Don Bosco, A.S. 2013/14 Compiti per le vacanze - 2A

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1 Don Bosco, A.S. 0/ Compiti per le vacanze - A. Risolvi le seguenti espressioni: [( ) ( ) ] [( ) 5 ] + : ( ) ( ) ( ( ) 5 ) 9 ( 5 ) ( 5 ) ( 7 5 ). Scomponi i seguenti polinomi: a b ax+bx+ay+6by c) x +x d) m +mn+n mn. Risolvi la seguente equazione:. Per quale valore di k il polinomio x x + x = x + x + p(x) = x + kx + k + è divisibile per il binomio (x + )? Verifica la risposta sostituendo a k il valore trovato ed eseguendo la divisione. 5. Del trapezio rettangolo ABCD si sa che la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore AB è uguale alla metà dell altezza DA del trapezio, e che questa è il triplo della base minore CD. Sapendo che la somma delle basi è pari a cm, calcolare l area del trapezio. 6. Dai vertici opposti A e C di un parallelogrammo ABCD si conducano le perpendicolari alla diagonale BD e siano rispettivamente E e F i piedi di tali perpendicolari. Dimostrare che il quadrilatero AECF è un parallelogrammo. 7. (*) Quanto fa ? 8. Discuti la seguente equazione letterale nell incognita x: x + b b + x + b x b b = b b 9. Risolvi il seguente sistema di disequazioni: 9 [ x + (x) 7x > x+ (x ) > x(x ) 0. Scrivi un sistema di disequazioni che non ammetta soluzioni. ] ( ) + x + ) (x + (x + ). Se necessario, porta i seguenti sistemi in forma normale, e controlla senza risolverli se sono determinati, impossibili o indeterminati. Quindi risolvi il sistema col metodo di riduzione, e il col metodo del confronto. x7 (x+y) 0 = 7 0 x+y = 9 + x+y x y = 6 x y =. Un negoziante vende prima di una stoffa, poi i sapendo che dopo le due vendite rimangono 5 m. della stoffa rimasta. Determinare la lunghezza iniziale della stoffa. (*) Discuti la seguente equazione letterale nell incognita x: (ax ) = b. ( Scrivi l equazione di una retta passante per il punto P(-;). ( Scrivi l equazione di una retta perpendicolare alla retta r : x 5y =. 5. Disegna le rette r : x + y = ed s : x y = 0. ( Determina algebricamente il loro punto di intersezione P e poi verifica il risultato con il disegno.

2 ( Scrivi l equazione della retta parallela all asse x e passante per P. (c) Scrivi l equazione della retta passante per l origine e parallela a r. (d) Scrivi l equazione della retta passante per l origine e per il punto Q(; ). (e) Per quale valore di b la retta t : bx y = è perpendicolare ad s? (f) Per quale valore di a il punto R( + a; appartiene alla retta r? 6. Per quale valore di k il seguente sistema è impossibile? Ci sono valori che lo rendono indeterminato? k x y k = 0 y = x 7. Risolvi i seguenti sistemi di equazioni: 5 y = x y xy = y (yx) 8. Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni con modulo: z + y+ x = 0 z + y x = 0 x + = y + z x < x c) x + > x x + d) x = x + 9. Adriana deve preparare una soluzione di litri di etanolo e acqua. Sapendo che l etanolo presente nella soluzione deve avere una massa pari a quattro volte quella dell acqua, e che un kg di etanolo occupa,5 litri mentre un kg d acqua occupa litro, di quanti litri di etanolo ha bisogno Adriana? 0. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni, giustificando la risposta: x + x = 0 x 9 x + (x 5) + π = 0. Risolvi le seguenti disequazioni: x + 8x x 8 x 0 8x x x+ + x x > 0 c) x x+ + x x + x < 0 +x x 0. Luca lancia volte un dado e scrive i risultati su un foglio, ottenendo un numero di cifre. Gli eventi E = La prima cifra è } e E = L ultima cifra è 6} sono compatibili? Qual è la probabilità che la prima cifra sia? c) Qual è la probabilità che l ultima cifra sia 6? d) Qual è la probabilità che la prima cifra sia E che l ultima cifra sia 6? e) Qual è la probabilità che la prima cifra sia O che l ultima cifra sia 6 (cioè che almeno uno dei due si verifichi)?. Il codice PIN di un cellulare è un numero formato da cifre (da 0 a 9). Quanti codici PIN esistono? Quanti codici PIN esistono con le cifre tutte diverse tra loro?. Risolvere la disequazione x x Poni le CE della seguente espressione: 5 x + 7 x 7x + x + x (x + ) 6. Semplifica i seguenti radicali (poni prima le CE): x 8 x c) 5 8a a + a d) x y 6 e) 9 + 6a + a f) 0 x xy + y z 8

3 7. Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili (poni prima le CE): 8 8 c) ax d) 5 a 8 b c 99 d e) 8a b 6 c 8 f) 6 a 7 g) a h) (a + ) a i) x y z (a ) j) x y 5 a b 6 8. Trasporta dentro al segno di radice tutti i fattori possibili (poni prima le CE): c) x x d) x x e) x x f) x x 9. Semplifica le seguenti espressioni. Supponi che i radicandi siano sempre maggiori o uguali a zero: 0. E vero che x = 6 x? 6 8a b 6 b a. Semplifica le seguenti espressioni (supponi i radicandi tutti positivi): + 0 a b b a : a + a b + ab + b a b ab a b. Razionalizza le seguenti frazioni: 6 8 a + a c) + d) 9ab 5 a b c. Risolvi le seguenti equazioni: + x = 0 x x + = 0 c) x + x + x + = x x + +. Un urna contiene 9 biglie numerate da a 9. Se tre biglie vengono estratte con reimmissione, qual è la probabilità che escano solo numeri pari? Se tre biglie vengono estratte senza reimmissione, qual è la probabilità che escano solo numeri pari? c) Se due biglie vengono estratte senza reimmissione, qual è la probabilità che il primo numero sia 8 e il secondo sia un multiplo di? d) Se tre biglie vengono estratte senza reimmissione, qual è la probabilità che non esca mai l? 5. Per quali valori di a l equazione è impossibile? x x a = 0 6. Semplifica la seguente espressione (supponi i radicandi tutti positivi): a + b a b a b a b (b a + b : a + b 6 a 7. Risolvi le seguenti equazioni: x x + x x x + x x = 0 x + ( 5)x 5 = 0 8. Determina per quali valori di k l equazione soddisfa le richieste sottostanti. Verifica poi la risposta al quesito [c.] determinando le radici. x x + k + = 0 a. ammette radici reali; b. le radici sono coincidenti; c. le radici sono reciproche; d. una radice è ; e. il prodotto delle radici è ; f. ha radici concordi; g. ha due soluzioni positive; h. è spuria.

4 9. (*) Determinare, al variare di k, l esistenza e il segno delle soluzioni dell equazione x kx + k = 0 0. Risolvi le seguenti equazioni: x 7x 8 = 0 x 6 + 9x + 8 = 0. Risolvi le seguenti disequazioni: x 7x x x < 0 c) x 0 d) x x x x e) x x 9x 6x + < f) ( + ) x 0 + x π 0 x +. (*) Determina, al variare del parametro reale a (con a ), le soluzioni della disequazione:. Vero o falso? ( Se ax + bx + c è tale che = 0, allora è un quadrato. ( La parabola y = x + interseca l asse x in x = e x =. (c) Se ax + bx + c è tale che < 0 e a < 0, allora ax + bx + c < 0 non ha soluzioni. (d) Se l equazione ax + bx + c = 0 è impossibile, allora lo è anche la disequazione ax + bx + c < 0. (e) La disequazione x + 0 è soddisfatta per ogni x R.. Scrivi una disequazione di secondo grado che abbia soluzione S = R. 5. Scrivi una disequazione di secondo grado che abbia soluzione S : x =. 6. Scrivi una disequazione di secondo grado che abbia soluzione S : x x. a x a x < Risolvi il seguente sistema di disequazioni: 8. Risolvi la seguente disequazione: x x+ x 0 x + 0 x x Risolvi il seguente sistema non lineare: y(x + y) + = x + y y x = 50. (*) Determina, al variare di a R, le soluzioni della disequazione: ax 0 5. Dimostrare che la retta passante per il punto medio di una corda e per il centro della circonferenza è l asse della corda. 5. Sono date due circonferenze Γ e Γ tangenti esternamente in un punto T. Sia t la retta tangente in T ad entrambe le circonferenze, e sia P un punto su di essa. Da P si conducano le altre tangenti t e t a Γ e Γ, e si indichino rispettivamente con A e B i punti di tangenza. Dimostrare che PA = PB. 5. E data una circonferenza di diametro AB e centro O. Si consideri un punto C appartenente alla circonferenza e si conduca la semiretta r di origine C e passante per O. Sia H la proiezione del punto A su r e K la proiezione di C su AB. Si dimostri che: ( AH = CK; ( il quadrilatero AHKC è inscrittibile in una circonferenza; (c) il quadrilatero AHKC è un trapezio isoscele. 5. (Figura ) Da un punto E esterno ad una circonferenza di centro O si tracciano due semirette che intersecano la circonferenza rispettivamente nei punti D e A e nei punti C e B. Sapendo che ÂEB = e DOB =, calcolare le ampiezze degli angoli del quadrilatero ABCD.

5 55. (Figura ) Si considerino due corde parallele AB e CD di una circonferenza, tali che AC e BD si intersechino in un punto E interno alla circonferenza. Detto ĈAB = x, determinare in funzione di x gli angoli (giustificando la rispost: ÂBE, ÊDC, DCE, ÂEB, DEC, DEA e ĈEB. Supponendo che DC sia congruente al raggio della circonferenza, calcolare la misura, in gradi, di DAC. 56. (*) (Figura ) Determinare la somma degli angoli segnati in figura. 57. Considera un punto P appartenente ad un segmento AB, tale che AP = P B, e traccia una retta r passante per P. Traccia poi due rette parallele s e t, passanti rispettivamente per A e per B, e chiama C e D i loro punti di intersezione con r. ( Calcola AC, sapendo che il segmento DB misura 0 cm. ( Calcola l area di AP C, sapendo che l area di BP D è pari a 5 cm. 58. E dato un triangolo rettangolo ABC di cateti AB = 9 cm e AC = cm. Si consideri un punto P appartenente all ipotenusa BC, e siano H e K le sue proiezioni rispettivamente su AB e AC. Determinare le dimensioni del rettangolo AHPK, sapendo che la sua area è pari a cm. 59. Su una semicirconferenza di diametro AB si consideri un punto P. Sia H la proiezione di P sull ipotenusa. Sapendo che AB = 5 cm e che AP + P H = 6 cm, determinare l area del triangolo ABP. 60. Da un punto A esterno ad una circonferenza si tracciano due rette: la prima è tangente alla circonferenza nel punto Q, la seconda interseca la circonferenza nei punti E ed F. Sapendo che EF = 6 cm e che AQ = cm, determina la misura di EA. 6. (*) Il triangolo ABC è isoscele sulla base AB. L angolo in C è la metà dell angolo in B. La bisettrice dell angolo in A interseca il lato BC in D. Dimostra che CD è medio proporzionale tra BD e BC. 5