MATEMATICA DISCRETA. C. L. in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso B Bari, 19 Gennaio 2017 Traccia 1

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1 Bari, 9 Gennaio 207 Traccia Esercizio Sia assegnata la relazione Z Z tale che 8a, b 2 Z a b () (7a +4b) () Verificare che è una relazione di equivalenza (2) Determinare la classe di equivalenza [5] Esercizio 2 Si consideri la successione {a n } n2n definita per ricorrenza da 8 < a 0 =7, a : =, a n =2a n a n 2 +2, se n > 2 Stabilire se {a n } n2n ammette come formula chiusa la successione {b n } n2n,doveb n = n 2 +3n +7 per ogni n 2 N Esercizio 3 Dopo aver enunciato il Teorema Cinese dei Resti, si risolva (se possibile) il seguente sistema di congruenze lineari 8 < 6x 8 (mod 6) 3x 27 (mod 5) : 5x 3 (mod 7) Esercizio 4 Stabilire quante stringhe diverse di 9 lettere possono essere ottenute annagrammando le seguenti parole: () LUMACHINE, (2) CONTRATTO Esercizio 5 Si consideri in S 9 la seguente permutazione f = () Scrivere f come prodotto di cicli disgiunti e determinarne il periodo (2) Determinare la parità di f (3) Calcolare f e determinare il sottogruppo di S 9 generato da f Esercizio 6 Stabilire se esiste, ed in caso a ermativo rappresentarlo graficamente, un albero avente 2 vertici nelle seguenti condizioni: () un vertice di valenza 5, due vertici di valenza 3, due vertici di valenza 2 ed i restanti vertici di valenza ; (2) tre vertici di valenza 4, un vertice di valenza 3, un vertice di valenza 2 ed i restanti vertici di valenza

2 Bari, 2 Febbraio 207 Traccia Risolvere, motivando le risposte, i seguenti esercizi Esercizio Date tre proposizioni P, Q e R, si scriva la tabella di verità di Inoltre, stabilire se la proposizione è vera e scriverne la negazione ( P ) ^ (Q =) R) 8x 2 R 9y 2 R tale che xy =3 Esercizio 2 Verificare mediante il principio di induzione che per ogni n 2 N la seguente uguaglianza è vera nx 2q 2 n(n + )(2n + ) = 3 q=0 Esercizio 3 Dopo aver ricordato la definizione della funzione di Eulero ed enunciato il Teorema di Eulero che la coinvolge, calcolare il resto della divisione per 84 di 34 5 Esercizio 4 Stabilire se esiste un albero avente 2 vertici di cui due vertici di valenza 5, un vertice di valenza 4, due vertici di valenza 3, quattro vertici di valenza 2 ed i restanti vertici di valenza In caso a ermativo, disegnare due grafi non isomorfi soddisfacenti tali condizioni Esercizio 5 Si consideri l insieme A = Q Q esia : A A (a, b) (c, d) =(a 5+c, 2bd) 8(a, b), (c, d) 2 A! A l operazione definita da () Stabilire se l operazione è commutativa ed associativa (2) Determinare, se esiste, l elemento neutro e stabilire se (A, ) è un gruppo abeliano (3) Determinare, se esiste, l inverso di (3, 3) Esercizio 6 Siano A 2 Mat(3 3, R) eb 2 Mat(2 3, R) le seguenti matrici 0 0 A 2 0 A, B = () Calcolare, se possibile, i prodotti AB e BA (2) Calcolare, se possibile, i determinanti di A e B (3) Calcolare, se possibile, le matrici inverse di A e B

3 Bari, 7 Febbraio 207 Traccia Risolvere, motivando le risposte, i seguenti esercizi Esercizio Date tre proposizioni P, Q e R, si scriva la tabella di verità di (P _ Q) =) R Esercizio 2 Dimostrare mediante il principio di induzione che 5 ( n + 4) 8n 2 N Esercizio 3 Stabilire se la seguente equazione diofantea è compatibile 256x + 36y = 56 ed, eventualmente, determinarne tutte le soluzioni intere Esercizio 4 Si consideri un insieme di 24 persone, di cui 4 donne e 0 uomini () Stabilire quanti sono i possibili sottoinsiemi composti da 8 persone (2) Stabilire quanti sottoinsiemi composti da 8 persone contengono almeno una donna (3) Determinare in quanti modi diversi è possibile ripartire le 24 persone in tre sottoinsiemi da 8 persone ciascuno Esercizio 5 Sia : Z 2 Z 2! Z 2 l operazione definita da a b = a + b + 5 () Stabilire se l operazione è commutativa ed associativa (2) Determinare l elemento neutro e stabilire se (Z 2, ) è un gruppo abeliano (3) Calcolare l elemento (4 5) 2 Esercizio 6 Siano A 2 Mat(4 2, R) eb 2 Mat(2 4, R) le seguenti matrici 0 A = B 0 0 A, B = 2 2 () Determinare le matrici C := AB e D := BA (2) Calcolare il determinante di C (3) Ricordare la definizione di matrice invertibile ed enunciare il teorema che caratterizza le matrici invertibili mediante il loro determinante (4) Calcolare, se possibile, la matrice inversa di D

4 Bari, 3 Luglio 207 Traccia Risolvere, motivando le risposte, i seguenti esercizi Esercizio Sia assegnata la relazione Z Z tale che 8a, b 2 Z a b () 3 (2a + b) () Verificare che è una relazione di equivalenza (2) Determinare la classe di equivalenza [0] Esercizio 2 Verificare mediante il principio di induzione che per ogni n 2 N la seguente uguaglianza è vera nx (6q 2) = 3n 2 + n 2 q=0 Esercizio 3 Determinare tutte le soluzioni intere del seguente sistema di congruenze lineari 8 < 4x 7 (mod 7) 3x 4 (mod 5) : 9x 27 (mod 2) Esercizio 4 Stabilire quante stringhe diverse di 6 lettere possono essere ottenute annagrammando la parola PRESTO Stabilire quante stringhe diverse di 2 lettere possono essere ottenute annagrammando la parola RITARDATARIO Esercizio 5 Si consideri l insieme A = Q Q esia : A A (a, b) (c, d) =(4ac, b + d + ) 8(a, b), (c, d) 2 A () Stabilire se l operazione è commutativa ed associativa (2) Determinare, se esiste, l elemento neutro (3) Determinare gli elementi invertibili di A e calcolare l inverso di (, )! A l operazione definita da Esercizio 6 Scrivere la definizione di grafo semplice e di isomorfismo di grafi Stabilire se esiste un albero avente 9 vertici di cui un vertice di valenza 5, un vertice di valenza 4, tre vertici di valenza 3, quattro vertici di valenza 2 ed i restanti vertici di valenza In caso a ermativo, disegnare due grafi non isomorfi soddisfacenti tali condizioni

5 Bari, 5 Settembre 207 Traccia Risolvere, motivando le risposte, i seguenti esercizi Esercizio Date tre proposizioni P, Q e R, si scriva la tabella di verità di Inoltre, stabilire se la proposizione è vera e scriverne la negazione (P ^ Q) =) R 8x 2 Z 9y 2 R e 9n 2 N tali che x = p y 2 + n Esercizio 2 Si consideri la successione {a n } n2n definita per ricorrenza da a0 =0, a n =3a n 2n +5, se n > Stabilire se {a n } n2n ammette come formula chiusa la successione {b n } n2n,doveb n =3 n + n Esercizio 3 Stabilire se la seguente equazione diofantea è compatibile 23x + 77y = 2 ed, eventualmente, determinarne tutte le soluzioni intere Esercizio 4 Si consideri un insieme di persone costituito da 7 tedeschi, 6 francesi e 5 spagnoli, dove i tedeschi sono tutti uomini, le donne francesi sono 3 e le donne spagnole sono 2 () Stabilire quanti sono i possibili comitati diversi formati da 5 persone (2) Stabilire quanti sono i possibili comitati diversi formati da 3 persone con un rappresentante per ogni nazionalità (3) Stabilire quanti sono i possibili comitati diversi formati da 3 persone con un rappresentante per ogni nazionalità ed esattamente una donna (4) Stabilire quanti sono i possibili comitati diversi formati da 3 persone con un rappresentante per ogni nazionalità ed almeno una donna Esercizio 5 Si consideri in S 8 la seguente permutazione f = () Scrivere f come prodotto di cicli disgiunti e determinarne il periodo (2) Determinare la parità di f (3) Calcolare esplicitamente gli elementi del sottogruppo F di S 8 generato da f e determinare il periodo di ciascuno di essi (4) Enunciare il Teorema di Lagrange

6 2 Esercizio 6 Siano A 2 Mat(3 2, R) eb 2 Mat(3 3, R) le seguenti matrici A 4 A, B 3 2 A () Calcolare, se possibile, i prodotti AB e BA (2) Calcolare, se possibile, i determinanti di A e B (3) Calcolare, se possibile, le matrici inverse di A e B

7 Bari, 2 Settembre 207 Traccia Risolvere, motivando le risposte, i seguenti esercizi Esercizio Date tre proposizioni P, Q e R, si scriva la tabella di verità di (P _ Q) =) (Q ^ R) Esercizio 2 Dimostrare mediante il principio di induzione che 7 (8 n + 6) 8n 2 N Esercizio 3 Dopo aver ricordato la definizione della funzione di Eulero ed enunciato il Teorema di Eulero che la coinvolge, calcolare il resto della divisione per 72 di Esercizio 4 Stabilire se esiste, ed in caso a ermativo rappresentarlo graficamente, un albero avente 7 vertici nelle seguenti condizioni: () due vertici di valenza 4, tre vertici di valenza 3, tre vertici di valenza 2 ed i restanti vertici di valenza ; (2) un vertice di valenza 5, due vertici di valenza 4, due vertici di valenza 3, tre vertici di valenza 2 ed i restanti vertici di valenza Esercizio 5 Sia : Z 0 Z 0! Z 0 l operazione definita da a b = a + b + 3 () Stabilire se l operazione è commutativa ed associativa (2) Determinare l elemento neutro e stabilire se (Z 0, ) è un gruppo abeliano (3) Calcolare l elemento (3 5) 2 Esercizio 6 Siano A 2 Mat(2 2, R), B 2 Mat(4 4, R) ec 2 Mat(4 2, R) le seguenti matrici A =, B = B C A, C = B A () Calcolare, se possibile, le matrici BC e CB (2) Calcolare il determinante di B (3) Calcolare, se possibile, la matrice inversa di A

8 Bari, 5 Novembre 207 Traccia Risolvere, motivando le risposte, i seguenti esercizi Esercizio Sia assegnata la relazione Z Z tale che 8a, b 2 Z a b () 7 (2a +5b) () Verificare che è una relazione di equivalenza (2) Determinare la classe di equivalenza [0] Esercizio 2 Verificare mediante il principio di induzione che nx 3(k 2 + k) =n(n + )(n + 2) 8n 2 N k=0 Esercizio 3 Dopo aver enunciato il Teorema Cinese dei Resti, si determinino tutte le soluzioni intere del seguente sistema di congruenze lineari 8 < : 3x 2 (mod 5) 4x 8 (mod 6) 3x 9 (mod 4) Esercizio 4 Si consideri un insieme di 2 studenti, di cui 5 maschi e 7 femmine () Stabilire quanti sono i possibili sottoinsiemi composti da 3 persone (2) Stabilire quanti sottoinsiemi composti da 3 persone contengono almeno una studentessa (3) Determinare in quanti modi diversi è possibile ripartire le 2 persone in quattro sottoinsiemi da 3 persone ciascuno Esercizio 5 Si consideri in S 9 la seguente permutazione f = () Scrivere f come prodotto di cicli disgiunti e determinarne il periodo (2) Determinare la parità di f (3) Calcolare f e determinare il sottogruppo di S 9 generato da f Esercizio 6 Stabilire se esiste, ed in caso a ermativo rappresentarlo graficamente, un albero avente 5 vertici nelle seguenti condizioni: () un vertice di valenza 4, due vertici di valenza 3, quattro vertici di valenza 2 ed i restanti vertici di valenza ; (2) tre vertici di valenza 4, un vertice di valenza 3, due vertici di valenza 2 ed i restanti vertici di valenza

9 Bari, 8 Aprile 208 Traccia Risolvere, motivando le risposte, i seguenti esercizi Esercizio Sia assegnata la relazione Z Z tale che 8a, b 2 Z a b () (8a +3b) () Verificare che è una relazione di equivalenza (2) Determinare la classe di equivalenza [0] Esercizio 2 Si consideri la successione {a n } n2n definita per ricorrenza da a0 =, a n = a n +4n 5, se n > Stabilire se {a n } n2n ammette come formula chiusa la successione {b n } n2n,doveb n =2n 2 3n + Esercizio 3 Calcolare il resto della divisione per 56 di Esercizio 4 Stabilire quante stringhe diverse possono essere ottenute utilizzando comtemporaneamente e senza ripetizioni tutte le lettere che appaiono della parola STEGOSAURO Stabilire quante stringhe diverse di 2 lettere possono essere ottenute annagrammando la parola PTERODATTILO Esercizio 5 Sia : Z 9 Z 9! Z 9 l operazione definita da a b = a + b + 5 () Stabilire se l operazione è commutativa ed associativa (2) Determinare l elemento neutro e stabilire se (Z 9, ) è un gruppo abeliano (3) Calcolare l elemento (3 2) 2 Esercizio 6 Siano A 2 Mat(2 4, R) eb 2 Mat(4 2, R) le seguenti matrici A =, B = B 2 0 A 0 () Determinare le matrici C := AB e D := BA (2) Calcolare il determinante di D (3) Ricordare la definizione di matrice invertibile ed enunciare il teorema che caratterizza le matrici invertibili mediante il loro determinante (4) Calcolare, se possibile, la matrice inversa di A