PRECORSO DI MATEMATICA EQUAZIONI ESPONENZIALI

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Leona Franceschini
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1 CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA APPLICATA PRECORSO DI MATEMATICA ESERCIZI SULLE EQUAZIONI ESPONENZIALI Esrcizio 1: Risolvr la sgunt quazion x+ = x+1. Svolgimnto: Dividndo il primo il scondo mmbro pr x+1 l quazion data si può riscrivr nlla forma x+ x+1 = 1 quindi com x+ x+ = 1. Allora si ha ( ) x+ = 1 ch quival a x + = 0, la cui unica soluzion è x =. Esrcizio : Risolvr la sgunt quazion 9 x = 6 + x. Svolgimnto: Poiché 9 =, l quazion data si può riscrivr nlla forma ( ) x x 6 = 0. Ponndo y = x, tal quazion divnta l cui soluzioni sono y = y =. Quindi l quazion data è quivalnt a L quazion y y 6 = 0, x = x =. x = non ha soluzioni, poiché la funzion sponnzial è smpr positiva, mntr x = 1

2 PRECORSO DI MATEMATICA ammtt com unica soluzion x = 1. Allora l quazion data ammtt com unica soluzion x = 1. Esrcizio : Risolvr la sgunt quazion x+ + x = 17. Svolgimnto: L quazion data ha snso solo s x 0. Inoltr si può scrivr nlla forma 4 x + 4 x = 17. Ponndo y = x si ottin 4y + 4 y = 17. Facndo il minimo comun multiplo tnndo conto dl fatto ch y 0 si ha 4y 17y + 4 = 0, ch ammtt com soluzioni y = 1/4 y = 4. Quindi l quazion data è quivalnt a x = 1 4 x = 4. Poiché 1/4 = l quazion x = 1 4 si può riscrivr com ch quival a x = x = ch non ammtt soluzioni rali ssndo x 0 < 0. L quazion x = 4 si può scrivr com ch quival a x = x =, la cui unica soluzion è x = 4. Allora l quazion data ammtt com unica soluzion x = 4. Esrcizio 4: Risolvr la sgunt quazion x 1 = 7 x+1. Svolgimnto: Entrambi i mmbri dll quazion sono positivi, quindi, pr risolvrla, si può passar ai logaritmi. Passando al logaritmo natural si ha log ( x 1) = log ( 7 x+1), da cui, usando l proprità di logaritmi, sgu ch (x 1) log = (x + 1) log 7. In qusto modo l quazion data è divntata un quazion algbrica: sommando i monomi simili si ottin x (log log 7) = log 7 + log,

3 PRECORSO DI MATEMATICA la cui unica soluzion è x = log 7 + log log log 7. Esrcizi: Risolvr l sgunti quazioni 1. x = 9 x. = 4 1 x = 8 x ( ) 1 x+1 = 1, a > 0 a x = 9 15/x 6. 5 x 4 5 x x 5 x = 0 7. x 4 1 x = x+1 1+x = 7 x 81 x 1 = 15 5 x x x + x+ 1 = 0 ( ) 1 x = x+1 x x x + = 11 4 x + x x 81 1 x = 8x 1 x 1 + x = 1 x x a 1 x = b a > 0, a 1, b ( x+1 ) x x 9 x = 1

4 4 PRECORSO DI MATEMATICA 17. x x+1 = x+1 x 4 x x + 7 x = 49 x+1/ + 49 x x+1 x 1 x = x 4 x = x 4 x 1. 5 x + 7 x = x = 4x 4x x x 9 = 0 4. x ( x+ ) x = 1 5. x 15 9 = 40 x 4 6. x+1 x 9 + x = 5 7. ( 9 x+1) x 1 x = x + x+1 = 1 4 x + x+ 1 x x 1 + x + 1 = 1 x x + x+1 8 = 0 ( ) 1. 5 x 5x 1 5 x = 5 x x + x = x + x. 8 9 x 1 + x = 0

5 4. 7 x +5 7 = 0 PRECORSO DI MATEMATICA x+1/ + x 1 5 x+1 = ( ) 5 x+1 + ( ) x 1 = x x x + = 0 8. x + x = a x a x a a x = 1, a > x 1 = 5 4 x x x + 4 = 0 4. a x+1 b x 1 a x = b x 6 a x+1, a, b > 0 4. ( x 16 x) ( + 169x 64 ) 8 = 0 x + x x = 0 x x + = x+1 + x 4 = x+ ( ) x = 7 x+1 x x 1 (x 1)(x+1) = x 1 9 x 5 x = x 5 x 8 9 x 1 + x = 0 x + 4 x x + x = 7 4

6 6 PRECORSO DI MATEMATICA 5. x+ 4 x ( x+1) 1/x = x (6 x)/x = 4 ( ( x)/x) x x = 5 1 x x+ + 7 x+ = x 1 x = /x = 1 (4 + 5 /x) x x + (7 x x ) + 7 x x + 1 = x 4 x 5 x + 15 = ( 1 ) x + ( + 1 ) x = Esrcizi: Risolvr i sgunti sistmi x + y = 0 x + 9 y = 6 a x+y = b a a x y b = b y+x x y x + y + x +y = 0 x y = 9 xy + 1 = 0 5 = 5y 5x x y = 4 x y = 1 16 a, b > 0

7 x : 49 +y = 1 a x+y : a x y = a a > 0 6 (x 1)y = xy y (x 1)y = 1 4 xy 1 4 = 0 x 4 y = 8 x 4 y = y = 7 x x x+1 6 x = 5 y 5x = y 7 x +y+ ( ) y + 1 = 0 ( ) y + 5 = 0 = x + y + = 1 9 x +y+ y + y x = 0 6 y x = 1 (7 y + ) ( 4 x+y 16 ) = 0 x y = 0 8 x 1 x = ( ) 1 y+ x+y x+y = 0 PRECORSO DI MATEMATICA 7 Esrcizi: Risolvr i sgunti srcizi

8 8 PRECORSO DI MATEMATICA 1. stabilir, motivando la risposta, s l quazion ammtt soluzioni rali; x = x + x 8. dtrminar pr quali valori di k R l quazion ( ) x k+1 1 x k = 0 ammtt du radici rali coincidnti;. dati gli insimi A = x R : x+ 1 = 0 B = x R : 7 x + = 1, dtrminar gli insimi A B A B ; 4. dat l proposizioni p(x) : x = 0 q(x) : 7 x 7 = 0, stabilir pr quali valori di x risulta falsa la proposizion p(x) q(x) vra la proposizion p(x) q(x) ; 5. dati gli insimi A = x R : 5x x = 71 x 7 x 5 B = x R : x x = 1, dtrminar gli insimi A B A B ; 6. dtrminar pr quali valori di k R l quazion k x + k x + k 1 = 0 ammtt du radici rali coincidnti; 7. dati gli insimi A = B = x R : x 1 = 0 x R : 4 x =, dtrminar gli insimi A B A B ;

9 8. stabilir, motivando la risposta, s l quazion 5 x = 1 x ammtt soluzioni rali; PRECORSO DI MATEMATICA 9 9. dat l proposizioni p(x) : x x + = 0 q(x) : 5 x = 1, stabilir pr quali valori di x risultano fals l proposizioni p(x) q(x), p(x) q(x) p(x) q(x) ; 10. dati gli insimi A = B = x R : 9 x+4 = x R : x = 1, dtrminar gli insimi A B A B.

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