Somma di numeri floating point. Algoritmi di moltiplicazione e divisione per numeri interi

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1 Somma di numeri floating point Algoritmi di moltiplicazione e divisione per numeri interi Standard IEEE754 " Standard IEEE754: Singola precisione (32 bit) si riescono a rappresentare numeri " Standard IEEE754: Doppia precisione (64 bit) si riescono a rappresentare numeri

2 Lo standard IEEE754 sceglie di: Standard IEEE754 " rendere d 0 = 1 implicito, mettendo un circuito che somma automaticamente 1 alla cifra espressa dalla mantissa. " usare la notazione polarizzata per rappresentare l esponente: essa consente di ordinare e confrontare gli esponenti in modo facile - Singola precisione: polarizzazione pari a 127 = Doppia precisione: polarizzazione pari a 1023 = " riservare l esponente per rappresentare lo zero " riservare l esponente per casi particolari (fuori dall insieme dei valori rappresentabili) Standard IEEE754 Per leggere un numero in notazione polarizzata si usa la regola: (-1) S (1+m) 2(e - polazizzazione) Esempio: Quale numero decimale rappresenta la seguente sequenza di bit, letta secondo lo standard IEEE754? esponente: = = mantissa: = = Quindi il numero è: ( ) =

3 Standard IEEE754 Per scrivere un numero in notazione polarizzata bisogna ricordarsi di: " non rappresentare la parte intera della mantissa (il bit 1 prima della virgola) " aggiungere all esponente la polarizzazione Esempio: scrivere in notazione floating point, usando lo standard IEEE = - ( ) = - (10 + 1/2 + 1/8) = = = = = (-1) 1 ( ) 2 (3+127) = (-1) 1 ( ) 2 (130) Somma di numeri razionali in virgola mobile Algoritmo che esegue la somma di due numeri razionali : Esempio: eseguire assumendo una precisione di 4 bit 5 10 = = = = = Allora: = Normalizzazione: Arrotondamento:

4 Somma di numeri razionali in virgola mobile Esercizio: eseguire la somma di + Somma di numeri razionali in virgola mobile

5 Somma di numeri razionali in virgola mobile La limitatezza della precisione dell aritmetica dei calcolatori porta ad avere dei problemi con le proprietà delle operazioni aritmetiche. Ad esempio, la somma in virgola mobile non è associativa, cioè, in generale, non è vero che x+(y+z) = (x+y)+z I problemi nascono quando si vogliono sommare due numeri molto grandi di segno opposto, con altro un numero molto piccolo x = y = con x,y,z espressi in singola precisione z = x+(y+z) = ( ) = = (x+y)+z = ( ) = = Moltiplicazioni e divisioni tra numeri interi Abbiamo visto che le ALU sono in grado di eseguire operazioni di somma sottrazione salto confronto operazioni logiche: AND e OR Ma ci sono altre due operazioni fondamentali che devono essere implementate: MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE di numeri interi Vediamo come vengono realizzate...

6 Moltiplicazione tra numeri interi Come funziona l algoritmo carta e penna per la moltiplicazione? 105 * Moltiplicando 204 = Moltiplicatore Prodotto I passi dell algoritmo sono i seguenti : " considerare le cifre del moltiplicatore una alla volta, da destra a sinistra " moltiplicare il moltiplicando per la singola cifra del moltiplicatore " scalare il prodotto intermedio di una cifra alla volta verso sx rispetto ai precedenti prodotti intermedi ottenuti " il prodotto si ottiene dalla somma di tutti i prodotti intermedi Cosa succede in base 2? Moltiplicazione tra numeri interi 1011 * Moltiplicando = Moltiplicatore Prodotto Osservazioni: " il numero delle cifre del prodotto è molto più grande rispetto alle cifre del moltiplicatore e del moltiplicando. Ignorando i bit di segno si ha: moltiplicatore (n bit) moltiplicando (m bit) ==> prodotto (n+m bit) " Poichè si vogliono rappresentare sia gli operandi che il risultato delle operazioni su 32 bit bisogna fare attenzione ai casi di OVERFLOW!

7 Cosa succede in base 2? Moltiplicazione tra numeri interi 1011 * Moltiplicando = Moltiplicatore Prodotto Osservazioni: (continua) " Poichè ci sono solo le cifre 0 e 1 ogni passo della moltiplicazione viene semplificato - si mette una copia del moltiplicando nella posizione opportuna se la cifra corrente del moltiplicatore è 1 - si mette 0 in posizione opportuna se la cifra corrente del moltiplicatore è 0 Si basa su: Moltiplicazione tra numeri interi (primo algoritmo) " shift a destra del moltiplicatore per considerare, una alla volta, tutte le sue cifre (dalla meno significativa alla più significativa) " shift a sinistra del moltiplicando per rappresentare correttamente i prodotti parziali Moltiplicando Moltiplicatore Prodotto

8 Moltiplicazione tra numeri interi (primo algoritmo) Il circuito che implementa l algoritmo della pagina precedente? : Moltiplicazione tra numeri interi (secondo algoritmo) Il primo algoritmo di moltiplicazione usa un registro a 64bit per il moltiplicando e, conseguentemente, una ALU a 64bit per la somma Infatti, Il moltiplicando viene scalato a sinistra di una cifra ad ogni passo, in modo da non influenzare i bit meno significativi del prodotto Il secondo algoritmo, invece, per arrivare allo stesso obiettivo, prevede di scalare il prodotto a destra In tal modo il moltiplicando può restare fisso e quindi sono necessari solo 32bit sia per corrispondente registro che per la ALU Risultato: il circuito diventa più semplice e la moltiplicazione più veloce Vediamo in dettaglio il secondo algoritmo:

9 Moltiplicazione tra numeri interi (secondo algoritmo) Si basa su: " shift a destra del moltiplicatore per considerare, una alla volta, tutte le sue cifre (dalla meno significativa alla più significativa) " shift a destra del prodotto per non influenzare le cifre meno significative dei prodotti parziali " ad ogni passo vengono sommati solo i 32bit più significativi del prodotto Moltiplicando Moltiplicatore Prodotto Moltiplicazione tra numeri interi (secondo algoritmo) Il circuito che implementa il secondo algoritmo per la moltiplicazione è:

10 Moltiplicazione tra numeri interi (terzo algoritmo) Il secondo algoritmo spreca inizialmente i 32bit bassi del prodotto, che sono esattamente lo spazio necessario per memorizzare il moltiplicatore Man mano che lo spazio sprecato del prodotto diminuisce (per via dello shift a destra) diminuiscono anche le cifre significative del moltiplicatore Il terzo algoritmo prevede quindi la memorizzazione del moltiplicatore nella parte bassa del prodotto Con questa soluzione: " si elimina un registro (quello che prima memorizzava il moltiplicatore) " il test sulla cifra del moltiplicatore da considerare ad ogni passo diventa il test sul bit meno significativo del prodotto Vediamo nei dettagli il terzo (e ultimo!!!) algoritmo per la moltiplicazione... Moltiplicazione tra numeri interi (terzo algoritmo) Si basa su: " memorizzazione del moltiplicatore nella parte bassa del prodotto " shift a destra del prodotto per non influenzare le cifre meno significative dei prodotti parziali " ad ogni passo vengono sommati solo i 32bit più significativi del prodotto Moltiplicando Prodotto

11 Moltiplicazione tra numeri interi (terzo algoritmo) Il circuito che implementa il terzo algoritmo per la moltiplicazione è: Moltiplicazione tra numeri interi Fino ad ora NON abbiamo considerato il SEGNO di moltiplicando e moltiplicatore Il modo più semplice di gestire il segno è il seguente: " convertire moltiplicando e moltiplicatore in numeri positivi " eseguire il la moltiplicazione " stabilire il segno del prodotto secondo la regola dei segni, ricordando i segni originali ATTENZIONE: gli algoritmi possono effettuare solo 31 iterazioni, lasciando i segni fuori dal calcolo

12 Divisione tra numeri interi Come funziona l algoritmo di divisione carta e penna? Dividendo Divisore Quoziente 100 : 6 = Resto Si ha: Dividendo = Quoziente * Divisore + Resto da cui: Resto = Dividendo - Quoziente * Divisore I passi dell algoritmo sono i seguenti: " considerare le cifre del dividendo, partendo dalla cifra più significativa " vedere quante volte il divisore sta nel gruppo di cifre del dividendo " scrivere la cifra corrispondente nel quoziente " sottrarre il multiplo del divisore dal dividendo " alla fine il resto è minore del divisore ATTENZIONE: la divisione per ZERO causa errore Cosa succede in base 2? Dividendo Divisore Quoziente : 101 = Resto Osservazioni: Divisione tra numeri interi " Quante volte il divisore sta nella porzione di dividendo considerata? Ci sono solo due alternative: 0 volte oppure 1 volta Questo semplifica l algoritmo di divisione " Consideriamo per ora solo numeri positivi

13 Divisione tra numeri interi (primo algoritmo) Supponiamo di dover dividere : ( cioè : 5 10 ) Il primo algoritmo di divisione procede come segue: " quoziente memorizzato su un registro a 32 bit e inizializzato a zero quoziente = 0000 " divisore memorizzato sulla parte alta di un registro a 64 bit divisore = " resto memorizzato su reg. a 64 bit, inizializzato col valore del dividendo resto = = dividendo " il calcolatore non capisce al volo quando il divisore è più piccolo della porzione di dividendo considerata. Ad ogni passo fa la sottrazione (dividendo - divisore) e controlla il segno del risultato " ad ogni passo si esegue lo shift a destra di una posizione del divisore resto = resto = resto = divisore = divisore = divisore = se il segno è positivo ==> shift a sinistra del quoziente e inserimento di 1 se il segno è negativo ==> shift a sinistra del quoziente e inserimento di 0 + ripristino del valore precedente di resto Divisione tra numeri interi (primo algoritmo) Resto Divisore Quoziente

14 Divisione tra numeri interi (primo algoritmo) Il circuito che implementa il primo algoritmo è il seguente: Divisione tra numeri interi (altri algoritmi) " Analogamente al caso della moltiplicazione, sono stati studiati dei raffinamenti per l algoritmo della divisione " L obiettivo è sempre quello di semplificare e rendere più veloce il circuito che implementa la divisione " Vediamo solo le modifiche ai circuiti, e non gli algoritmi in dettaglio (li trovate comunque sul libro di testo)

15 Divisione tra numeri interi (secondo algoritmo) Circuito relativo al secondo algoritmo: Divisione tra numeri interi (terzo algoritmo) Circuito relativo al terzo algoritmo:

16 Divisione tra numeri interi Fino ad ora non abbiamo considerato il SEGNO di dividendo e divisore Analogamente al caso della moltiplicazione, il modo più semplice di gestire il segno è il seguente: " convertire dividendo e divisore in numeri positivi " eseguire la divisione lasciando i bit di segno fuori dal calcolo " stabilire il segno del quoziente mediante la regola dei segni, ricordando i segni originali (quoziente negativo se i segni di dividendo e divisore sono discordi, positivo altrimenti) " stabilire il segno del resto mediante la seguente regola: dividendo e resto devono avere lo stesso segno, indipendentemente dal segno del divisore e del quoziente