un sottospazio vettoriale di V se, e solo se, X è uno spazio vettoriale su R rispetto alle operazioni ereditate da V. 5. Esempi Gli insiemi {(, 2,0), 2 R } e {(t, 3t,-t) t R } sono sottospazi di R 3. L insieme {(0,0)} è il sottospazio nullo di R Teorema Un sottoinsieme X di V è un sottospazio vettoriale di V se, e solo se, X è chiuso per la somma e la moltiplicazione scalare, ossia se (e solo se) λ + µ y X per tutti i vettori, y X e per tutti gli scalari λ, µ R. 7. Definizione Dato un sottoinsieme X di V, si dice sottospazio generato da X il più piccolo sottospazio di V contenente X, ossia l intersezione di tutti i sottospazi di V contenenti X. Tale sottospazio verrà denotato con X. Osservazione Se X è l insieme vuoto, il sottospazio generato da X è lo spazio nullo: = { 0} invece, l insieme X è non vuoto, allora si ha { v V m N,,,, X, λ, λ,, λ R tali che v = λ + λ, λ } X = 2 m 2 m m m. Se,

3 8. Definizione I vettori, 2,, m si dicono linearmente dipendenti se, e solo se, esistono m scalari non tutti nulli λ, λ 2,, λ m R tali che λ + λ λ m m = 0 I vettori si dicono linearmente indipendenti se, e solo se, non sono linearmente dipendenti. 9. Esempi I vettori (0,6,2), (-6,0,6), (2,3,4), dello spazio R 3 sono linearmente dipendenti. I vettori (,0,,0), (0,0,6,), (2,,0,-2) dello spazio R 4 sono linearmente indipendenti. 0. Teorema I vettori, 2,, m sono linearmente dipendenti se, e solo se, esiste k {,2,,m} tale che il vettore k appartenga al sottospazio generato dai rimanenti m vettori: k X ove X = {, 2,, m } { k }. Definizione Si dice base di uno spazio vettoriale V un sottoinsieme di vettori linearmente indipendenti che genera V. 2. Esempi L insieme {(0,6,2), (-6,0,6), (2,3,4)} è una base dello spazio R 3. Un altra base di R 3 è {(,0,0), (0,,0), (0,0,)}. L insieme {(2,0,3), (0,8,0), (-,0,), (5,6,7)} genera R 3 ma non è costituito da vettori linearmente indipendenti. 3. Definizione Si dice base canonica dello spazio R n l insieme {e, e 2,, e n } ove, per ogni k =, 2,, n il vettore e k ha uguali a zero tutte le componenti, con l eccezione della k-esima, che è uguale a uno: e k = (0,,0,,0,,0). Per lo spazio R 4, ad esempio, si ha e = (,0,0,0), e 2 = (0,2,0,0), e 3 = (0,0,,0), e 4 = (0,0,0,). 4. Teorema Tutte le basi di uno spazio vettoriale V hanno lo stesso numero di vettori. 5. Definizione Si dice dimensione dello spazio vettoriale V il numero di vettori contenuti in una base. La dimensione di V si denoterà con dimv. 6. Esempi La dimensione dello spazio R n è pari a n. La dimensione dello spazio dei vettori geometrici del piano è 2. La dimensione dello spazio nullo è zero: dim{0}= Teorema Sia {b, b 2,, b n } una base per lo spazio vettoriale V. Per ogni vettore v di V è univocamente determinata una ennupla di numeri reali (λ, λ 2,, λ n ) tali che 3

4 v = λ b + λ 2 b λ n b n I numeri reali λ, λ 2,, λ n si dicono componenti di v rispetto alla base {b, b 2,, b n }. 8. Definizione Siano U e V spazi vettoriali su R. Una funzione f : U V si dice trasformazione lineare se, e solo se, sono soddisfatte le seguenti condizioni: i) f( ) = f () + f ( y) per tutti i vettori, y U ii) f (λ) = λ f () per ogni vettore U, per ogni scalare λ R 9. Esempi La funzione f : R 2 R 2 definita dalla relazione f (, 2 ) = ( + 2, 2 ). In generale, l applicazione f(, 2 ) = (a +b 2, c +d 2 ) è lineare per qualsiasi scelta dei parametri reali a, b, c, d. La funzione g : R 2 R 3 definita dalla relazione g(, 2 ) = ( + 2 +, +2 2, ) non è lineare. 20. Teorema La funzione f : U V è una trasformazione lineare se, e solo se: f(λ + µy) = λf() + µf( y) per tutti i vettori, y U e per tutti gli scalari λ, µ R. 2. Teorema Siano f : U V e g : V W trasformazioni lineari. Allora, la composizione go f : U W è una applicazione lineare. 22. Teorema Siano B ={u, u 2,, u n } e B ={v, v 2,, v m } basi rispettivamente degli spazi vettoriali U e V e sia ove i =,2,,m e j =,2,,n, tali che f (λ f : U V una trasformazione lineare. Allora, esistono m n numeri reali a ij, m n u + λ 2u2 + + λ nun ) = aijλ j i= j= v I coefficienti (a ij ), distribuiti in una tabella di m righe e n colonne, costituiscono la matrice di f, relativamente alle basi B e B : i a a2 am a2 a22 a an a amn 23. Esempio L applicazione f : R 3 R 2 definita da f ( u + u u v + v ) = (2 2 ) + ( ) 2 4

5 è la trasformazione lineare la cui matrice, relativamente alle basi {u,u 2,u 3 } di R 3 e {v,v 2 } di R 2, è Se {u, u 2, u 3 } è la base canonica di R 3 e {v, v 2 } è la base canonica di R 2, allora f si scrive f (, 2, 3 ) = (2 2, ) In forma matriciale, indicando come vettori colonna gli elementi di R 3 e R 2, si può scrivere y y 2 = 2 4 Meno usata è la scrittura = [ y y ] [ ] 2 in cui gli elementi di R 3 e R 2 sono vettori riga. 24. Definizione Nell insieme di tutte le trasformazioni lineari da uno spazio U a uno spazio V si possono definire le operazioni di somma: ( f + g)() = f() + g() e di moltiplicazione per uno scalare: (λf)() = λf(), per ogni λ R e per tutte le trasformazioni lineari f, g : U V. La struttura algebrica risultante si denota con L(U,V). 25. Teorema La struttura L(U,V) è uno spazio vettoriale su R di dimensione mn, essendo n la dimensione di U e m la dimensione di V. 26. Definizione Se A = (a ij ) è una matrice m n e B = (b jk ) è una matrice n p, si può definire il prodotto C = AB (matrice m p) ponendo, per ogni i =,2,,n e per ogni k =,2,,p c ik = n h= a ih b hk Tale operazione si dice prodotto righe per colonne, perché, per determinare ciascun elemento c ik, si sommano i prodotti, elemento per elemento, della riga i-esima riga di A:[ a a a ] per la k-esima colonna di B: bk b 2k bnk 27. Teorema Siano f : U V e g : V W trasformazioni lineari e siano A e B rispettivamente le matrici di f e g relativamente alle basi {a, a 2,, a n } di U, {b, b 2,, b m } di V e {c, c 2,, c p } di W. Allora, la trasformazione g f ha matrice C = BA. i i2 in 5

6 28. Definizioni Una matrice di ordine (m,n) si dice quadrata (di ordine n) se m = n; in caso diverso, si dice rettangolare. Si dice diagonale principale di una matrice quadrata ( ij ), l insieme degli elementi ii :, 22,, nn. Gli elementi n, 2,n-,, k,n-k,, n costituiscono, invece, la diagonale secondaria. Se gli elementi al di sopra della diagonale principale sono tutti nulli, la matrice si dice triangolare inferiore; se sono nulli gli elementi al di sotto della diagonale principale, la matrice si dice triangolare superiore; se tutti gli elementi distinti dalla diagonale principale sono nulli, la matrice si dice diagonale. La matrice quadrata di ordine n I n, che ha ogni elemento della diagonale principale uguale a uno, e tutti gli altri uguali a zero, si dice matrice unità o identica (di ordine n). Si scrive I n = (δ ij ), ove δ ij, detto delta di Kronecker, è definito dalle relazioni δ ij = 0 se i se i = j j per i = j =,2,n Esempi La matrice 6 5 è quadrata, di ordine 3. La diagonale principale è 0 4 costituita dagli elementi 3,5,4, quella secondaria dagli elementi 2,5,0. Le seguenti matrici sono rispettivamente triangolare inferiore, triangolare superiore, diagonale, matrice identica di ordine 3: Definizione Si dice matrice trasposta della matrice A = (a ij ), la matrice che si ottiene da A scambiando le righe con le colonne. Tale matrice si denota con A T. Se indichiamo con (b ij ) gli elementi di A T, valgono le relazioni b hk = a kh per ogni h =,2,m, e per ogni k =,2,n. 3. Esempio La matrice A = ha per trasposta la matrice A T = Definizioni Dato l insieme A, si dice permutazione di A ogni funzione σ: A A che risulti biunivoca. Si dice ordine della permutazione σ il più piccolo intero positivo k tale che σ k = i, ove i è l identità di A. (Se l insieme A è finito, l ordine k è sempre ben definito.) La permutazione si dice pari se k è pari, dispari in caso contrario. 33. Definizione Si dice determinante della matrice quadrata A = (a ij ), il numero reale Det (A) = σ Π( n) ( ) segn(σ) a,σ() a 2,σ(2) a n,σ( n) 6

7 ove П(n) è l insieme delle permutazioni dei numeri {, 2,, n} e segn(n) è la funzione, definita in П(n) che vale 0 se σ è una permutazione pari e se σ è una permutazione dispari. 34. Teorema Se A e B sono matrici quadrate di ordine n, si ha Det(AB) = Det(A)Det(B). 35. Teorema Se A è una matrice quadrata e A T è la sua trasposta, si ha Det(A T ) = Det(A). 36. Definizione La matrice quadrata A, di ordine n, si dice invertibile se, e solo se, esiste una matrice quadrata di ordine n, che si denota con A -, tale che AA - = A - A = I n. 37. Teorema La matrice quadrata A è invertibile se, e solo se, Det(A) Teorema Se A è una matrice invertibile allora, Det(A - ) =/Det(A). 39. Teorema Una trasformazione lineare f è invertibile se, e solo se, la matrice di f, relativamente a una qualsiasi coppia di basi, ha determinante non nullo. 40. Definizioni Data la matrice quadrata di ordine n A = (a ij ), per ogni i e per ogni j si può considerare la matrice quadrata, di ordine n, ottenuta eliminando da A la i-esima riga e la j-esima colonna. Il determinante di tale matrice si dice minore complementare di a ij e sarà denotato con C ij. Si dice complemento algebrico dell elemento a ij la quantità A ij =( ) i+j C ij. 4. Teorema Data una matrice quadrata A = (a ij ) di ordine n, si ha, per ogni i =,2,,n, n k = aik Aik = Inoltre, per i j, risulta n k= a = 0. ik A jk Det(A). 42. Teorema Sia A = (a ij ) una matrice quadrata invertibile di ordine n. Posto A - =(b ij ), si ha, per ogni i e per ogni j: b ij = A ji Det(A) ove A ji è il complemento algebrico di a ji. 7

8 ESERCIZI. Verificare se i seguenti sono insiemi di vettori linearmente dipendenti o indipendenti: i) a = (,0,4), b = (-,3,0) ii) a = (0,2,), b = (2/3,0,), c = (,-,). 2. Verificare se i seguenti sono insiemi di generatori dello spazio vettoriale R 2 : i) a = (,0), b = (-,3) ii) a = (2,5), b = (0,7), c = (-,3). 3. Verificare che i vettori a = (3,0,2) e b = (2,,) sono linearmente indipendenti e trovare un vettore c tale che {a, b, c} sia una base di R Determinare le componenti del vettore (3,4) rispetto alla base b = (,2), b 2 = (-,3). 5. Determinare le componenti del vettore (,y) rispetto alla base b = (,2), b 2 = (-,3). 6. Determinare le componenti del vettore (,y,z) rispetto alla base b = (,0,), b 2 = (-,0,0), b 3 = (,,0). 7. Indichiamo con E ={e,e 2 } la base canonica dello spazio vettoriale R 2 e con U ={u,u 2 } l insieme dei vettori u = 2e e 2, u 2 = e +3e 2. i) Verificare che U è una base di R 2. ii) La matrice dell applicazione lineare f : R 2 R 2, relativamente alle basi canoniche di dominio e codominio è A = 2. Determinare la matrice B di f rispetto alle basi U (per il dominio) ed E (per il codominio). iii) Determinare la matrice di f rispetto alle basi U (per il dominio) e U (per il codominio). iv) La matrice dell applicazione lineare g : R 2 R 2, relativamente alle basi U (per il dominio) e U (per il codominio), è C = 0. Determinare la matrice D di g rispetto alle basi canoniche È data la matrice A = i) Verificare che Det(A) 0 e trovare la matrice inversa A -. ii) Calcolare A 2 e A 3. Verificare che si ha (A 2 ) - = (A - ) 2 e (A 3 ) - = (A - ) È data la matrice L = 2 / 3 2 / 3 / 2 0. Determinare tutte le matrici X tali che XL = LX = X. 8