1 L omotetia. i punti O, A e A siano allineati

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1 1 L omotetia DEFINIZIONE. Dato un punto O ed un numero reale k, si dice omotetia di centro O e rapporto k, quella trasformazione del piano che associa ad ogni punto A il corrispondente punto A tale che i punti O, A e A siano allineati il rapporto è uguale alla costante k Omotetia inversa Se i punti A e A sono disposti dalla stessa parte rispetto ad O, l omotetia si dice diretta. OA OA DEFINIZIONE. Se i punti A e A sono disposti da parti opposte rispetto ad O, l omotetia si dice inversa. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

2 1 Le proprietà delle figure omotetiche Consideriamo, ad esempio, i triangoli ABC e A B C che si corrispondono in un omotetia diretta (a) e indiretta (b) di centro O e caratteristica k = 1 3. Notiamo che: i lati corrispondenti dei due triangoli sono paralleli e di conseguenza gli angoli corrispondenti nei due triangoli sono congruenti; i lati corrispondenti non sono congruenti, ma il loro rapporto è sempre pari al valore di k. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

3 1 Le proprietà delle figure omotetiche PROPRIETÀ. L omotetia, diretta ed inversa, fra due figure stabilisce una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che: mantiene il parallelismo tra i lati lasciando quindi inalterata l ampiezza degli angoli; cambia le misure dei lati corrispondenti, secondo un rapporto costante uguale alla caratteristica. In sintesi: Omotetia il parallelismo fra i lati la posizione nel piano e la misura dei lati Area 2 - Capitolo 2 - PAG

4 1 Le proprietà delle figure omotetiche Consideriamo i triangoli ABC e A B C che si corrispondono in un omotetia diretta di centro O e caratteristica k = 3 In questo caso il triangolo ottenuto rappresenta un ingrandimento del triangolo ABC. In generale è possibile dire che: PROPRIETÀ. Le dimensioni di una figura in una omotetia (diretta o inversa) dipendono dal valore del rapporto: per k > 1 si ottiene un ingrandimento; per k < 1 si ottiene un rimpicciolimento. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

5 2 La similitudine DEFINIZIONE. La similitudine è una trasformazione geometrica che si ottiene applicando alla stessa figura e in successione un isometria ed un omotetia (o viceversa). Le figure che si corrispondono in questo tipo di trasformazione si dicono simili. Consideriamo le seguenti figure ottenute componendo: un omotetia diretta di centro O e k = 2 con una simmetria assiale di asse a. una traslazione di vettore v 1 con un omotetia 1 di centro O e k = 2 In entrambi i casi i due triangoli ABC e A B C hanno gli angoli congruenti, mentre si è modificata la lunghezza dei lati corrispondenti che tuttavia mantengono un rapporto costante. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

6 2 La similitudine PROPRIETÀ. La similitudine è una trasformazione geometrica che lascia immutate le ampiezze degli angoli, ma varia la lunghezza dei segmenti corrispondenti secondo un rapporto costante che si chiama rapporto di similitudine e si indica con k. In sintesi: Similitudine la lunghezza dei segmenti la congruenza fra gli angoli DEFINIZIONE. Due o più poligoni si dicono simili quando hanno gli angoli ordinatamente congruenti e le misure dei lati omologhi legate da un rapporto costante. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

7 2 I criteri di similitudine dei triangoli Consideriamo due triangoli ABC e A B C in cui poniamo le condizioni A = A ; B = B ; C = C Se misuriamo i lati corrispondenti e calcoliamo i loro rispettivi rapporti, troveremo che sono in proporzione ovvero che hanno lo stesso rapporto: A B : AB = B C : BC = C A : CA = k Possiamo concludere che: 1 CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

8 2 I criteri di similitudine dei triangoli Consideriamo due triangoli ABC e A B C in cui poniamo le condizioni A = A A B : AB = A C : AC = k Se misuriamo con il goniometro le altre due coppie di angoli corrispondenti troveremo che: B = B C = C Calcolando il rapporto tra l altra coppia di lati omologhi, troveremo che anche quest ultima ha lo stesso rapporto delle prime due coppie di lati omologhi: B C : BC = A B : AB = A C : AC = k Possiamo dedurre che: 2 CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli sono simili se hanno due lati proporzionali e l angolo fra essi compreso congruente. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

9 2 I criteri di similitudine dei triangoli Consideriamo due triangoli ABC e A B C in cui poniamo la condizione A B : AB = B C : BC = A C : AC = k Se misuriamo con un goniometro l ampiezza degli angoli, vedremo che quelli corrispondenti hanno la stessa ampiezza: A = A ; B = B ; C = C Possiamo dedurre che: 3 CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli sono simili se hanno i lati corrispondenti in proporzione. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

10 3 I teoremi della similitudine Il teorema della parallela al lato di un triangolo TEOREMA. In un triangolo, una parallela ad un lato individua un nuovo triangolo simile a quello dato e divide i lati intersecati in segmenti direttamente proporzionali. In simboli: AD : DC = BE : EC Una conseguenza di tale teorema è che: TEOREMA. La parallela ad un lato di un triangolo condotta per il punto medio di un altro lato divide il terzo lato in due segmenti congruenti. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

11 3 I teoremi della similitudine Il teorema delle altezze corrispondenti di due triangoli simili TEOREMA. In due triangoli simili le altezze sono proporzionali alle rispettive basi. In simboli: C H : CH = A B : AB Area 2 - Capitolo 2 - PAG

12 3 I teoremi della similitudine Il teorema dei perimetri di due poligoni simili TEOREMA. Il rapporto tra i perimetri di due triangoli simili è uguale al rapporto tra le misure di due lati corrispondenti; in simboli: 2p A B C : 2p ABC A B : AB k Più in generale: TEOREMA. Il rapporto tra i perimetri di due poligoni simili è uguale al rapporto tra le misure di due lati corrispondenti. TEOREMA. Tutte le misure lineari corrispondenti di due poligoni simili stanno tra loro nello stesso rapporto di similitudine. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

13 3 I teoremi della similitudine Il teorema delle aree di due poligoni simili TEOREMA. Il rapporto tra le aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto tra due lati corrispondenti; in simboli: Area : Area A B 2 : AB 2 k 2 Ad esempio, considerando la figura a lato, A B : AB 4 3 A A B C D A ABCD Area 2 - Capitolo 2 - PAG

14 4 Il primo teorema di Euclide Consideriamo i triangoli ABC e AHC. Per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili e hanno i lati omologhi in proporzione, quindi: AB : AC = AC : AH Consideriamo i triangoli ABC e HBC. Per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili e hanno i lati omologhi in proporzione, quindi: AB : BC = BC : HB Alla luce delle precedenti proporzioni possiamo enunciare il seguente TEOREMA. In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

15 4 Il secondo teorema di Euclide Consideriamo i triangoli rettangoli AHC e HBC. Essi hanno gli angoli ordinatamente congruenti AHC = CHB = 90 CAH = HCB ACH = HBC I due triangoli sono dunque simili ed avranno i lati corrispondenti in proporzione: AH : HC = HC : HB Alla luce di questa relazione possiamo enunciare il seguente TEOREMA. In ogni triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

16 4 Interpretazione geometrica dei teoremi di Euclide Primo teorema di Euclide TEOREMA. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente ad un rettangolo che ha per dimensioni l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa. Secondo teorema di Euclide TEOREMA. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente ad un rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. Area 2 - Capitolo 2 - PAG