Funzioni elementari: potenze e esponenziali 1 / 1

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1 Funzioni elementari: potenze e esponenziali 1 / 1

2 Potenze e proprietá: esponente naturale 2 / 1 La funzione potenza con esponente naturale é definita come g: R R x x n dove per ogni x R si ha n N e n 1.

3 Potenze e proprietá: esponente naturale 2 / 1 La funzione potenza con esponente naturale é definita come g: R R x x n dove per ogni x R si ha n N e n 1. Proprietá Per x R, n,m N e n,m 1

4 Potenze e proprietá: esponente naturale 2 / 1 La funzione potenza con esponente naturale é definita come g: R R x x n dove per ogni x R si ha n N e n 1. Proprietá Per x R, n,m N e n,m 1 x n x m = x n+m = x m x n

5 Potenze e proprietá: esponente naturale 2 / 1 La funzione potenza con esponente naturale é definita come g: R R x x n dove per ogni x R si ha n N e n 1. Proprietá Per x R, n,m N e n,m 1 x n x m = x n+m = x m x n (x n ) m = x nm = (x m ) n

6 Potenze e proprietá: esponente razionale 3 / 1 Per x > 0 e n,m Q allora valgono ancora le seguenti

7 Potenze e proprietá: esponente razionale 3 / 1 Per x > 0 e n,m Q allora valgono ancora le seguenti x n x m = x n+m = x m x n

8 Potenze e proprietá: esponente razionale 3 / 1 Per x > 0 e n,m Q allora valgono ancora le seguenti x n x m = x n+m = x m x n (x n ) m = x nm = (x m ) n

9 Potenze e proprietá: esponente razionale 3 / 1 Per x > 0 e n,m Q allora valgono ancora le seguenti x n x m = x n+m = x m x n (x n ) m = x nm = (x m ) n posto che x 0 = 1 x R,x 0

10 Potenze e proprietá: esponente razionale 3 / 1 Per x > 0 e n,m Q allora valgono ancora le seguenti x n x m = x n+m = x m x n (x n ) m = x nm = (x m ) n posto che x 0 = 1 x R,x 0 e di considerare per n N, n 1

11 Potenze e proprietá: esponente razionale 3 / 1 Per x > 0 e n,m Q allora valgono ancora le seguenti x n x m = x n+m = x m x n (x n ) m = x nm = (x m ) n posto che x 0 = 1 x R,x 0 e di considerare per n N, n 1 x n = 1 x n, e x 1 n = n x

12 Potenze e proprietá: esponente reale 4 / 1 Per x > 0 e a R definiamo la funzione potenza con esponente reale f (x) = x a, x > 0.

13 Potenze e proprietá: esponente reale 4 / 1 Per x > 0 e a R definiamo la funzione potenza con esponente reale f (x) = x a, x > 0. Valgono proprietá analoghe ai casi precedenti: siano a,b R

14 Potenze e proprietá: esponente reale 4 / 1 Per x > 0 e a R definiamo la funzione potenza con esponente reale f (x) = x a, x > 0. Valgono proprietá analoghe ai casi precedenti: siano a,b R x a x b = x a+b = x b x a

15 Potenze e proprietá: esponente reale 4 / 1 Per x > 0 e a R definiamo la funzione potenza con esponente reale f (x) = x a, x > 0. Valgono proprietá analoghe ai casi precedenti: siano a,b R x a x b = x a+b = x b x a (x a ) b = x ab = (x b ) a

16 Potenze e proprietá: esponente reale 4 / 1 Per x > 0 e a R definiamo la funzione potenza con esponente reale f (x) = x a, x > 0. Valgono proprietá analoghe ai casi precedenti: siano a,b R x a x b = x a+b = x b x a (x a ) b = x ab = (x b ) a

17 Potenze e proprietá: esponente reale 5 / 1 y y a > 1 x 0 < a < 1 x y a < 0 x

18 Esercizi 6 / 1 Applicando le proprietá delle potenze calcolare il valore delle seguenti espressioni

19 Esercizi 6 / 1 Applicando le proprietá delle potenze calcolare il valore delle seguenti espressioni ( 3 5 ) 4 3 ( 43 ) 1 6 ( 1 10 ) 1 3

20 Esercizi 6 / 1 Applicando le proprietá delle potenze calcolare il valore delle seguenti espressioni ( 3 5 ) 4 3 ( 43 ) 1 6 ( 1 10 ) 1 3 ( 3 bb 4 3 ) 1 2 : b 1

21 Esponenziali e proprietá 7 / 1 La funzione esponenziale é definita come con a > 0 e a 1. g: R (0,+ ) x a x

22 Esponenziali e proprietá 7 / 1 La funzione esponenziale é definita come con a > 0 e a 1. Proprietá g: R (0,+ ) x a x Per ogni a,b,x,y R, con a,b > 0 si ha

23 Esponenziali e proprietá 7 / 1 La funzione esponenziale é definita come con a > 0 e a 1. Proprietá g: R (0,+ ) x a x Per ogni a,b,x,y R, con a,b > 0 si ha a 0 = 1, 1 x = 1

24 Esponenziali e proprietá 7 / 1 La funzione esponenziale é definita come con a > 0 e a 1. Proprietá g: R (0,+ ) x a x Per ogni a,b,x,y R, con a,b > 0 si ha a 0 = 1, 1 x = 1 a x > 0

25 Esponenziali e proprietá 7 / 1 La funzione esponenziale é definita come con a > 0 e a 1. Proprietá g: R (0,+ ) x a x Per ogni a,b,x,y R, con a,b > 0 si ha a 0 = 1, 1 x = 1 a x > 0 a x+y = a x a y

26 Esponenziali e proprietá 7 / 1 La funzione esponenziale é definita come con a > 0 e a 1. Proprietá g: R (0,+ ) x a x Per ogni a,b,x,y R, con a,b > 0 si ha a 0 = 1, 1 x = 1 a x > 0 a x+y = a x a y (ab) x = a x b x

27 Esponenziali e proprietá 7 / 1 La funzione esponenziale é definita come con a > 0 e a 1. Proprietá g: R (0,+ ) x a x Per ogni a,b,x,y R, con a,b > 0 si ha a 0 = 1, 1 x = 1 a x > 0 a x+y = a x a y (ab) x = a x b x (a x ) y = a xy = (a y ) x

28 Esponenziali e proprietá 8 / 1 Proprietá se a > 1 allora: (x < y) = (a x < a y )

29 Esponenziali e proprietá 8 / 1 Proprietá se a > 1 allora: (x < y) = (a x < a y ) se 0 < a < 1 allora: (x < y) = (a x > a y )

30 Esponenziali e proprietá Proprietá se a > 1 allora: (x < y) = (a x < a y ) se 0 < a < 1 allora: (x < y) = (a x > a y ) Ossia: se a > 1, la funzione esponenziale é strettamente crescente su R 8 / 1

31 Esponenziali e proprietá Proprietá se a > 1 allora: (x < y) = (a x < a y ) se 0 < a < 1 allora: (x < y) = (a x > a y ) Ossia: se a > 1, la funzione esponenziale é strettamente crescente su R se 0 < a < 1 la funzione é strettamente decrescente su R 8 / 1

32 Esponenziali e proprietá Proprietá se a > 1 allora: (x < y) = (a x < a y ) se 0 < a < 1 allora: (x < y) = (a x > a y ) Ossia: se a > 1, la funzione esponenziale é strettamente crescente su R se 0 < a < 1 la funzione é strettamente decrescente su R Osservazione. Una funzione f : A R con A R é strettamente crescente (decrescente) su A se: x < y = f (x) < f (y) (f (x) > f (y)), x,y A 8 / 1

33 Esponenziali 9 / 1 y y a > 1 x 0 < a < 1 x

34 Esercizi 10 / 1 Dire se le seguenti funzioni esponenziali sono crescenti o decrescenti: y = 2 x, y = 2 x, y = ( ) 1 x 2

35 Esercizi 10 / 1 Dire se le seguenti funzioni esponenziali sono crescenti o decrescenti: y = 2 x, y = 2 x, y = ( ) 1 x 2 Determinare il dominio delle seguenti funzioni: f (x) = 2 x2 4x, f (x) = 2 1 x, y = 3 x 1 x 2 4