Trigonometria IV CFP. Scuola d arte applicata Andrea Fantoni

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1 Trigonometria IV CFP Scuola d arte applicata Andrea Fantoni

2 GONIOMETRIA Definizione di trigonometria La trigonometria è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Cioè a partire da dati (lati e/o angoli) noti si cerca di determinare altre misure del triangolo. Definizione di angolo Si chiama angolo quella porzione di piano compresa tra due semirette aventi origine comune. Il punto di origine delle semirette è detto vertice dell angolo. Misura degli angoli Se le due semirette sono coincidenti, si formano due angoli particolari: l angolo nullo (quello compreso fra le semirette) e l angolo giro (quello esterno) La prima forma di misura degli angoli è il grado; il grado è definito come 360-esima parte dell angolo giro. Il simbolo, che si usa per indicarlo, è un cerchio in apice ( ). Una forma di misura degli angoli più comunemente usata in matematica è il radiante. Per definire un radiante si prenda una circonferenza di raggio r e un angolo al centro α = AÔB. L ampiezza dell angolo α espressa in radianti è data dal rapporto fra la lunghezza dell arco AB e il raggio r della circonferenza. αα RRRRRR = ll rr Se l ampiezza in radianti vale 1 allora si può dedurre che: 1 = ll rr rr = ll Ovvero l angolo, la cui ampiezza vale un radiante, intercetta sulla circonferenza un arco la cui lunghezza è pari al raggio. Il primo valore utile da calcolare in radianti è l ampiezza dell angolo giro. L angolo giro descrivere un arco pari al perimetro della circonferenza ovvero πr pertanto: 1

3 In conclusione si può dire che: aaaaaaaaaaaa gggggggg iiii rrrrrrrrrrrrrrrr = llllllllheeeeeeee aaaaaaaa rrrrrrrrrrrr 360 = rrrrrr = rr Conversioni gradi radianti = α ( ) α (rad) A partire dalla conclusione precedente è possibile determinare il valore di una serie di angoli notevoli in radianti. Se è necessario convertire in radianti o viceversa esistono due proporzioni: αα RRRRRR = gg 180 Per passare da gradi a radianti. Per l operazione contrari invece si ha: αα = rrrrrrrr 180 Ad esempio si voglia convertire 60 in radianti: αα RRRRRR = = 1 3 = Nel caso contrario si voglia convertire l ampiezza di 10 gradi: αα = = = rrrrrr in

4 Seno e coseno Si consideri una circonferenza di raggio unitario e di centro sull origine (detta circonferenza goniometrica); si prenda un angolo al centro della circonferenza che ha una semiretta coincidente con il semiasse positivo delle x. L altra semiretta intersecherà in un punto P(x p, y p) la circonferenza. Si definisce seno dell angolo α l ordinata del punto P, ossia: sin αα = yy pp Analogamente si definisce coseno dell angolo α l ascissa del punto P, ossia: cos αα = xx pp Valori di seno e coseno immediati Per alcuni angoli è possibile ricavare direttamente dalle coordinate del punto il valore di seno e coseno: Angolo di 0 Per l angolo di 0 il punto P ha coordinate (1,0) di conseguenza: sin 0 = 0 e cos 0 = 1 3

5 Angolo di 90 Per l angolo di 90 il punto P ha coordinate (0,1) di conseguenza: sin 90 = 1 e cos 90 = 0 4

6 Angolo di 180 Per l angolo di 180 il punto P ha coordinate (- 1,0) di conseguenza: sin 180 = 0 e cos 180 = 1 Angolo di 70 Per l angolo di 70 il punto P ha coordinate (0, -1) di conseguenza: sin 70 = 1 e cos 70 = 0 Valori di seno e coseno per angoli notevoli Esiste una serie di angoli per cui i valori del seno e del coseno sono facilmente calcolabili tramite semplici dimostrazioni geometriche (che saranno affrontate in classe). La conoscenza di questi valori risulta fondamentale per la risoluzione degli esercizi. Di seguito si riporta una tabella contenente tali valori. Angolo ( ) Angolo (rad) Sin cos Inoltre tramite opportuni ragionamenti geometrici è possibile calcolare il valore di seno e coseno per un notevole numero di angoli, come illustrato nel grafico seguente. 5

7 1 - Valori di seno e coseno per angoli notevoli 6

8 Relazione fondamentale della trigonometria Prendendo in considerazione la circonferenza goniometrica (cioè la circonferenza il cui raggio vale 1 e di centro nell origine degli assi), si può osservare che seno e coseno corrispondono ai cateti di un triangolo rettangolo. Per tanto vale il teorema di Pitagora: sin αα + cos αα = 1 Cioè per un qualsiasi angolo la somma del quadrato del seno e del quadrato del coseno è sempre uno. Da questa relazione inoltre è possibile ricavare le due seguenti formule, utili per calcolare il seno noto il seno oppure il contrario: sin αα = ± 1 cos αα e cos αα = ± 1 sin αα Tangente e Cotangente Dato un angolo α sulla circonferenza goniometrica consideriamo la retta t tangente la circonferenza nel punto di coordinate (0,1) e sia T il punto di intersezione tra tale retta ed il prolungamento del lato dell angolo. Si definisce tangente dell angolo α l ordinata del punto T. Dal punto di vista matematico si definisce tangente di un angolo il rapporto tra il seno e il coseno dell angolo: tan αα = sin αα cos αα 7

9 In analogia alla definizione di tangente, si partirà da un angolo α, ma si considererà la tangente nel punto di coordinate (1,0). In questo caso l ascissa del punto di intersezione T sarà detta cotangente dell angolo α. Dal punto di vista matematico invece si definirà cotangente l inverso della tangente ovvero: cot αα = 1 tan αα = cos αα sin αα 8

10 ESERCIZI Goniometria Conversione gradi radianti Esprimere in frazioni di π la misura in radianti i seguenti angoli: Esprimere in gradi i seguenti angoli: π Espressioni goniometriche Semplificare le seguenti espressioni goniometriche: 1. 3 cos 90 sin sin cos sin sin sin cos 90 cos sin sin sin 70 9

11 5. 4 cos 90 + sin 0 3 cos cos cos 90 + sin 90 4 tan cot cos 0 7 sin 0 4 sin 0 8 cos cos 5 sin tan cos 1 cos + 1 sin tan sin cos tan + cot 31. cos +1 cos sin sin3 3 cos sin +3 cos + 5 cos 3 cos + sin sin Calcolare il valore delle seguenti espressioni goniometriche contenenti angoli superiori a 360 : 33. cos( ) + sin 5 + cos 34. cos 7 + sin 10 + sin cos sin sin cos sin( 630 ) + sin( 405 ) Semplificare le seguenti espressioni goniometriche contenenti angoli notevoli: 37. sin 90 1 cos 60 + tan tan 60 1 cot 45 + cos sin cos 30 3 tan sin cos 30 tan 60 + cot sin 60 cos 60 tan 30 + cot tan + 3 cos + sin cos 3 +sin 3 + cos tan 3 cos tan cos cos sin sin + cos sin cos sin + 4 sin cos + 4 sin + 3 sin 6 cos 3 sin 48. sin +3 cos sin 45 cos (sin 3 + cos 6 ) 1 tttt 4 Equazioni goniometriche Risolvere le seguenti equazioni trigonometriche: 10

12 51. sin xx = 1 5. sin xx = cos xx = cos xx = 55. tan xx = sin xx = tan xx 3 = sin xx 3 = cos xx = cos xx = tan xx = 1 6. sin xx sin xx + = 0 si sostituisca t= 63. cos xx 1 = sin xx 5 = tan xx = tan xx + tan xx = 0 Trigonometria Risolvere i triangoli rettangoli (calcolando cateti e angoli mancanti), si assuma che αα = 90 : 1. aa = 10 bb = cc = ββ = 30 γγ =. aa = bb = 15 cc = ββ = γγ = aa = bb = cc = 5 ββ = 60 γγ = 4. aa = 4 bb = cc = ββ = γγ = 5. aa = bb = cc = ββ = γγ = 11

13 Sommario Definizione di trigonometria... 1 Definizione di angolo... 1 Misura degli angoli... 1 Conversioni gradi radianti... Seno e coseno... 3 Valori di seno e coseno immediati... 3 Angolo di Angolo di Angolo di Angolo di Valori di seno e coseno per angoli notevoli... 5 Relazione fondamentale della trigonometria... 6 Tangente e Cotangente... 7 Goniometria... 9 Conversione gradi radianti... 9 Espressioni goniometriche... 9 Equazioni goniometriche

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