Studiamo adesso il comportamento di f(x) alla frontiera del dominio. Si. x 0 lim f(x) = lim. x 2 +

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1 Esercizi del 2//09. Data la funzione f(x) = ln(x 2 2x) (a) trovare il dominio, gli eventuali asintoti e gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce. Disegnare il grafico della funzione. (b) Scrivere lequazione della retta T tangente al grafico di f(x) nel punto P = (, f()). Calcolare la distanza tra il punto A = (4, f(4)) sul grafico della funzione e il punto di ascissa 4 appartenente alla precedente tangente T. Soluzione. (a) La funzione è definita non appena è definito il logaritmo di x 2 2x, ovvero per x 2 2x > 0. Poiché le radici dell equazione x 2 2x = 0 sono x = 0 ed x = 2, e il coefficiente di x 2 è positivo, si ha x 2 2x > 0 per x < 0 e per x > 2. In altre parole Dominio(f) = (, 0) (2, + ). ha Studiamo adesso il comportamento di f(x) alla frontiera del dominio. Si lim f(x) = + x lim f(x) = x 0 lim f(x) = x 2 + lim x + f(x) = + In particolare le rette x = 0 ed x = 2 sono asintoti verticali, mentre non ci sono asintoti orizzontali. Nel calcolo dell ultimo limite si è sfruttato lim x + x 2 2x = +, in quanto per x molto grande il termine x 2 predomina sul termine 2x. Infine studiamo la crescenza e la decrescenza di f(x) studiando il segno della derivata f (x). Si ha f (x) = 2x 2 x 2 2x

2 Per studiare il segno di f (x) basta studiare il segno del numeratore e del denominatore (sul dominio di f(x), ovvero per x < 0 e x > 2): 2(x ) x 2 2x Dunque f(x) decresce in (, 0) e cresce in (2, + ). Un grafico approssimativo di f(x) è pertanto il seguente: è (b) L equazione della retta tangente al grafico di f(x) nel punto (x 0, f(x 0 )) y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) (di questo ci si può convincere facilmente scrivendo l equazionedella retta nella forma generica y = mx + q, imponendo m = f (x 0 ) e poi determinando q imponendo il passaggio per (x 0, f(x 0 ))). Nel nostro caso, l equazione della retta T è pertanto y = 4 x + ln() 4 Il punto di ascissa x = 4 sulla retta T è il punto 4 + ln(). La distanza di questo punto dal punto A = (4, ln(2)) è 4 + ln() ln(2) =

3 2. Data la funzione f(x) = 2x x 2 4 (a) trovare gli eventuali asintoti orizzontali e verticali della funzione e gli eventuali punti di massimo e/o minimo. (b) Nel dominio D = {x R, x 4}, la funzione ha massimi o minimi? Calcolare, in percentuale, il valore del tasso di variazione della funzione agli estremi dell intervallo D. Soluzione. (a) La funzione è definita non appena il denominatore è diverso da zero, ovvero per x 2, 2. In altre parole Dominio(f) = (, 2) ( 2, 2) (2, + ). Studiamo adesso il comportamento di f(x) alla frontiera del dominio. Prima di far questo è utile studiare il segno della funzione. Studiando il segno del numeratore e del denominatore si trova 2x x La funzione f(x) è dunque positiva per 2 < x < 0 e per x > 2, si annulla in x = 0 ed è negativa per x < 2 e per 0 < x < 2. Possiamo ora studiare facilmente il comportamento della funzione alla frontiera del dominio. Si ha lim f(x) = 0; lim x f(x) = 0; x + lim f(x) = ; lim x 2 lim f(x) = ; lim x 2 f(x) = + x 2 + f(x) = + x 2 + In particolare la retta y = 0 è un asintoto orizzontale sia a destra che a sinistra e le rette x = 2 ed x = 2 sono asintoti verticali.

4 Osserviamo che, poiché lim x 2 f(x) = e lim x 2 + f(x) = +, la funzione non ha né minimo né massimo assoluto. Per determinare massimi e minimi studiamo la crescenza e la decrescenza di f(x) studiando il segno della derivata f (x). Si ha f (x) = 2(x2 4) 2x 2x = 2(x2 + 2) (x 2 4) 2 (x 2 4) 2 Per studiare il segno di f (x) basta studiare il segno del numeratore e del denominatore: 2 2 2(x 2 + 2) (x 2 4) 2 Dunque la funzione è sempre decrescente e non ci sono punti di massimo o minimo relativi. Un grafico approssimativo della funzione (non richiesto dal testo dell esercizio) è il seguente: (b) Il dominio D è un intervallo chiuso e limitato interamente contenuto nel dominio di f(x). Dunque, per il teorema di Weierstrass, la funzione data 4

5 ha massimo e minimo assoluti in D. Inoltre poichè f(x) è decrescente in D si ha che il massimo di f(x) su D è f() = 6 ed il minimo f(x) su 5 D è f(4) = 2. Il valore del tasso di variazione agli estremi dell intervallo è f(4) f() 4 = = 8 5 = 0.5 = 5.%. 5

6 . Per quale valore b > larea della parte di piano compresa tra il grafico della funzione f(x) = e x / x, lasse orizzontale di un riferimento cartesiano e le rette verticali x = e x = b vale 4? Soluzione. Dobbiamo risolvere l equazione b e x x dx = 4. Iniziamo col risolvere l integrale. Ponendo x = t si ha dt = d x = dx 2 x ovvero dx x = 2dt Ne segue e x dx = x e x dx = 2 x e t dt = 2e t + c = 2e x + c Dunque b e la nostra equazione diventa e x x dx = 2e b 2e 2e b 2e = 4 ovvero e b = 2 + e da cui b = ln(2 + e) e dunque b = (ln(2 + e)) 2. 6

7 4. Il valore medio F M della funzione f(x) = ( + x) 7 nell intervallo [0, 2] è maggiore o minore del valor medio G M della funzione g(x) = ln( x) nellintervallo [ 2, 0]? Soluzione. Si ha F M = 2 0 ( + x) dx 2 0 = ( + x) dx G M = 0 2 ln( x)dx 0 ( 2) = ln( x)dx Per calcolare il primo integrale operiamo la sostituzione x + = t. Si ha dt = d(x + ) = dx, e dunque dx = dt. Ne segue da cui ( + x) dx = 2 t dt = t c = 6(x + ) 2 + c, F M = 8/49 = 0.6 Per calcolare il secondo integrale operiamo la sostituzione x = t. Si ha dt = d( x) = dt, ovvero dx = dt. Ne segue ln( x)dx = ln(t)dt Quest ultimo integrale può essere risolto integrando per parti. Poniamo f = ln(t); dg = dt da cui Allora la formula df = dt t ; f dg = fg g = t g df 7

8 ci dice in questo caso ln(t)dt = t ln(t) dt = t(ln(t) ) + c Dunque da cui ln( x)dx = t(ln(t) ) + c = (x )(ln( x) ) + c G M = ln() = In conclusione, G M > F M. 8

9 5. Per quale valore di x > 0 la funzione ha un minimo? F (x) = x 0 t 4 t dt Soluzione. Si ha F (x) = x 4 x Il segno di F (x) coincide dunque con il segno di x 4 x = x(x ). Per studiare il segno di F (x) basta studiare il segno dei suoi fattori. Si ha x x Dunque F (x) ha un minimo per x =. 9