Università degli Studi di Cassino

Transcript

1 Corso di Rappresentazione dei dati numerici Aritmetica dei registri Anno Accademico 27/28 Francesco Tortorella

2 BIG IDEA: Bits can represent anything!! Caratteri 26 lettere 5 bits (2 5 = 32) Minuscole/maiuscole + punteggiatura 7 bits (in 8) ( ASCII ) Codice standard per rappresentare tutti I linguaggi del mondo 8,6,32 bits ( Unicode ) wwwunicodecom Valori logici False, True Colori 3 valori di intensità per i tre colori fondamentali RGB (3 x 8 bit = 24 bit) Locazioni / indirizzi comandi Ricorda: N bits al più 2 N oggetti Lezione 2 - F Tortorella 28

3 Come rappresentiamo i numeri? Base di numerazione: dieci Cifre: Rappresentazione posizionale possibile per la presenza dello zero Esempio: 32 = (3x 3 ) + (2x 2 ) + (x ) + (x ) Lezione 2-2 F Tortorella 28

4 In generale Rappresentazione in base B B- cifre 2 B- Rappresentazione dei numeri: d 3 d 3 d 2 d d è un numero a 32 cifre valore = d 3 x B 3 + d 3 x B d 2 x B 2 + d x B + d x B Lezione 2-3 F Tortorella 28

5 Altre basi B=2 : cifre: x2 6 + x2 5 + x2 4 + x2 3 + x2 2 + x2 + x = = 9 7 cifre binarie 2 cifre decimali B=6 : cifre: A B C D E F 524 5x x6 + 4x = 36 3 cifre esadecimali 4 cifre decimali Lezione 2-4 F Tortorella 28

6 Siccome 6=2 4, il passaggio tra le rappresentazioni in base 2 e in base 6 è molto semplice: Lezione 2-5 3F9 6 base A B 2 C 3 D 4 E 5 F F Tortorella 28

7 Quale base usare? Decimale naturale per gli esseri umani Esadecimale utile (agli esseri umani) per esaminare lunghe stringhe di bit Binaria rappresentazione ottimale per il calcolatore perché non usare una codifica binaria della rappresentazione in base? Lezione 2-6 F Tortorella 28

8 Conversione base base 2 (interi) Come ottenere la rappresentazione in base 2 di un numero intero T rappresentato in base? Supponiamo: T=c n- x2 n- + c n-2 x2 n c 2 x2 2 + c x2 + c x2 c i {,} Non conosciamo: le cifre c i il numero di cifre n Lezione 2-7 F Tortorella 28

9 Conversione base base 2 (interi) T=c n- x2 n- + c n-2 x2 n c 2 x2 2 + c x2 + c x2 = (c n- x2 n-2 + c n-2 x2 n c 2 x2 + c ) x2 + c = Q x2 + c Q = T div 2 c = T mod 2 Q = (c n- x2 n-3 + c n-2 x2 n c 2 )x2 + c = Q x2 + c Q = Q div 2 c = Q mod 2 Lezione 2-8 F Tortorella 28

10 Conversione base base 2 (interi) void convint(int T,int c[],int &n) { int Q; n=;q=t; do { } c[n]=q%2; Q=Q/2; n++; } while (Q!=); La conversione genera le cifre a partire da quella meno significativa Esempio: 75? 2 Lezione 2-9 F Tortorella 28

11 Aritmetica in base 2 Le operazioni aritmetiche si svolgono in maniera analoga a quanto si fa in base + * tavola pitagorica in base 2 Lezione 2 - F Tortorella 28

12 F Tortorella 28 Lezione 2 - Aritmetica in base 2 = + = *

13 Aritmetica dei registri I registri di memoria sono supporti di lunghezza finita Ciò impone delle restrizioni all insieme di numeri rappresentabili e, di conseguenza, dei vincoli all aritmetica Registro a N bit 2 N valori diversi rappresentabili Es: 8 bit 256 valori possibile rappresentare l intervallo [,255] Lezione 2-2 F Tortorella 28

14 F Tortorella 28 Lezione 2-3 Aritmetica dei registri = = Non ci sono problemi nel caso in cui l operazione produce un risultato rappresentabile nel registro

15 Aritmetica dei registri Se l operazione fornisce un risultato R non rappresentabile, si produce un riporto uscente dal registro, mentre all interno rimane una parte della rappresentazione del risultato (R mod 2 N ) = 3 7 = Lezione F Tortorella 28

16 Aritmetica dei registri L aritmetica dei registri a N bit è caratterizzata da una congruenza mod 2 N Quindi, per N=5: 3+4=2! Lezione F Tortorella 28

17 Aritmetica dei registri Il riporto uscente dal registro, generato da un addizione tra numeri interi, si definisce carry Il prestito uscente dal registro, generato da una sottrazione tra numeri interi, si definisce borrow carry borrow Lezione 2-6 F Tortorella 28

18 Rappresentazione dei dati Rappresentazione in segno e modulo Rappresentazione in complementi alla base Rappresentazione per eccessi

19 Rappresentazione dei numeri negativi Soluzione più immediata: segno + modulo +/- modulo Possibile convenzione: Problemi dove mettere il segno? doppia rappresentazione per lo zero (+, -) operazioni alquanto complicate + - Lezione 2-8 F Tortorella 28

20 Rappresentazione dei numeri negativi Soluzione alternativa Che cosa succede in un registro a N bit quando si sottrae un numero da? = Lezione 2-9 F Tortorella 28

21 Complementi alla base -2 Lezione Caratteristiche: 2 N- non-negativi 2 N- negativi uno zero quanti positivi? confronto? rappr dello zero F Tortorella 28

22 Complementi alla base L intervallo di numeri rappresentati è [-2 N- +2 N- -] La rappresentazione di un numero x nell intervallo è data da R(x)=(x+2 N ) mod 2 N Il bit più significativo è indicativo del segno ( bit di segno ) Lezione F Tortorella 28

23 Calcolo rapido del complemento alla base Per ottenere rapidamente la rappresentazione in complemento alla base di un numero negativo su N bit si estrae la rappresentazione del valore assoluto del numero su N bit si complementano le cifre ad una ad una si aggiunge Es: complemento alla base su 8 bit di = += Lezione 2-22 F Tortorella 28

24 Operazioni in complemento alla base Le addizioni si realizzano direttamente sulle rappresentazioni in quanto R(x+y)=R(x)+R(y) Anche le sottrazioni si valutano tramite addizioni, ponendo x-y come x+(-y); di conseguenza R(x-y)=R(x)+R(-y) Nel caso in cui l operazione produce un numero al di fuori dell intervallo di rappresentazione si ha un overflow Lezione 2-23 F Tortorella 28

25 Operazioni in complemento alla base overflow Lezione 2-24 F Tortorella 28

26 Rappresentazione per eccessi (polarizzata) 4 5 Lezione Caratteristiche: 2 N- non-negativi 2 N- negativi uno zero quanti positivi? confronto? rappr dello zero F Tortorella 28

27 Eccessi L intervallo di numeri rappresentati è [-2 N- +2 N- -] La rappresentazione di un numero x nell intervallo è data da R(x)=x+2 N- Il bit più significativo è indicativo del segno ( bit di segno ) Lezione F Tortorella 28

28 Operazioni in eccessi Le addizioni si realizzano direttamente sulle rappresentazioni in quanto R(x+y)=R(x)+R(y) Anche le sottrazioni si valutano tramite addizioni, ponendo x-y come x+(-y); di conseguenza R(x-y)=R(x)+R(-y) Achtung! Siccome R(x)+R(y)=x+y+2 N- +2 N-, il risultato necessita di una correzione Nel caso in cui l operazione produce un numero al di fuori dell intervallo di rappresentazione si ha un overflow Lezione 2-27 F Tortorella 28

29 Confronto tra complementi alla base ed eccessi Entrambe permettono di realizzare una sottrazione tramite addizione (macchine aritmetiche più semplici) Le operazioni in eccessi richiedono un aggiustamento finale La rappresentazione in complementi rende più difficile il confronto Lezione 2-28 F Tortorella 28

30 Rappresentazione Complementi alla base (8 bit) Eccessi (8 bit) Lezione 2-29 Valore rappresentato F Tortorella 28

31 Numeri signed e unsigned Un registro di N bit può rappresentare: Numeri assoluti nel range [, 2 N -] numeri unsigned Numeri relativi nel range [-2 N-, 2 N- -] numeri signed C Dalla stringa di bit nel registro non si può risalire al tipo di numero memorizzato Quali sono le conseguenze? Operazioni aritmetiche indipendenti dalla rappresentazione nessuna conseguenza Confronto dipendente dalla rappresentazione due tipi di confonto X = Y = X > Y? unsigned: SI (7>4) signed: NO (-5<+4) Lezione 2-3 F Tortorella 28