LICEO SCIENTIFICO QUESTIONARIO QUESITO 1

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1 LICEO SCIENTIFICO QUESTIONARIO QUESITO 1 y = f() ; il suo grafico è tangente alla retta y = + 5 nel secondo quadrante ed inoltre risulta: f () = + 6. Determinare l equazione y = f(). Risulta: f() = ( + 6) d = k (*) Inoltre deve essere f () = con <0; quindi: + 6 = se = ±, per noi = Per = - dall equazione della retta troviamo y=4+5=9. Quindi la funzione passa per il punto di coordinate (-;9). Imponiamo il passaggio per tale punto alla curva di equazione (*). 9 = k da cui k =. 3 3 La funzione riciesta a quindi equazione: y = f() = QUESITO Si ciede di determinare la formula del volume del tronco di cono: 3 V = 1 3 π (R + r + R r) Liceo Scientifico Quesiti 1/ 8

2 Il volume del tronco si può ottenere, per esempio, come volume del solido ottenuto dalla rotazione del segmento di estremi (0; r) e (; R) attorno all asse delle ; la retta passante per gli estremi del segmento a equazione: y = R r + r. Il volume riciesto si ottiene quindi mediante il seguente integrale definito: b V = π f ()d = a π [ 0 + r] d = π [( ) + r + r 0 ] d = = π [( ) r + r () ] = π [ r + Rr + R ] = π (R + r + R r) = V 0 = π [( ) r + r () ] = Dimostrazione geometrica Indiciamo con V il vertice del cono C di cui fa parte il tronco e sia k l altezza del cono C 1 ce a per base la base minore del tronco. Il volume del tronco si ottiene sottraendo al volume del cono C il volume del cono C 1. Dalla similitudine dei triangoli rettangoli VHB e VKD si a: VH: VK = R: r ( + k): k = R: r Quindi: r( + k) = kr, Si a perciò: Segue ce: r + rk kr = 0, k = r R r. V(C) = 1 3 πr ( + k) e V(C 1 ) = 1 3 πr k V(tronco) = V(C) V(C 1 ) = 1 3 πr ( + k) 1 3 πr k = = 1 3 π[r + R k r k] = 1 3 π[r + k(r r )] = 1 3 π [R + r ( )] = = 1 3 π [R + r ()(R + r)] = 1 3 π[r + r(r + r)] = 1 3 π(r + rr + r ) = V Liceo Scientifico Quesiti / 8

3 QUESITO 3 Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità ce si ottenga testa al più due volte? Qual è la probabilità ce si ottenga testa almeno due volte? La probabilità ce si ottenga testa in un lancio è ½. La probabilità ce si ottengano al più due teste in sei lanci è data da: p(al più due teste in sei lanci) = p(0 teste) + p(1 testa) + p( teste) Si tratta di una distribuzione binomiale, quindi, indicando con n il numero di prove, con k il numero di successi, con p la probabilità del successo e con q la probabilità dell insuccesso si a: p(k, n) = ( n k ) pk q n k Nel nostro caso n=6 e p=1/ e q=1/, quindi: p(0,6) = ( 6 0 ) (1 )0 ( 1 )6 = 1 64, p(1,6) = ( 6 1 ) (1 )1 ( 1 )5 = = 6 64 p(,6) = ( 6 ) (1 ) ( 1 4 ) 1 = = p(al più due teste in sei lanci) = p(0 teste) + p(1 testa) + p( teste) = = 64 = % 3 Seconda domanda: p(almeno due teste in sei lanci) = 1 p(0 teste) p(1 testa) Pertanto: p(almeno due teste in sei lanci) = 1 p(0 teste) p(1 testa) = = % Liceo Scientifico Quesiti 3/ 8

4 QUESITO 4 y = ln(), y = 1 ln(), y = ln() 3 3 Sostituiamo nella prima equazione differenziale: y + y = y; ln() ln() 3 = ln() ln() 3 + ln() = ln () : NO Sostituiamo nella seconda equazione differenziale: y + y = 1; 1 ln() + ln() 3 = 1 ln() = : NO Sostituiamo nella terza equazione differenziale: y = 1 + y; 1 ln() = 1 + ln() ln() = ln() : NO Sostituiamo infine nella quarta equazione differenziale: y + y + = y; ln() ln() + = ln() ; ln() = ln() verificato! QUESITO 5 Determinare un espressione analitica della retta perpendicolare nell origine al piano di equazione + y z = 0. La retta perpendicolare al piano dato a i parametri direttori proporzionali ai coefficienti di, y e z; quindi la retta a equazioni parametrice: = 0 + at { y = y 0 + bt z = z 0 + ct = t { y = t z = 0 1 t = t { y = t z = t = y { = z { y = 0 + z = 0 Liceo Scientifico Quesiti 4/ 8

5 QUESITO 6 f() = ( 1) + ( ) + ( 3) + ( 4) + ( 5) Si ciede di trovare il minimo della funzione (definita per tutti gli reali). Calcoliamo la derivata prima: f () = se 3 quindi: il grafico della funzione è crescente se >3 e decrescente se <3 ; pertanto: il minimo assoluto della funzione si a per =3 ed è f(3) = 10. QUESITO 7 Indicando con O il centro della circonferenza e con AB il lato del poligono regolare inscritto di n lati, l'area A(n) = S n del poligono si ottiene moltiplicando per n l'area del triangolo AOB. Essendo AO B = π e ricordando ce l'area di un triangolo si può calcolare come n semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso, si a: 1 n n n, come riciesto. Sn n Area(AOB) n r r sen r sen Risulta: Liceo Scientifico Quesiti 5/ 8

6 sen n n n n n n n lim r 1 r n n lim(s n) lim r sen lim r n n n Come è noto, il limite ottenuto non è altro ce l area del cercio. QUESITO 8 I lati di un triangolo misurano, rispettivamente, 6 cm, 6 cm e 5 cm. Preso a caso un punto P all interno del triangolo, qual è la probabilità ce P disti più di cm da tutti e tre i vertici del triangolo? La probabilità riciesta è data dal rapporto tra l area favorevole e l area possibile. Area favorevole= area triangolo area dei tre settori circolari di centri A,B e C con raggi e ampiezze pari agli angoli interni del triangolo; la somma dei tre settori equivale ad un settore circolare di ampiezza 180 (la somma dei tre angoli) e raggio, quindi ad un semicercio di raggio : π r = π. Per calcolare l area del triangolo ABC, isoscele sulla base AB, troviamo l altezza relativa a tale base: = 6 ( 5 ) Quindi: = = = Liceo Scientifico Quesiti 6/ 8

7 Area (ABC) = = Area (favorevole) = area(abc) area dei tre settori circolari = π 4 Infine: 5 Area (favorevole) p = Area (possibile) = π 8π = % QUESITO 9 f() = { k + k 1 < Dobbiamo determinare il parametro k in modo ce nell'intervallo [0, ] sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il punto di cui la tesi del teorema assicura l esistenza. Determiniamo k in modo ce la funzione sia continua in =1: si verifica facilmente ce la funzione è continua per ogni k, poicé il limite destro, il limite sinistro ed il valore ce la funzione assume in 1 sono uguali (esattamente ad 1). Dobbiamo imporre ce la funzione sia derivabile in =1. Risulta: in 0 < 1: f () = 3 e lim 1 (3 ) = 3 in 1 < : f () = k e lim 1 +( k) = k Dovrà essere: k = 3 k = 1 f() = { < Per tale valore di k la funzione è continua nell intervallo ciuso [0;] e derivabile nell aperto (0;): quindi sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Lagrange. Pertanto esiste almeno un punto c interno all intervallo tale ce: f(b) f(a) b a = f (c) f() f(0) 0 = f (c) = 5 0 = 5 Osserviamo ce se =1 la derivata della funzione vale 3, quindi c non può essere 1; se è diverso da 1 otteniamo: Liceo Scientifico Quesiti 7/ 8

8 Se 0 < 1: 3 = 5, = 5 6 = ± 5 6 quindi c = 5 6 Se 1 < : + 1 = 5, = 3, = 3 4 non accettabile Il punto di cui la tesi del teorema assicura l esistenza è c = 5 6. QUESITO 10 Rappresentiamo graficamente la funzione ed il rettangolo: A(rettangolo) = 3 u = 6 u 4 S 1 = d = d = 1 S = 6 u 14 3 u = 4 3 u. Quindi: [ ] = [ ] = = 14 3 u S 1 S = = 7 Con la collaborazione di Angela Santamaria Liceo Scientifico Quesiti 8/ 8