Numeri Complessi. Perché i numeri complessi? PSfrag replacements

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1 Numeri Complessi Sono numeri del tipo = a + ib, dove a e b R, e i = 1 è detta unità immaginaria i R e i = i i i L insieme dei numeri complessi è indicato con C. a è detta parte reale del numero complesso b è detta parte immaginaria del numero complesso Se la parte immaginaria b di un numero complesso è nulla, allora R. O meglio: ogni numero reale è un numero complesso con parte immaginaria nulla. x R x C ovvero R C i 3.5i Tutti i numeri complessi con parte immaginaria nulla (b = = 0) stanno sull asse reale. a = a + 0i. Tutti i numeri complessi con parte reale nulla (a = = 0) stanno sull asse immaginario. ib = 0 + ib = bi. Tali numeri sono anche detti immaginari puri. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.1/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.3/41 placements L insieme C è anche chiamato piano complesso (o piano di Gauss) perché esiste una stretta analogia tra C ed il piano cartesiano R : y x P R y P P = (x P, y P ) x 0 + i0 b a C = a + ib Perché i numeri complessi? Per poter calcolare la radice quadrata di un numero negativo 1, 18,... Ma i numeri complessi non mi servono a misurare distane, tempi, pesi, fore,... Per poter descrivere e studiare piú facilmente la meccanica quantistica, i circuiti elettrici, i campi elettromagnetici, la trasmissione di segnali, la turbolena di un fluido,... Con i numeri complessi (e le operaioni definite su di essi) si semplifica molto la matematica che sta alla base dello studio di queste discipline. Lo ero di C è 0 + i0. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p./41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.4/41

2 Operaioni sui numeri complessi Somma: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (sommo tra loro le parti reali e le parti immaginarie) Es. (3 + i) + ( + i) = (3 ) + i( + 1) = 1 + i3 = 1 + 3i Sottraione (a + ib) (c + id) = (a c) + i(b d) (sottraggo tra loro le parti reali e le parti immaginarie) Es. (3 + i) ( + i) = (3 + ) + i( 1) = 5 + i Prodotto (a + ib) (c + id) = ac + ibc + iad + i bd = ac + ibc + iad + ( 1)bd = (ac bd) + i(bc + ad) Es. (3 + i) ( + i) = ( ) + i( 4 + 3) = 8 i Complesso coniugato e modulo Def. = a + ib C, il numero complesso = a ib è detto complesso coniugato di. b a b Def. = a + ib C, il numero reale := a + b è detto modulo di. Rappresenta la distana del numero complesso dallo ero complesso. ed il suo coniugato hanno lo stesso modulo, ovvero: =. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.5/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.7/41 Inverso di un numero complesso La divisione tra due numeri è il prodotto del primo per l inverso del secondo. a b = a 1 b Per fare la divisione tra due numeri complessi devo saper costruire l inverso 1, C, 0 + i0. Esempi: 1) = 3 i5, allora = 3 + i5, e = = = 34 = 3 + 5i 1 = 1 a + ib = 1 a + ib a ib a ib = Es. 1 3 i = 3 + i 13 a ib a i b = a ib a + b = 3 i5 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p./41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.8/41

3 immaginario puro Operaioni e complesso coniugato ) = i, allora = i, e = = 1,, C: 1 + = 1 + = i 1 = 1 1 = 1 = i 1 = () 1 + = (a + ib) + (a ib) = a = = (a + ib) (a ib) = ib = i Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.9/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.11/41 reale 3) =, allora =, e = = ( ) = = (a + ib) (a ib) = a + b = = = = = R Dimostraione: due numeri complessi 1 = a + ib e = c + id sono uguali se e solo se le parti reali sono uguali fra loro (a = c) e le parti immaginarie sono uguali fra loro (b = d). Se definisco = a + ib, = se e solo se a = a (sempre vero) e b = b (vero se e solo se b = = 0), ovvero R. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.10/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.1/41

4 Forma trigonometrica di C C è univocamente individuato mediante parametri: la sua parte realepsfrag = replacements a e sua parte immaginaria = b. b può essere individuato univocamente anche da altri due parametri: ρ = modulo di ϑ = arg() argomento di a ϑ ρ e ϑ sono dette anche coordinate polari del punto nel piano complesso. ρ Se si decide di scegliere ϑ ( π, π], si pone: ϑ = arctan(b/a) se a > 0 arctan(b/a) + π se a < 0, b 0 arctan(b/a) π se a < 0, b < 0 π/ se a = 0, b > 0 π/ se a = 0, b < 0 b a arg(0) = R, infatti = 0 = 0(cos ϑ + i sin ϑ), ϑ R. ϑ Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.13/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.15/41 Se conosco ρ e θ, allora a = ρ cos ϑ, b = ρ sin ϑ. b ϑ + kπ, k Z a Si ha: = a + ib = ρ cos ϑ + iρ sin ϑ = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) cartesiane polari 3 3 1) = + i1. = a =, = b = 1. b ϑ = π/ a Se conosco a e b, allora ρ = a + b e ϑ = arctan(b/a), (per la regola della trigonometria che lega gli elementi di un triangolo rettangolo) ma esistono infiniti angoli che individuano lo stesso numero complesso : ϑ, ϑ + π, ϑ + π, ϑ π,..., in genere ϑ + kπ, con k Z. Allora: ϑ = π e ρ = 3/4 + 1/4 = 1 ( ) ( 3 ) Con la regola: ϑ = arctan 1/ 3/ = arctan 3 = π Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.14/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.1/41

5 polari cartesiane ) ρ = e ϑ = π ( ( = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) = cos π ) ( + i sin π )) = (0 i) = i Formula di Eulero ( ) e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ ϑ R Confrontando la forma trigonometrica di un numero complesso = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) e la formula di Eulero e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ si ha = ρe iϑ detta forma esponeniale del numero complesso. ρ = a = 0 ϑ = π/ Oss. Per ϑ = π la formula di Eulero diventa: e iπ = cos π + i sin π = 1 e iπ + 1 = 0 b = Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.17/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.19/41 Esponeniale complesso C si vuole definire l esponeniale di, e C, in modo da rispettare le proprietà classiche delle potene. e è il numero di Eulero (a volte noto come numero di Nepero) e = a + ib C si definisce e := e (cos() + i sin()) = e a (cos b + i sin b) Esempi. e (3 i) = e 3 (cos( 1) + i sin( 1)) = e 3 (cos(1) i sin(1)) e = e (cos(0) + i sin(0)) e iπ = e 0 (cos(π) + i sin(π)) = 1(1 + i0) = 1 e iϑ = e 0 (cos(ϑ) + i sin(ϑ)) = cos(ϑ) + i sin(ϑ) Proprietà dell esponeniale in C Teorema. 1. e 1 e = e 1+ 1, C. e e = 1 3. e iϑ = cos ϑ + sin ϑ = 1 ϑ R 4. e = e = ρ 5. (e ) n = e n n Z. e +kπi = e k Z 7. e iϑ = e iϑ 8. e 0 C Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.18/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.0/41

6 Dimostraione di 3. e iϑ = cos ϑ + sin ϑ = 1, ϑ R Se considero = iϑ, si ha = 0 e = ϑ e: e iϑ = e = e (cos() + i sin()) = e 0 (cos(ϑ) + i sin(ϑ)) = cos(ϑ) + i sin(ϑ) Quindi e iϑ = cos(ϑ) + i sin(ϑ) = v C, v = cos(ϑ) e v = sin(ϑ). Quindi e iϑ = v = (v) + (v) = cos ϑ + sin ϑ = 1. Dimostraione di 4. e = e = ρ Per definiione di esponeniale di un numero complesso si ha: e = e (cos() + i sin()) = ρ(cos() + i sin()) Poichè cos() + i sin()) = cos(ϑ) + i sin(ϑ) = 1, il modulo di e è: e = ρ(cos() + i sin()) = ρ. Un numero complesso può essere espresso in una delle tre seguenti forme, tutte equivalenti fra di loro: = a + ib forma cartesiana = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) forma trigonometrica = ρe iϑ forma esponeniale A seconda del contesto in cui si lavora, si usa la forma piú adatta: per somma e sottraione: forma cartesiana per prodotto, divisione e potena: forma esponeniale. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.1/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.3/41 Dimostraione di. e +kπi = e k Z Operaioni con la forma esponeniale Per la proprietà 1.: e +kπi = e e kπi Quanto vale e kπi? e kπi = e 0 (cos(π) + i sin(π)) = 1(1 + 0) = 1 Quindi e +kπi = e 1 = e. La forma esponeniale dei numeri complessi è molto comoda per svolgere prodotti, divisioni e potene di numeri complessi. Siano 1 = ρ 1 e iϑ1 e = ρ e iϑ, si ha: 1 = ρ 1 ρ e i(ϑ1+ϑ) 1 = ρ 1 ρ e i(ϑ1 ϑ) ( 1 ) n = ρ n 1 e inϑ1 Es. Calcolare (1 + i). 1. si trasforma = 1 + i in forma trigonometrica e poi esponeniale. si calcola, utiliando la forma esponeniale 3. si trasforma il risultato nella forma cartesiana. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p./41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.4/41

7 Passo 1.: ( = a + ib = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) = ρe iϑ ) PSfrag = (1 + i) = ( replacements + i ) = = ( cos π 4 + i sin π 4 ) = e i π 4 = 1 + i ρ = ϑ = π/4 Passo 1.: (w = a + ib = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) = ρe iϑ ) w = 8 = 8 + 0i = 8( 1 + 0i) = 8 (cos π + i sin π) = 8e iπ w = 8 ρ = 8 ϑ = π Passo.: = (1 + i) = ( e i π 4 ) = ( ) e i 3 π = 8 e i 3 π Passo 3.: 8 e i 3 π = 8i. Quindi (1 + i) = 8i Passo.: w = 8e iπ = 3 e 3(iπ/3) = (e iπ/3 ) 3, quindi ho trovato una radice 0 = e iπ/3. Ora ricordo la proprietà e +kπi = e k Z : e iπ = e iπ+kπi. Se prendo k = 1, ho w = 8e iπ = 8e iπ+iπ = 8e i3π = 3 e 3(iπ) = (e iπ ) 3, quindi anche 1 = e iπ è una radice tera di w = 8. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.5/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.7/41 Radice n-sima di un numero complesso Dato w C e n N, vogliamo calcolare tutti i numeri C per cui vale n = w. Def. Diciamo che C è radice n-sima di w C se vale n = w. L obiettivo è calcolare le radici n sime di un numero complesso w assegnato o, equivalentemente, risolvere l equaione n w = 0. Es. Calcolare le radici tere di w = 8, ovvero risolvere l equaione = 0 in C. N.B. L equaione x = 0 in R ha una sola soluione reale: x =. Vedremo che l equaione = 0 in C ha 3 soluioni complesse. 1. Si trasforma w = 8 in forma esponeniale. Si calcolano le radici complesse 0, 1,..., n 3. Si trasformano i numeri trovati nella forma trigonometrica. Se prendo k =, ho w = 8e iπ = 8e iπ+4iπ = 8e i5π = 3 e 3(i5π/3) = (e i5π/3 ) 3, quindi anche = e i5π/3 è una radice tera di w = 8. Per k = 3, ottengo lo stesso risultato ottenuto con k = 0, per k = 1, ho lo stesso risultato ottenuto con k =, ecc. Le uniche radici distinte sono 3: 0 = e iπ/3, 1 = e iπ, = e i5π/3, 1 5π/3 r = 0 π/3 Passo 3.: 0 = e iπ/3 = 1 + 3i, 1 = e iπ =, = e i5π/3 = 1 3i Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p./41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.8/41

8 Formula generale Teorema. Ogni numero complesso non nullo w ha esattamente n radici complesse n-sime distinte, ovvero l equaione n = w ha n soluioni distinte complesse. Se w = ρe iϑ, le n radici n-sime di w hanno la forma: k = r e iϕk, Le radici seste dell unità sono: 0 = e iϕ0 = e i0 = 1, 1 = e iϕ1 = e iπ/3 = 1 + i 3 = e iϕ = e iπ/3 = 1 + i 3, 3 = e iϕ3 = e iπ = 1 4 = e iϕ4 = e i4π/3 = 1 i 3, 5 = e iϕ5 = e i5π/3 = 1 i 3 dove r = n ρ e ϕ k = ϑ + kπ, con k = 0, 1,..., n 1. n w w 1 π 3 Osservaione. Le radici n-sime di w sono i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferena di centro 0 e raggio r. Ogni radice è ottenuta dalla precedente incrementando l argomento ϕ k di un angolo π/n. w 3 w 4 w 5 w 0 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.9/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.31/41 Eserciio. Calcolare le radici complesse seste dell unità. Si ha w = 1, n =. Devo calcolare n = numeri complessi 0, 1,..., 5 della forma k = r e iϕ k, con r = ρ e ϕ k = ϑ + kπ, con k = 0, 1,..., 5. Passo 1. Individuo ρ e ϑ: w = 1 = ρe i 0, quindi ρ = 1 e ϑ = 0 Passo. Calcolo: r = ρ = 1 Passo3. Calcolo gli angoli ϕ k, con k = 0,..., 5 ϕ 0 = π ϕ = 0 + π ϕ 4 = π = 0, ϕ 1 = π = π 3, ϕ 3 = π = 4π 3, ϕ 5 = π = π 3, = π, = 5π 3. Riferimento bibliografico: Canuto Tabacco, cap.8, pag Esercii: 1) n.1, 13, 14, 15, 1, 18, 19. del cap. 8. Canuto-Tabacco. ) tutti gli esercii che ci sono nei temi d esame assegnati in precedena e che richiedono di determinare il luogo geometrico (o l insieme) degli C che soddisfano una certa condiione. Esempio tratto dall appello del 13/09/04: Determinare il luogo geometrico degli C tali che [ i 3] ( i) = 0 3) tutti gli esercii che ci sono nei temi d esame assegnati in precedena e che richiedono il calcolo di radici di un numero complesso. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.30/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.3/41

9 Polinomi in campo complesso Consideriamo una funione p : C C. Def. Si dice che p è polinomio se si può scrivere p() = a n n + a n 1 n a 1 + a 0, dove a 0, a 1,..., a n sono numeri complessi assegnati detti coefficienti del polinomio. Se a n 0, allora si dice che il polinomio è di grado n. Es. p() = (3 + i) 3 i +. Questo polinomio ha grado n = 3 e i coefficienti sono: a 3 = 3 + i, a = i, a 1 = 0, a 0 = Def. Si chiama radice di p ogni numero complesso w tale che p(w) = 0. Es. p() = 7 + (1 7i), w = i è una radice di p(). Infatti, andando a sostituire = i nel polinomio e facendo i conti si ha: p( i) = ( i) 7( i) + (1 7i) = 1 + 7i + 1 7i = 0 Teorema (fondamentale dell algebra). Ogni polinomio di grado n ha esattamente n radici complesse w j (j = 1,..., n) e si può decomporre nel prodotto di n binomi del tipo ( w j ). Si ha p() = a n ( w 1 )( w )... ( w n ). Oss. Le radici del polinomio possono essere non tutte distinte. Raggruppiamo le radici in modo da identificare fra loro quelle uguali, chiamiamo molteplicità di una radice il numero di volte per cui quella radice si ripete (la indichiamo con µ j ), siano d le radici distinte (d n), allora si ha µ µ d = n. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.33/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.35/41 Proposiione. (Principio di identità dei polinomi) Due polinomi p() e q() sono uguali se e solo se sono uguali i coefficienti delle potene omologhe dei due. Es. p() = (3 + i) 3 i + e q() = (3 + i) 3 + non sono uguali. Infatti a = i per p, mentre a = 1 per q. Teorema. Sia p un polinomio di grado n e sia w una sua radice. Allora esiste un unico polinomio q di grado n 1 tale che p() = ( w)q(), C. Es. So che w = i è radice di p() = 7 + (1 + 7i), allora riesco a scrivere p() = q()( i), con q di grado n = 1. In particolare ho q() = (7 i). Es. + 1 = ( i)( + i). w 1 = i, w = i. Ho radici distinte semplici (ovvero con molteplicità 1); = 3 ( + 1) = ( i) ( + i). w 1 = w = w 3 = 0, w 4 = i, w 5 = i. Ho tre radici distinte, la prima di molteplicità 3, le altre due semplici. La somma delle molteplicità è = 5 = n (=grado del polinomio). Proposiione. Si consideri un polinomio p() con coefficienti a i R. Se w è una radice (non reale), anche w è una radice, con la stessa molteplicità. Inoltre, se il grado del polinomio è dispari, vi è almeno una radice reale. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.34/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.3/41

10 OSSERVAZIONI 1. 3 = 4 (ovvero 3 4 = 0) NON è una equaione di tipo polinomiale (in un polinomio compaiono solo potene di, qui invece c è anche un modulo).. In una equaione di tipo non polinomiale si contano le radici distinte (ovvero sena la molteplicità). Quindi l equaione 3 = 4 ha 4 radici (distinte). Osservaioni su sin e cos Considero la formula di Eulero: e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ, con ϑ R. Riscrivo la formula con ϑ al posto di ϑ: e iϑ = cos( ϑ) + i sin( ϑ) = cos ϑ i sin ϑ y sin ϑ P ϑ cos ϑ x ϑ cos( ϑ) = cos ϑ, sin( ϑ) = sin ϑ. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.37/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.39/41 3. Cosa rappresenta A = { C : (1 i) = }? è la distana di da 0. (1 i) è la distana di da (1 i). cements 1 i i 1 i (1 i) Sommo le due formule: e iϑ + e iϑ = cos ϑ, ovvero cos ϑ = eiϑ + e iϑ Sottraggo le due formule: e iϑ e iϑ = i sin ϑ, ovvero sin ϑ = eiϑ e iϑ i Sin e Cos in campo complesso Si estendono le formule date prima per ϑ R ad un qualsiasi C. Diventano le definiioni di sin e cos su una variabile complessa. A è l insieme dei punti la cui distana da (1 i) è uguale a, ovvero è la circonferena dei punti C di centro C = (1 i) e raggio r =. cos := ei + e i sin := ei e i i Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.38/41 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.40/41

11 Riferimento bibliografico Per le funioni composte: Canuto-Tabacco, Se..5, pag Per il piano cartesiano: Canuto-Tabacco, se. 1.5, pag. -4. Per i numeri complessi: Canuto-Tabacco, se. 8.3, pag Esercii: 1) (funioni) n. 1 e n. 10 del cap. del libro Canuto-Tabacco. ) (n. complessi) n. 1 e n. 14 del cap. 8 del libro Canuto-Tabacco. Eserciio 3. Sapendo che una delle radici del polinomio p() = , ( C) è w 1 = 1 + i, calcolare le altre radici di p(). Eserciio 4. Risolvere l equaione = 4, con C. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 00/007 - p.41/41