Rappresentazione dei numeri

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1 Rappresentazione dei numeri Base di numerazione: dieci Cifre: Rappresentazione posizionale possibile per la presenza dello zero Esempio: 3201 = ( ) + ( ) + ( ) + ( )

2 In generale Rappresentazione in base B B-1 cifre B-1 Conversione verso la base decimale: d n-1 d n-2... d 2 d 1 d 0 è un numero a n cifre valore = d n-1 B n-1 + d n-2 B n d 2 B 2 + d 1 B 1 + d 0 B 0

3 Altre basi B=2 : cifre: = = 90 7 cifre binarie 2 cifre decimali B=16 : cifre: A B C D E F = cifre esadecimali 4 cifre decimali

4 Quale base usare? Decimale naturale per gli esseri umani. Esadecimale utile (agli esseri umani) per esaminare lunghe stringhe di bit Binaria rappresentazione ottimale per il calcolatore perché non usare una codifica binaria della rappresentazione in base 10?

5 Conversione base 10 base 2 (interi) Come ottenere la rappresentazione in base 2 di un numero intero T rappresentato in base 10? Supponiamo: T = c n-1 2 n-1 + c n-2 2 n c c c c i {0,1} Non conosciamo: le cifre c i il numero di cifre n

6 Conversione base 10 base 2 (interi) T = c n-1 2 n-1 + c n-2 2 n c c c = = (c n-1 2 n-2 + c n-2 2 n c c 1 ) 2 + c 0 = = Q c 0 Q 0 = T div 2 c 0 = T mod 2 Q 0 = (c n-1 2 n-3 + c n-2 2 n c 2 ) 2 + c 1 = Q c 1 Q 1 = Q 0 div 2 c 1 = Q 0 mod 2

7 Conversione base 10 base 2 (interi) In generale, per ottenere la rappresentazione in base 2 di un numero intero rappresentato in base 10, se non si conoscono né le cifre né il numero di cifre, basta dividere il numero per la base e prendere il resto in ordine inverso. Es.: 43/2 = 21 con resto 1 21/2 = 10 con resto 1 10/2 = 5 con resto = /2 = 2 con resto 1 2/2 = 1

8 Aritmetica in base 2 Le operazioni aritmetiche si svolgono in maniera analoga a quanto si fa in base * tavola pitagorica in base 2

9 Aritmetica in base = * 1 1 =

10 Aritmetica dei registri I registri di memoria sono supporti di lunghezza finita Ciò impone delle restrizioni all insieme di numeri rappresentabili e, di conseguenza, dei vincoli all aritmetica Registro a N bit 2 N valori diversi rappresentabili Es.: 8 bit 256 valori possibile rappresentare l intervallo [0, 255]

11 Aritmetica dei registri Non ci sono problemi nel caso in cui l operazione produce un risultato rappresentabile nel registro = =

12 Aritmetica dei registri Se l operazione fornisce un risultato R non rappresentabile, si produce un riporto uscente dal registro, mentre all interno rimane una parte della rappresentazione del risultato (l aritmetica dei registri a N bit è caratterizzata da una congruenza mod 2 N : R mod 2 N ) = =

13 Rappresentazione dei numeri relativi Rappresentazione in segno e modulo Rappresentazione in complementi alla base Rappresentazione per eccessi

14 Rappresentazione dei numeri negativi Dobbiamo tener conto del segno del numero. La soluzione più immediata è quella di utilizzare un bit del registro come segno del numero. I restanti bit costituiscono il numero in valore assoluto. +/- modulo Possibile convenzione: L intervallo di rappresentazione è [-2 N-1 +1, +2 N-1-1].

15 Rappresentazione dei numeri negativi La posizione del bit di segno diventa di notevole importanza. Con questa rappresentazione si ha un ambiguità nello 0. Lo zero può essere rappresentato sia dalla stringa tutti zero sia dalla stringa uno (come bit di segno) seguito da tutti zero. Le operazioni diventano alquanto complicate. Somma e sottrazione sono operazioni nettamente diverse.

16 Rappresentazione in complemento alla base Complementi alla base: i numeri aventi segno negativo sono rappresentati come complemento a 2 del numero rappresentato. La rappresentazione di un numero x nell intervallo è data da R(x)=(x+2 N ) mod 2 N. Il bit più significativo è indicativo del segno ( bit di segno ). In questo caso il valore 1 rappresenta il segno negativo. L intervallo di numeri rappresentati è [-2 N-1, +2 N-1-1]. Si risolve l ambiguità dello zero che viene rappresentato dalla stringa tutti zero mentre la stringa 1 e tutti zero ora rappresenta il -1.

17 Calcolo rapido del complemento alla base Per ottenere rapidamente la rappresentazione in complemento alla base di un numero negativo su N bit si estrae la rappresentazione del valore assoluto del numero su N bit si complementano le cifre ad una ad una si aggiunge 1 Es.: complemento alla base su 8 bit di = Complemento tutti i bit ottenendo Poi aggiungo 1: =

18 Operazioni in complemento alla base Un ulteriore vantaggio dei complementi è che l uguaglianza tra le operazioni di somma e differenza. Le addizioni si realizzano direttamente sulle rappresentazioni in quanto R(x + y) = R(x) + R(y) Anche le sottrazioni si valutano tramite addizioni, ponendo x-y come x+(-y); di conseguenza R(x-y) = R(x) + R(-y) Nel caso in cui l operazione produce un numero al di fuori dell intervallo di rappresentazione si ha un overflow.

19 Operazioni in complemento alla base Supponendo di avere 4 bit a disposizione: overflow

20 Rappresentazione per eccessi Un altro metodo per la rappresentazione dei numeri interi è dato dagli eccessi. La rappresentazione di un numero x nell intervallo è data da R(x) = x+2 N-1. Anche in questo caso il bit più significativo è indicativo del segno ma questa volta lo zero rappresenta i numeri negativi. L intervallo di numeri rappresentati è [-2 N-1,+2 N-1-1]. Lo 0 è rappresentato dalla stringa 1 e tutti

21 Operazioni in eccessi Le addizioni si realizzano direttamente sulle rappresentazioni in quanto R(x+y) = R(x) + R(y) Anche le sottrazioni si valutano tramite addizioni, ponendo x-y come x+(-y); di conseguenza R(x-y) = R(x) + R(-y) Siccome R(x) + R(y) = x + y + 2 N N-1, il risultato necessita di una correzione Nel caso in cui l operazione produce un numero al di fuori dell intervallo di rappresentazione si ha un overflow

22 Confronto tra complementi alla base ed eccessi Entrambe permettono di realizzare una sottrazione tramite addizione (macchine aritmetiche più semplici). Le operazioni in eccessi richiedono un aggiustamento finale. La rappresentazione in complementi rende più difficile il confronto.