1 Esperienza 1. Studio del moto uniforme

Transcript

1 1 Esperienza 1. Studio del moto uniforme Questa esperienza non e stata svolta sperimentalmente. Si sono solo analizzati dati raccolti da altri studenti negli anni precedenti. L analisi dei dati e stata anche modificata rispetto al foglio di lavoro utilizzato. 1.1 Preliminari di Fisica: Forze che dipendono dalla velocita Fra i vari tipi di forze esistenti in natura vi sono quelle che dipendono dalla velocita dei corpi. Fra queste vi sono ad esempio alcune forze di attrito, la forza centripeta, le forze magnetiche, ecc. Qui esamineremo il caso delle forze di attrito e in particolare il caso di un oggetto che si muove in un fluido viscoso sotto l azione di una forza costante F. Le forze di attrito che si sviluppano in questa situazione sono del tipo: dove β e un coefficiente che si puo scrivere come: f = βv (1) β = γη (2) Quiη e ilcoefficiente di viscosita delmezzo eγ e uncoefficiente chedipende dallaforma geometrica dell oggetto. Ovviamente, come tutte le forze di attrito, la forza f si oppone al moto dell oggetto. Per comprendere meglio questo tipo di moto consideriamo prima il caso in cui un oggetto venga lasciato cadere da un altezza h nel vuoto e poi continui a cadere all interno di una vasca in cui vi sia del liquido viscoso. La figura 1 illustra tale situazione. Il corpo cade prima liberamente e raggiunge quindi una velocita v. In questo caso, ignorando la possibile presenza della spinta di Archimede, la forza costante F e quella del suo peso P=mg. Per determinare il tipo di moto che consegue in questo problema, applichiamo la II legge di Newton: F f = ma (3) ovvero: F βv = m dv (4) dt Quando il corpo raggiunge la superficie del fluido, sara immediatamente sottoposto ad una nuova forza di segno opposto data dalla (1) che sara piu grande della forza peso. La (3) ci dice che tale accelerazione e negativa per cui il corpo diminuisce la sua velocita. Col diminuire della velocita anche la forza di attrito diminuisce. Abbiamo a che fare con un moto con accelerazione variabile. Col passare del tempo vi sara un istante in cui: F βv = 0 = m dv dt (5) 1

2 vale a dire, la forza di attrito diviene uguale alla forza peso e quindi la somma delle due forze sara nulla. Il corpo, da questo momento in poi, si muovera di moto uniforme. Questa velocita raggiunta dal corpo viene detta velocita limite e si pu ricavare dalla (4): v L = F β (6) Nella figura vi sono due cursori, uno permette di modificare la densita del mezzo, il secondo l altezza da cui cade il corpo. Supponiamo ora che il corpo parta da fermo. In questo caso all istante iniziale il termine f = βv sara nullo e quindi al corpo sara applicata solo la forza F. La forza F produce un accelerazione e il corpo iniziera ad aumentare la sua velocita. Aumentando la velocita aumenta anche la forza di attrito e quindi l accelerazione del corpo diminuisce. Anche in questo caso vi sara un istante di tempo in cui la somma delle forze diventera nulla e il corpo si muovera di moto uniforme. appletviewer figs/fango.html Figure 1: Il moto di un corpo che cade in un fluido viscoso. I due cursori modificano la densita del mezzo e l altezza di lancio. Il pulsante Forze evidenziale forze applicate. 2

3 1.2 Analisi dei dati. Metodo 1 Una sferetta scende di moto uniforme in un tubo riempito di glicerina. Sul tubo sono segnate le tacche indicate con x, a distanze regolari di 3 cm. Per ogni posizione si effettuano 4 misure del tempo impiegato dalla sferetta a raggiungere la tacca rispetto alla posizione di riferimento. La legge oraria del moto uniforme attesa, per una sferetta che parte dalla posizione 0 al tempo t=0 sara x = vt (7) Poiche gli errori di misura sono relativi al tempo, scriveremo l equazione come t = 1 x = Kx (8) v Dobbiamo quindi verificare che il moto e uniforme e misurare la velocita v col suo errore. La figura 2 mostra il file di excel con i calcoli relativi a questa procedura. Figure 2: Foglio di excel relativo allo studio del moto rettilineo uniforme. Metodo 1. La colonna A riporta le posizioni x i raggiunte dalla pallina. Le colonne B,C,D,E riportano le misure dei tempi t j La colonna F riporta il calcolo della media t m i La colonna G riporta il calcolo delle deviazioni standard σ i che rappresentano gli errori su t m i. Il grafico riporta (x i,t m i ), le barre di errore verticali riportano σ i. 3

4 Poiche gli errori di misura sono abbastanza vicini fra di loro, per semplicita assumiamo che siano tutti uguali. Il nostro caso e quello di una retta che passa per l origine e quindi abbiamo un solo parametro libero K. Il metodo dei minimi quadrati, per la retta y = Kx fornisce un valore di K dato da Nel nostro caso K = < xy > < x 2 > K = < xt > < x 2 > La colonna H calcola < xt >, la colonna I calcola < x 2 >. Il valore di K ottenuto e in colonna J Le colonne K ed L desccrivono i due punti utilizzati per disegnare la retta sul grafico. Il valore della velocita v=1/k e riportato in colonna M L incertezza su K e data da σ y = 1 N 1 quindi (9) (10) N (t i Kx i ) 2 (11) i=1 σ K = σ y < x2 > (12) Le colonne N ed O riportano i calcoli relativi. L errore su K si trova nella colonna O L errore su v si ottiene dalla ed e riportato in colonna P dv = d( 1 K ) = dk K 2 (13) Il risultato della misura e dato da v = 3.49±0.12 cm/sec (14) 4

5 1.3 Analisi dei dati. Metodo 2 In questo caso misureremo la velocita per ogni tratto lungo la discesa e verificheremo che la velocita rimane costante. Questo metodo e meno preciso del precedente nella valutazione della velocita del corpo. La figura 3 mostra il file di excel con i calcoli relativi a questa procedura. Figure 3: Foglio di excel relativo allo studio del moto rettilineo uniforme. Metodo 2. La prima parte del foglio e la stessa che nel caso precedente. In questo caso: LacolonnaHriportaledifferenzeditempo t n. Set n e iltempoimpiegatoperarrivare alla posizione x n, la differenza di tempo alla posizione n sara t n t n 1. L errore sulle differenze di tempo si ottengono dalla propagazione degli errori e sono riportati nella colonna J d t n = dt 2 n +dt 2 n 1 (15) Le velocita per ogni intervallo v n = 3/ t n e riportata in colonna I. L errore sulla velocita e dato da ed e riportato nella colonna K. dv = d(3/ t) = 3 d( t) t 2 (16) Il grafico mostra la velocita in funzione della distanza percorsa con le barre di errore verticali calcolate. Per calcolare la velocita media utilizziamo la media pesata, in quanto le varie misure hanno errori deiversi. Ni=1 v i /dvi 2 v m = Ni=1 (17) 1/dvi 2 5

6 Le colonne L ed M riportano il calcolo del numeratore e denominatore e le loro somme sono nelle colonne N ed O. Il valore della velocita media e nella colonna P. La retta orizzontale relativo a questo valore della velocita e riportato nel grafico. L errore sulla media pesata e dato da 1 dv m = Ni=1 1/dvi 2 (18) ed e riportato in colonna S. Il risultato della misura e v = 3.32±0.06 cm/sec (19) 6