Planning as Model Checking Presentazione della Tesina di Intelligenza Artificiale

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1 Planning as Model Checking Presentazione della Tesina di Intelligenza Artificiale di Francesco Maria Milizia Model Checking vuol dire cercare di stabilire se una formula è vera in un modello L idea di base è applicare i meccanismi del Model Checking per generare piani Scopo ultimo di questo approccio è trovare efficientemente piani in domini non deterministici Concetti fondamentali Modello semantico del domino di interesse Proprietà del dominio rappresentate come formule logiche Determinare tramite Model Checking che il dominio soddisfi le proprietà desiderate Rappresentazione del dominio Una Kripke Structure K è una quadrupla <W,W 0,T,L> dove: W è un insieme finito di stati W 0 è un insieme di stati iniziali T W W indica una relazione totale di transizione tra stati L : W 2 P èuna funzione che assegna ad ogni stato un insieme di proposizioni atomiche e P èl insieme di tutte le proposizioni. Rappresentazione delle proprietà Le proprietà di un dominio possono valere o no, a seconda del momento preso in esame Diventa necessario l uso di una logica adatta: Computation Tree Logic Model Checking vuol dire quindi stabilire se una formula CTL p è vera in K Problemi di Pianificazione Un dominio non deterministico di pianificazione D è descritto da una quadrupla <F,S,A,R> dove: F è un insieme finito di fluenti S 2 F è un insieme finito di stati A è un insieme finito di azioni R S A S è una relazione di transizione Si noti che R è una relazione e non una funzione 1

2 Problemi e Kripke Structures Un problema di pianificazione è descritto con una tripla <D,I,G> dove D è il dominio di interesse I S è l insieme degli stati iniziali G S è l insieme degli stati finali SI utilizzano le Kripke Structure per rappresentare i domini dei problemi F=P S=W A={a} R={(s,a,s ): (s,s ) T} I=W 0 Esempio 2 Shakera Kripke Structure W={1,2,3,4,5} W 0 ={1} T={(1,2),(1,3),(2,4),(3,4),(5,4)} L(1) {vuoto}, L(2) {vodka}, L(3) {succo}, L(4) {vodka, succo}, L(5) {screwdriver} Dominio di pianificazione F ={vodka, succo, shakerato} S ={{ vodka, succo, shakerato}, {vodka, succo, shakerato}, { vodka, succo, shakerato}, {vodka, succo, shakerato}, {vodka, succo, shakerato} } A ={VersaVodka, VersaSucco, Shakera} R ={({ vodka, succo, shakerato}, VersaVodka, {vodka, succo, shakerato}), ({ vodka, succo, shakerato}, VersaSucco, { vodka, succo, shakerato}), ({vodka, succo, shakerato}, VersaSucco, {vodka, succo, shakerato}), ({ vodka, succo, shakerato}, VersaVodka, {vodka, succo, shakerato}), ({vodka, succo, shakerato},shakera, {vodka, succo, shakerato})} Semplice algoritmo 1. function PLAN(P) 2. CurrentStates := ; 3. NextStates := G; 4. Plan := ; 5. while (NextStates CurrentStates) do 6. If I NextStates 7. then return Plan; 8. OneStepPlan := OneStepPlan(NextStates,D); 9. Plan := Plan PruneStates(OneStepPlan,NextStates); 10. CurrentStates := NextStates; 11. NextStates := NextStates ProjectActions(OneStepPlan); 12. return fail; Correttezza Completezza Ottimalità Caratteristiche di PLAN In contesti non deterministici genera piani deboli 2

3 Estensione non deterministica Tipi di piani shakera Shakera Piani classici : sequenze di azioni Piani quasi-classici : coppie stato-azione Piani robusti : garantiscono sempre il raggiungimento del Goal Piani deboli : in domini non deterministici non garantiscono il raggiungimento del Goal Rappresentazione Simbolica Stati, transizioni e piani vengono rappresentati con formule logiche Ad ogni fluente in F associamo una variabile booleana x i. Ogni sottoinsieme di S è rappresentato da un vettore X. Ad ogni azione in A associamo una variabile booleana a i. Ad ogni transizione in R associamo una formula R(X, a i, X ). Proprietà della rappresentazione Simbolica Stati e transizioni rappresentati in modo molto compatto Il numero di variabili in una formula non dipende dal numero di stati o dalle transizioni che rappresenta Può essere implementata con OBDD Implementazione basata su OBDD Ordered Binary Decision Diagrams Le formule logiche vengono rappresentate tramite Grafi Orientati Aciclici Ogni nodo corrisponde ad una variabile. Ogni nodo n ha due archi uscenti, low(n) e high(n), che corrispondono alle assegnazioni della variabile. Ogni OBDD ha uno o due nodi foglia etichettati con 1 o 0 (verità o falsità) Costruzione di un OBDD Con i nodi e gli archi descritti viene costruito un albero binario che rappresenti la formula logica (l albero è equivalente alla tabella di verità della formula) Ogni percorso dalla radice ad una foglia deve vedere le variabili nello stesso ordine Si applicano finché è possibile tre regole di trasformazione 3

4 Eliminazione dei nodi foglia duplicati Viene mantenuto solo un nodo foglia per ogni valore (0 o 1). Tutti gli archi che puntavano alle foglie vengono indirizzati a questi. Eliminazione dei nodi duplicati Se due nodi u e v rappresentano la stessa variabile e low(u)=low(v) e high(u)=high(v), allora vengono fusi in un unico nodo Eliminazione dei test ridondanti Se un nodo n ha low(n)=high(n) allora n viene eliminato e tutti gli archi entranti vengono indirizzati a low(n) La procedura di costruzione può essere effettuata in modalità bottom-up in tempo lineare nella dimensione dell albero iniziale Uso degli OBDD Ogni formula nella rappresentazione simbolica (stati e transizioni) viene trasformata in un OBDD. Operatori quali l unione e l intersezione possono essere implementati direttamente sugli OBDD in modo molto efficiente Gli OBDD mantengono tutte le proprietà della rappresentazione simbolica Esplosione degli stati In domini complessi il numero di stati (e quindi dei nodi) può essere troppo grosso Il numero dei nodi dipende fortemente dall ordinamento delle variabili Nasce la necessità di trovare algoritmi di ordinamento che minimizzino il numero di nodi per un OBDD Esempio : comparatore a n bit n=2 (a 1 b 1 ) (a 2 b 2 ) Albero iniziale (BDT) Esempio : comparatore a n bit n=2 a 1 < < a n < b 1 < < b n a 1 < b 1 < < a n < b n Ordinamento di un OBDD Sono state sviluppate diverse euristiche per trovare un buon ordinamento delle variabili (quando esiste) per un OBDD Intuizione: un ordinamento dove le variabili strettamente collegate sono vicine dà risultati migliori Rappresentazione della formula tramite circuiti combinatori e visita in ampiezza del circuito Ordinamento dinamico (Algoritmo di Sifting) 4

5 Ordinamento dinamico Nella pianificazione tramite Model Checking l ordinamento dinamico è quello che si presta meglio poiché le descrizioni degli stati, o gli insiemi degli stati raggiungbili o altre proprietà del dominio possono cambiare durante la computazione. Estensioni dell algoritmo di Sifting: Block Restricted Sifting, Sample Sifting 5