Equazioni differenziali ordinarie

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1 Equaioni diffrniali ordinari Equaioni diffrniali ordinari Equaioni diffrniali dl ordin a variabili sparabili, Equaioni diffrniali linari dl ordin Equaioni diffrniali dl ordin non linari: Equaion di Brnoulli Equaion di Clairaut Problma di Cauh pr l q. diff. dl ordin in forma normal, Equaioni diffrniali linari a offiinti ostanti

2 Equaioni diffrniali ordinari di ordin n Dfiniion Sia I R si dfinis quaion diffrnial ordinaria di ordin n, un quaion in ui ompaiono la funion inognita, I, l su drivat fino all ordin n: g,,,,..., n 0 Con,,..., n n g funion ral. Equaioni diffrniali ordinari di ordin n S g è un polinomio in ui,,,..., grado, allora l quaion si di quaion diffrnial linar n sono di primo l ordin dll quaion è dato dall ordin massimo di drivaion h ompar

3 Equaioni diffrniali ordinari di ordin n è soluion dll quaion diffrnial di ordin n s, insim all su drivat soddisfa l quaion, ioè g,,,..., n 0, I Un'quaion diffrnial è in forma normal s è spliitata risptto alla drivata di ordin massimo: f,,,,..., n n altrimnti si di in forma non-normal, Equaioni diffrniali ordinari di ordin n Intgrar un'quaion diffrnial signifia trovar tutt l soluioni. L'insim dll soluioni di un'quaion diffrnial di ordin n dipnd da n paramtri rali: l ostanti,..., :, n,,,..., n INTEGRLE GENERLE Fissando i paramtri,,..., n si ottin una soluion partiolar dll'quaion diffrnial vin hiamata INTEGRLE PRTICOLRE. Nl aso di un q. diff. dl ordin: g,, 0, 3

4 Equaioni diffrniali ordinari di ordin n Nl aso di un q. diff. dl ordin: g,, 0 forma non normal f,, forma normal o spliita intgral gnral Equaioni diffrniali ordinari di ordin n NOT Non smpr ogni soluion dll'quaion diffrnial data è anh un intgral partiolar: i sono asi di quaioni diffrniali h ammttono anh INTEGRLI SINGOLRI, ioè intgrali non ottnibili pr nssun valor dlla ostant. 4

5 Equaioni diffrniali a variabili sparabili f g Con f g funioni ontinu s : g è soluion Equaioni diffrniali a variabili sparabili S g 0, si intgra: allora si divid l quaion pr g g f, ma d d, d g f d G F, ostant 5

6 Equaioni diffrniali a variabili sparabili Esmpio. Intgrar la sgunt quaion diffrnial g 0 d artg d tg Intgral gnral Equaioni diffrniali a variabili sparabili Esmpio. Risolvr 0 è soluion s 0: d d 0 Intgral gnral Intgral singolar 6

7 7 S b=0 allora si di omogna Equaioni diffrniali linari dl ordin b a on a b funioni ontinu in I. 0 a Torma Tutt l soluioni dll q. diff. linar dl ordin non omogna sono dat da Equaioni diffrniali linari dl ordin b a d b on primitiva di a

8 8 Dimostraion Sia una primitiva di a, ioè Moltipliando ntrambi i mmbri dll q. diff. pr il fattor si ha Equaioni diffrniali linari dl ordin a b a ioè b d d Intgrando mmbro a mmbro si ha Equaioni diffrniali linari dl ordin d b d b S b=0 allora

9 9 Esmpio Intgrar la sgunt quaion diffrnial Equaioni diffrniali linari dl ordin d, b a Intgral gnral Esrii Intgrar l sgunti quaioni diffrniali Equaioni diffrniali linari dl ordin 0 os artg

10 Equaioni diffrniali dl ordin non linari Equaion di Brnoulli a b, R, on 0, a, b funioni ontinu, α 0, altrimnti si riad nll q. linari. S α>0 allora =0 è una soluion: intgral singolar S è divrso da ro, si divid tutto pr α : α + a α = b Equaioni diffrniali dl ordin non linari Equaion di Brnoulli Posto: = α Si ha: = α α sostitundo nlla q. prdnt si ottin un quaion diffrnial linar dl primo ordin risptto a. + αa = αb 0

11 Equaioni diffrniali dl ordin non linari Esriio. Intgrar la sgunt q diff è soluion 0 0: s,, Eq diff. linar in d Quindi Equaioni diffrniali dl ordin non linari Ed ssndo si ha 0 Intgral gnral Intgral singolar

12 Equaioni diffrniali dl ordin non linari Esriio sn Equaioni diffrniali dl ordin non linari Equaion di Clairaut g on g funion drivabil. Si tratta di un quaion diffrnial dl primo ordin in forma non normal.

13 Equaioni diffrniali dl ordin non linari Equaion di Clairaut Drivando risptto a primo sondo mmbro dll q. diffrnial si ha: = + + g + g = 0 Equaioni diffrniali dl ordin non linari = 0 = sostitundo nll quaion diff. di partna i = + g ottngo una famiglia di rtt al variar di 3

14 Equaioni diffrniali dl ordin non linari Equaion di Clairaut + g = 0 Posto t = dalla prdnt si riava: ii t t = g t = tg t + gt Tal soluion è un INTEGRLE SINGOLRE d è l inviluppo dlla famiglia di rtt i Equaioni diffrniali dl ordin non linari Esriio 3 Si ha Equaion di Clairaut

15 Equaioni diffrniali dl ordin non linari si ottin da 0 famiglia di rtt 3 0 da ponndo t si ottin 3 t t t 4t Intgral singolar o urva inviluppo dl fasio di rtt Equaioni diffrniali dl ordin non linari Equaion di Clairaut sn La soluion è sn ost t ost snt fasio di rtt Intgral singolar o urva inviluppo dl fasio di rtt 5

16 Equaioni diffrniali dl ordin non linari Grafiamnt: 6