Energia potenziale elettrica

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1 Energia potenziale elettrica Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Novembre 2013 Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14

2 Ripasso Quando spingiamo un corpo di massa m, oppure lo solleviamo da terra, trasferiamo energia immagazzinata nel nostro corpo all oggetto. Per fare ciò, dobbiamo utilizzare una forza e compiere con essa ciò che in Fisica è chiamato lavoro. Definizione Chiamiamo lavoro di una forza costante F il prodotto scalare della forza per lo spostamento s: L = F s = F s cos ϑ, cioè: il lavoro è il prodotto dell intensità della forza F per la componente dello spostamento nella direzione della forza. L unità di misura del lavoro è il joule (simbolo J). Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14

3 Forza conservativa Definizione Una forza F è detta conservativa se il lavoro L A B per portare un corpo da un punto A ad un punto B non dipende dal cammino percorso ma solo dalla posizione iniziale A e da quella finale B. Dal fatto che la forza elettrica è centrale, segue che essa è conservativa. Di conseguenza, il lavoro compiuto per trasportare una carica da A a B è uguale e opposto al lavoro compiuto per trasportarla da B ad A, qualunque sia il cammino seguito. Ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica lungo un qualsiasi cammino chiuso è nullo. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14

4 Energia potenziale elettrica Dato che le forze elettriche sono conservative, è possibile introdurre un energia potenziale elettrostatica. Mediante il calcolo integrale, è possibile verificare che il lavoro necessario per portare una carica q 0 da un punto A ad un punto B del campo elettrico generato da una carica q lungo un cammino qualsiasi è L A B = q 0q 4πε 0 ( 1 r A 1 r B ), (1) essendo r A e r B rispettivamente le distanze di A e di B dal punto in cui è collocata la carica generatrice q. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14

5 In particolare, se la carica q 0 viene trasportata da un punto posto a distanza r all infinito, il lavoro vale L = 1 4πε 0 q 0 q r, (2) come si ottiene immediatamente dalla (1) ponendo r A = r e 1 ricordando che lim = 0. r B + r B Assumiamo, per convenzione, che l energia potenziale delle due cariche q e q 0 sia nulla quando tali cariche sono a distanza infinita l una dall altra (in pratica, quando si trovano a distanza abbastanza grande da rendere trascurabile la forza con cui interagiscono). Definizione Chiamiamo energia potenziale U associato al sistema di cariche q 0 e q poste a distanza r il lavoro dato dalla (2), cioè U = 1 4πε 0 q 0 q r. (3) Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14

6 Grazie alla definizione precedente possiamo affermare che L A B = U = U A U B, essendo U A e U B rispettivamente l energia potenziale elettrica associata alla carica q 0 quando si trova a distanza r A dalla carica q e l energia potenziale elettrica associata alla carica q 0 quando si trova a distanza r B dalla carica q. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14

7 Energia potenziale elettrica di più cariche E se il campo elettrico fosse generato da più cariche q 1, q 2,..., q n? L energia di una carica q 0 posta in un certo punto P del campo è data dalla somma delle energie dovute a ciascuna carica elettrica: U = q ( 0 q1 + q q ) n = q 0 4πε 0 r 1 r 2 r n 4πε 0 essendo r i la distanza della carica q i dal punto P. Osservazione n i=1 q i r i. (4) Nella relazione (4) ogni carica va presa con il suo segno: cariche di segno opposto daranno pertanto all energia di q 0 contributi di segno opposto. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14

8 Il potenziale elettrico L energia potenziale di q 0 è proporzionale a q 0 stessa. Vogliamo introdurre una grandezza fisica indipendente da q 0. Definizione Chiamiamo potenziale elettrostatico o, più brevemente, potenziale del punto in cui si trova la carica q 0 la quantità scalare V = U q 0. (5) Per rendere più semplice il concetto di potenziale, si considerino due recipienti contenenti acqua collegati tra loro. La quantità di acqua contenuta nel serbatoio rappresenta la quantità di carica, mentre il livello h dell acqua rappresenta il potenziale. All equilibrio, il livello di entrambi i recipienti sarà identico, così pure in elettrostatica: all equilibrio, il potenziale di due corpi conduttori collegati tra loro risulterà uguale. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14

9 Ricapitolando. Dato un campo elettrico E, ad ogni punto dello spazio si può associare un certo numero, il potenziale, che è dato dal rapporto tra il lavoro compiuto per trasportare una carica q 0 da quel punto ai confini del campo elettrico e la carica q 0 stessa. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14

10 Unità di misura del potenziale elettrico Osservando la definizione del potenziale, si nota che la sua unità di misura è joule/coulomb. Tale unità, in onore di Alessandro Volta, è detta volt (indicato con V). In particolare, per un punto P posto a distanza r da una carica puntiforme q si ha V P = 1 q 4πε 0 r, come si ricava dalla (3) e dalla (5). Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14

11 Potenziale associato a più cariche elettriche E se il campo elettrico è prodotto da più cariche elettriche q 1, q 2,..., q n? Il potenziale elettrico nel punto P si ottiene sommando i singoli potenziali dovuti a ciascuna carica: V P = 1 ( q1 + q q ) n = 1 4πε 0 r 1 r 2 r n 4πε 0 n i=1 q i r i. Nella precedente relazione le cariche vanno prese con i segni. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14

12 Relazione utile Dalla definizione di potenziale, si ricava una relazione importante. Dati due punti A e B di un certo campo elettrico e i rispettivi potenziali V A e V B, il lavoro compiuto dalle forze del campo elettrico per spostare una q 0 da A a B può essere rivisitato utilizzando l energia potenziale e, di conseguenza, si può introdurre il potenziale elettrico: L A B = U = q 0 V = q 0 (V B V A ) = q 0 (V A V B ), (6) dove la carica q 0 va presa con il suo segno. La relazione (6) dice che se q 0 > 0 e V A > V B il lavoro è positivo: ciò significa che una carica elettrica positiva accelera da un punto avente potenziale elettrico maggiore verso un punto a potenziale elettrico minore. Viceversa, una carica elettrica negativa accelera da punti a potenziale minore a punti aventi potenziale maggiore. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14

13 Concludendo Il potenziale elettrico rappresenta per il campo elettrico ciò che la quota rappresenta per il campo gravitazionale: come il lavoro che si può ottenere dalla caduta di un grave è proporzionale alla differenza di quota, così il lavoro che si può ottenere dal movimento di una carica è proporzionale alla differenza di potenziale. Tale differenza, solitamente, viene abbreviata con d.d.p. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14

14 Esempio Una carica elettrica q = 400 nc è posta fissa nel punto P. Una seconda carica puntiforme q 0 del valore di pc viene spostata dal punto A distante dal punto P 10 cm al punto B distante dal punto P 20 cm. Determinare il lavoro che occorre fornire al sistema discutendo il risultato. Il lavoro compiuto dall esterno per muovere la carica da A a B è uguale, ma opposto, al lavoro compiuto dalle forze del campo. Il lavoro compiuto dalle forze del campo (poichè la forza elettrostatica è conservativa) può essere ricavato mediante la relazione L A B = U = (U B U A ). Dal fatto che le cariche sono puntiformi si ha ( 1 qq 0 L A B = 1 ) qq 0 = 3, J. 4πε 0 r B 4πε 0 r A Quindi il lavoro compiuto dalle forze esterne vale L ext = 3, J. Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Energia potenziale elettrica Novembre / 14