LAVORO. L= F x S L= F. S L= F. S cos ϑ. L= F. S Se F ed S hanno stessa direzione e verso. L= -F. S Se F ed S hanno stessa direzione e verso opposto

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1 LAVORO L= F x S L= F. S L= F. S cos ϑ CASI PARTICOLARI L= F. S Se F ed S hanno stessa direzione e verso L= -F. S Se F ed S hanno stessa direzione e verso opposto L= 0 Se F ed S sono perpendicolari L >0 Se 0 < ϑ π/2 L < 0 Se π/2 < ϑ π A.S.2008/09 pag. 1

2 LAVORO DEL CAMPO ELETTRICO I CASO: Campo uniforme E (costante in direzione, verso ed intensità) La forza esercitata dal campo elettrico su di una carica q è costante in ogni punto e risulta: F=qE Per semplicità consideriamo una carica esploratrice positiva (q >0) A + ϑ d E F F Le linee di forza sono parallele ϑ L intensità del campo elettrico risulta: E=σ/ε o - B - - B - Analizziamo il lavoro compiuto dal campo elettrico, quando la carica q si sposta dalla posizione iniziale A alla posizione finale B, considerando due tragitti differenti: a) il moto avviene lungo la linea di forza AB, il lavoro risulta: L=Fd=qEd b) la traiettoria del moto è composta dagli spostamenti AB e B B. Il lavoro totale è la somma dei lavori presenti per i due tratti: L=L AB + L B B L AB = qeab cos ϑ = q E AB = q E d L B B = 0 perché la forza è perpendicolare allo spostamento ( F B B ) Anche per il secondo tragitto si ha che il lavoro totale risulta: L=qEd=Fd IL lavoro dipende solo dalla posizione iniziale (A) e dalla posizione finale (B) della carica q e non dalla traiettoria, pertanto il campo elettrostatico è conservativo. II CASO: Campo generato da una carica puntiforme Q a) Consideriamo inizialmente il moto della carica q lungo una linea di forza. B Il campo elettrico, e quindi la forza, varia in funzione della distanza r. P 2 P 1 Il campo elettrico non uniforme risulta: E= 1/4πε o. Q/r 2 e A la formula F=E. q ha validità puntuale. +Q Il calcolo del lavoro, compiuto dalle forze del campo, per portare la carica di prova q dalla posizione iniziale A alla posizione finale B non può essere effettuato applicando in modo sintetico la relazione L=F. d, con d=ab. Occorre suddividere lo spostamento AB in tanti piccoli spostamenti elementari s. Il lavoro totale risulta essere la sommatoria: L=L 1 +L 2 +L 3 + +L n, con L i il lavoro compiuto nell i-esimo spostamento s i =r i+1 r i. Calcoliamo L 1, lavoro compiuto dal campo elettrico per lo spostamento elementare s 1 =AP 1 in cui la distanza r varia da r A ad r 1. A.S.2008/09 pag. 2

3 Si ha una piccola variazione del campo elettrico ( 1/4πε o. Q/r 2 1 E 1/4πε o. Q/r 2 A ) Il vettore campo elettrico E nell intervallo AP 1 può, in prima approssimazione, essere considerato costante esprimendo r 2 mediante la media geometrica: r 2 = r A. r 1. Si ha la seguente relazione per il campo elettrico: E= 1/4πε o. Q/r1. r A che possiamo considerare costante in tutti i punti dello spostamento s 1 = r 1 - r A. Sostituendo s 1 ed E nella relazione del lavoro L 1 = qe. s 1, si ha: L 1 = 1/4πε o. Q/r1. r A. (r1 -r A ) = 1/4πε o. qq (1/rA 1/ r 1 ) Analogamente, per l intervallino s 2, si ha il lavoro: L 2 = 1/4πε o. qq (1/r1 1/ r 2 ) Sommando i lavori elementari si ha: L= L 1 +L 2 + +L n = Qq/4πε o (1/r A 1/ r 1 + 1/r 1 1/ r /r n 1/ r B ) Quindi il lavoro totale risulta: L= Qq/4πε o (1/r A 1/ r B ) b) Consideriamo il moto della carica q lungo una traiettoria qualsiasi. Anche in questo caso il lavoro complessivo deve essere calcolato come somma dei lavori elementari negli n spostamenti s : L=L 1 +L 2 +L 3 + +L n Calcoliamo inizialmente il lavoro L 1 compiuto dal campo sulla carica q, che esegue lo spostamento elementare s 1 =AP 1. Analogamente al caso precedente si ha che il campo elettrico, nell intervallo AP 1, può in prima approssimazione essere considerato costante e risulta: E 1 = 1/4πε o. Q/r1. r A Il lavoro elementare L 1 risulta: L 1 =q E 1 x S 1 = qe. 1 AP 1 cos ϑ = q. E. 1 AA 1 Sostituendo la formula del campo elettrico e essendo AA 1 = r 1 -r A, si ha: L 1 = 1/4πε o. q. Q/r1. r A (r 1 -r A ) = Qq/4πε o (1/r A 1/ r 1 ) Analogamente, per l intervallino s 2, si ha il lavoro: L 2 = Qq/4πε o (1/r 1 1/ r 2 ) Sommando i lavori elementari si ha: L= Qq/4πε o (1/r A 1/ r B ) Il risultato ottenuto, per una traiettoria qualsiasi, è uguale a quello verificato quando la traiettoria coincidente con una linea di forza. Si ha quindi che il lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e da quella finale della carica q e non dalla traiettoria; ciò ci consente di affermare che il campo elettrostatico è conservativo. A.S.2008/09 pag. 3

4 ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA Il campo elettrico è conservativo, possiamo quindi introdurre una nuova grandezza: l energia potenziale elettrica della carica q ( U(r) ), dipendente dalla carica di prova q e dalla sua posizione nel campo elettrico. Il lavoro compiuto dalle forze del campo, quando la carica esploratrice q si sposta da una posizione iniziale A ad una posizione finale B lungo una traiettoria qualsiasi, risulta: L= - U e quindi L= -(U B U A ) = U A - U B L energia potenziale elettrica della carica q, posta nella posizione r, può essere determinata a meno di una costante additiva: U(r)= U(r ) + C Comunque, essendo interessati alla variazione di energia potenziale, praticamente la costante additiva non ha interesse particolare e per ogni singolo caso può essere definita in modo da semplificare l espressione dell energia potenziale. Verifichiamo l affermazione precedente nel caso di un campo uniforme. h L= q E h = q E (h C h D ) C Posto U= q E h + C q Si ha: L= U C U D = q E h C +C qeh D - C D L= qe (h C h D ) Si constata che la costante additiva C non ha alcuna utilità pratica, in quanto nel calcolo del lavoro essa non riveste alcun ruolo. Per il campo uniforme è opportuno porre C=0 e quindi si ha che l energia potenziale di una carica q risulta: U= qeh. L energia potenziale di una carica q posta sulla lastra carica negativamente B è nulla (U B = 0), mentre è massima se la carica è posta sulla lastra carica positivamente, dove risulta : U A = qed. ( d è la distanza tra le due lastre ) L energia potenziale elettrica di una carica q nei punti interni al doppio strato (U=qEh) esprime il lavoro che le forze del campo compiono quando la carica q si sposta da quel punto allo strato a carica negativa. Nel caso del campo elettrico generato da una carica puntiforme Q, si ha che il lavoro risulta: L= Qq/4πε o (1/r A 1/ r B ) = 1/4πε o Qq/ r A - 1/4πε o Qq/ r B e quindi l energia potenziale risulta: U(r)= 1/4πε o Qq/ r + C. È opportuno porre, anche in questo caso, la costante additiva C=0, e quindi l energia potenziale di una carica q posta in un campo elettrico generato da una carica puntiforme Q risulta: U(r)= 1/4πε o Qq/ r. Per una carica q posta all infinito si ha energia potenziale nulla: lim U(r) = 0. r + L energia potenziale elettrica di una carica q, posta nel punto P ad una distanza r dalla carica Q generatrice del campo, esprime il lavoro che le forze del campo compiono per portare la carica q da quel punto all infinito lungo una qualsiasi traiettoria. A.S.2008/09 pag. 4

5 Per il campo elettrico è valido il principio di sovrapposizione: E T =Σ i E i. Si ha quindi che qualsiasi campo elettrico E è la somma di campi conservativi E i e quindi è conservativo. Si ha che ogni carica di prova q ha sempre una specifica energia potenziale elettrica, dipendente dalla carica q e della sua posizione nel campo elettrico. Lavoro compiuto dal campo elettrico quando la carica esploratrice descrive una traiettoria chiusa A B Consideriamo una carica q che percorre una qualsiasi traiettoria chiusa. Si ha che l energia potenziale iniziale e finale sono uguali U A =U B e quindi il lavoro compiuto dalle forze del campo sulla carica q è nullo: L= U A U B = 0. Possiamo affermare che un campo elettrostatico è conservativo poiché per una qualsiasi traiettoria chiusa il lavoro che le forze del campo compiono sulla carica di prova q è sempre nullo. Circuitazione del campo elettrico Suddividiamo una generica traiettoria chiusa in n spostamenti elementari s e calcoliamo il lavoro come somma dei lavori elementari: L=L 1 +L 2 +L 3 + +L n P n A S 1 E 1 ϑ P 2 P 1 Il lavoro elementare L 1 nel primo spostamento s 1 risulta: L 1 = q E 1 x S 1. In modo analogo possiamo esprimere i lavori negli altri spostamenti elementari. Complessivamente si ha: L= q E 1 x S 1 + q E 2 x S q E n x S n Ponendo in evidenza q, si ha: n L= q Σ i E i x S i 1 Poiché il lavoro totale, compiuto lungo la traiettoria è chiusa è nullo (L= 0) si ha: n q Σ i E i x S i =0 A.S.2008/09 pag. 5

6 1 Per qualsiasi carica q, possiamo affermare che la sommatoria C(E)=Σ i E i x S i =0 1 è sempre nulla, qualunque sia la traiettoria chiusa. La sommatoria suddetta, calcolata su di un percorso chiuso, è detta circuitazione del campo elettrico e viene così indicata: C( E ). n Il risultato ottenuto è conseguente alla conservatività del campo elettrico. Possiamo quindi enunciare il Teorema della circuitazione per il campo elettrostatico: la circuitazione del campo elettrostatico calcolata su una qualsiasi traiettoria chiusa è sempre nulla ( C( E )= 0). Potenziale elettrico In ogni punto (P) del campo elettrico, l energia potenziale U(P), altre alla dipendenza dal campo elettrostatico, è direttamente proporzionale alla carica q. Possiamo definire una nuova grandezza fisica, il potenziale elettrico V(P)=U(P)/q che è indipendentemente dalla carica esploratrice q ed è funzione delle sole proprietà del campo nel punto P. È quindi possibile descrivere il campo elettrico, in modo puntuale, sia mediante la grandezza vettoriale E (vettore campo elettrico) sia mediante la grandezza scalare V (potenziale elettrico), dipendente anch essa dalle sole proprietà del campo. Il potenziale elettrico in un punto P di un campo elettrico è numericamente uguale al lavoro che le forze del campo devono compiere per portare la carica positiva ed unitaria (q=+1 Coulomb) da tale punto P all esterno del campo. La sua unità di misura nel S.I. è il Volt 1 Volt= 1 Joule/1 Coulomb Lavoro e differenza di potenziale Il lavoro compiuto dalle forze del campo per spostare una carica q dal punto A al punto B risulta: L= - U = U A U B = q V A q V B Si ha quindi: L= -q V V = V B V A è la differenza di potenziale tra i punti B e A, essa è in modulo uguale al lavoro compiuto dalle forze del campo per portare la carica positiva ed unitaria (q=+1 Coulomb) dalla posizione iniziale A alla posizione finale B. V= -L/q ; V A V B = L/q A.S.2008/09 pag. 6

7 Potenziale elettrico di un campo uniforme Vmax= hmax E V= U/q = q E h/q V= Eh V= 0 Il Potenziale elettrico di un campo uniforme dipende dalla quota h e risulta: V= Eh - Le superfici equipotenziali sono piani paralleli alle armature del doppio strato (indicate in figura con il tratteggio). - Il potenziale è zero sull armatura negativa, cresce con la quota h ed è massimo sull armatura positiva (V= Ed). - Il vettore campo elettrico, perpendicolare alle superfici equipotenziali, ha verso dai punti a potenziale più alto ai punti a potenziale più basso. Potenziale elettrico di un campo generato da una carica puntiforme V(r) = U(r)/q = 1/4πε o q Q/r. 1/q V(r)= 1/4πε o. Q/r Il Potenziale elettrico di un campo generato da una carica puntiforme è inversamente proporzionata alla distanza r e risulta: V(r)= 1/4πε o. Q/r Le superfici equipotenziali sono sferiche e concentriche il cui centro coincide con la posizione della carica Q generatrice del campo. - Consideriamo il campo generato da una carica puntiforme positiva Q > 0 V(r)= 1/4πε o. Q/r Il potenziale è in ogni punto positivo; V(r) > 0 (decresce al crescere di r) e all infinito si ha: lim V(r) = 0 r + - Consideriamo il campo generato da una carica puntiforme negativa Q < 0 V(r)= -1/4πε o. Q/r Il potenziale è in ogni punto negativo ; V(r) < 0 (cresce al crescere di r) e all infinito si ha: lim V(r) = 0 r + A.S.2008/09 pag. 7

8 Il vettore campo elettrico in entrambi i casi è sempre perpendicolare alle superfici equipotenziali ed il suo verso è diretto da punti a potenziale maggiore a punti a potenziale minore. Quest ultima osservazione ha validità generale ed è vera anche in presenza di un campo elettrico risultante dalla sovrapposizione di più campi elettrici elementari. Consideriamo la situazione di un campo elettrico dato dalla sovrapposizione di campi generati da due cariche puntiformi e positive. In ogni punto, per il principio di sovrapposizione, il campo elettrico totale risulta: E T = E 1 + E 2 (Somma vettoriale) E 1 : campo elettrico generato dalla carica Q 1; E 2 : campo elettrico generato dalla carica Q 2. Analogamente il potenziale in ogni punto è dato dalla somma scalare dei potenziali dovuti ad ogni singola carica (principio di sovrapposizione per il potenziale). Per il caso in figura si ha: V T = V 1 + V 2 (Somma scalare) V 1 : campo elettrico generato dalla carica Q 1; V 2 : campo elettrico generato dalla carica Q 2. +Q +Q + + A.S.2008/09 pag. 8

9 Relazione tra campo elettrico e differenza di potenziale Consideriamo un doppio strato, il vettore campo elettrico è costante, e risulta: E=σ/ε o Il lavoro compiuto dalle forze de campo per spostare A la carica q dalla posizione A alla posizione B risulta: d L= F l = q E d con d=ab B Il lavoro può anche essere espresso nel modo seguente L= -q V Uguagliando le due relazioni si ha: q E d = -q V E= - V/d La relazione E= - V/d consente di determinare il campo elettrico data la differenza di potenziale V tra due punti posti a distanza d. La relazione non ha validità solo per il campo uniforme, ma ha valore generale, purché V sia la differenza di potenziale tra due punti posti a distanza d molto piccola. Dalla relazione E= - V/d si manifesta che nel S.I. il campo elettrico può esprimersi anche in Volt/m, unità equivalente al Newton/Coulomb. Si ha infatti: Volt/m = J/C m = N m/c m = N/C Alcune considerazioni (1) Il campo elettrico può essere rappresentato tracciando le linee di forza o, analogamente, tracciando le superfici equipotenziali. - Le linee di forza sono sempre perpendicolari alle superfici equipotenziali ed hanno verso dai punti a potenziale maggiore a punti a potenziale minore. (2) Il lavoro compiuto dalle forze del campo può sempre essere calcolato tramite la relazione: L= -q V L= q (V A V B ) (3) Se una qualsiasi carica si muove lungo una traiettoria delimitata da due punti giacenti su di una stessa superficie equipotenziale (V A = V B ), il lavoro è nullo: L= A B V L= 0. A B +Q V (4) Il moto delle cariche elettriche, libere di muoversi e immerse in un campo elettrico, avviene spontaneamente se il lavoro compiuto dalle forze del campo è positivo (L > 0). Essendo L= U A U B > 0 si ha U A > U B, pertanto una qualsiasi carica q si muove spontaneamente da punti a maggiore energia potenziale a punti a minore energia potenziale. A.S.2008/09 pag. 9

10 Le cariche positive +q si muovono spontaneamente verso punti a minore potenziale. Infatti, dovendo essere U A > U B si ha: q V A > q V B V A > V B Le cariche negative q si muovono spontaneamente verso punti a maggiore potenziale. Infatti, dovendo essere U A > U B si ha: q V A > q V B V A < V B Campo elettrico e potenziale per un conduttore isolato In condizioni elettrostatiche ogni punto di un conduttore isolato presenta lo stesso potenziale (V= cost). Infatti, se così non fosse, gli elettroni di conduzione si muoverebbero verso i punti a maggiore potenziale ed il conduttore non sarebbe più in equilibrio elettrostatico. In conseguenza del fatto che in condizioni elettrostatiche il potenziale all interno del conduttore è costante e data relazione esistente tra campo elettrico e differenza di potenziale (E= - V/d) si ha che in ogni punto interno al conduttore il campo elettrico è necessariamente nullo (E= 0). In ogni punto superficiale il vettore campo elettrico è perpendicolare alla superficie stessa. Infatti, se così non fosse, esso presenterebbe una componente tangente alla superficie che implicherebbe la presenza di una differenza di potenziale tra punti superficiali prossimi ( V= -E. d). Gli elettroni di conduzione soggetti a tale differenza di potenziale, sarebbero in moto sulla superficie contravvenendo al supposto stato di equilibrio elettrostatico. Vogliamo ora calcolare l intensità del vettore campo elettrico esterno al conduttore ed in prossimità della sua superficie. Consideriamo un cilindretto retto elementare, disposto come in figura, aventi le superfici di base S b1 e S b2 parallele alla superficie del conduttore S, con S b2 interna ed S b1 esterna al conduttore. Il flusso del campo elettrico uscente dal cilindretto è la somma dei flussi attraverso la superficie laterale L, e attraverso le superfici di base S b1 e S b2. Si ha: Φ T (E) = Φ L (E) + Φ B1 (E) + Φ B2 (E) Il vettore campo elettrico è perpendicolare alla superficie di base S b1 esterna al conduttore e quindi, indicando con S l estensione della superficie, il flusso attraverso S b1 risulta: Φ B2 (E) = E. S All interno del conduttore il campo elettrico è nullo ed è quindi anche nullo il flusso attraverso la superficie di base S b2 interna al conduttore Φ B2 (E) = 0. Anche il flusso attraverso la superficie laterale è nullo Φ L (E) = 0, poiché il vettore campo elettrico è A.S.2008/09 pag. 10

11 parallelo alla superficie laterale. Complessivamente il flusso del campo elettrico uscente dal cilindretto risulta: Φ T (E) = E. S. Per il teorema di Gauss, se q è la carica distribuita sulla superficie S di intersezione tra il cilindretto e la superficie del condutture, si ha anche: Φ T (E)= q/ε o Indicando con σ= q/ S la densità di carica superficiale si ha: Φ T (E)= σ S/ε o. Uguagliando le due espressioni del flusso si ha: E. S = σ S/ε o. Possiamo quindi enunciare il Teorema di Coulomb: l intensità del campo elettrico in prossimità della superficie del conduttore è direttamente proporzionale alla densità di carica superficiale: E = σ /ε o. Potenziale di un conduttore sferico Il potenziale è costante in tutti i punti del conduttore sferico, per cui per calcolo del potenziale possiamo riferirci ad un punto particolare, il centro del conduttore, che consente di semplificare il calcolo del potenziale. Suddividiamo la superficie sferica in un insieme di n superfici elementari S i elettricamente cariche, tanto piccole da potersi considerare puntiformi. Sia q i la carica presente sulla i-esima superficie S i. Per il principio di sovrapposizione il potenziale nel centro del conduttore risulta: n n V=Σ i V i = Σ 1/4πε o q i /R = 1/4πε o q 1 /R + 1/4πε o q 2 /R + + 1/4πε o q n /R 1 1 dove V i = 1/4πε o q i /R è il potenziale generato dalla carica q i. Evidenziando il fattor comune 1/4πε o R e tenendo presente che la carica totale elettrica risulta Q= Σ i q i si ha il potenziale del conduttore sferico: V= 1/4πε o R. ( q 1 + q q n ) = 1/4πε o Q/R Tutti i punti del conduttore sferico hanno lo stesso potenziale: V= 1/4πε o Q/R dove R è il raggio dalla sfera. Nei punti esterni al conduttore sferico si ha il potenziale è V= 1/4πε o Q/r, in cui r è la distanza del punto P dal centro della sfera. Ovvero si ha lo stesso potenziale che si avrebbe se tutta la carica Q fosse contenuta nel centro della sfera. A.S.2008/09 pag. 11

12 Equilibrio elettrostatico tra due conduttori Si abbiano due conduttori sferici di raggio R A e R B uniti da un condotto metallico: Il potenziale del conduttore A risulta: V A= 1/4πε o Q A /R A e quello del conduttore B è: V B= 1/4πε o Q B /R B Poiché ogni punto del sistema deve essere allo stesso potenziale si ha: V A = V B 1/4πε o Q A /R A = 1/4πε o Q B /R B Q A /R A = Q B /R B La carica elettrica presente su ogni conduttore sferico è direttamente proporzionale al rispettivo raggio (Q/R= cost). La densità superficiale di carica σ è inversamente proporzionale al raggio del conduttore sferico, infatti si ha: σ = Q/S = Q/4πR 2 = [1/4π. Q/R]. 1/R = cost/r, ovvero: σ. R = cost La densità di carica cresce al decrescere del raggio della sfera. Per l esempio in figura si ha: σ A > σ B. Quanto osservato in questo caso particolare è generalizzabile per un conduttore di forma qualsiasi, considerando come valore di R il raggio di curvatura. E A σ A R A R B σ B E B La densità di carica σ è grande se il raggio di curvatura R è piccolo, pertanto le cariche si addensano in prossimità delle punte del conduttore. Poiché, per il teorema di Coulomb, il campo elettrico in prossimità della superficie del conduttore è direttamente proporzionale alla densità superficiale di carica (E= σ/ε o ), ne consegue che anche il campo elettrico così come la densità di carica è inversamente proporzionale al raggio di curvatura. In prossimità delle punte di un conduttore carico il campo elettrico è molto intenso e può essere causa di un intenso vento elettrico. A.S.2008/09 pag. 12