Esercizi di Geometria e Algebra Lineare

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1 Esercizi di Geometria e Algebra Lineare 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}) 2) Nello spazio vettoriale R 3 sul campo R, sia A = a, b, c, d} R 3, dove a = (1, 2, 3), b = (6, 0, 7), c = (8, 4, 13), d = (32, 4, 41) Trovare una base e la dimensione di Span(A) 3) Stabilire se i sottoinsiemi W 1 = (x, y, z, t) R 4 : x + y z t = 0} W 2 = (x, y, z, t) R 4 : x y z + t = 0, x + 2t = 1} sono sottospazi vettoriali di R 4 In caso affermativo determinarne una base e la dimensione 4) Calcolare la dimensione del sottospazio vettoriale di R 4 W = Span((1, 0, 0, 2), (0, 3, 4, 2), (2, 3, 4, 2), (3, 6, 8, 2)) 5) Provare che i sottoinsiemi di R 4 W 1 = (x, y, z, t) R 4 : x + y z t = 0 } W 2 = (x, y, z, t) R 4 : x y z + t = 0 } sono sottospazi vettoriali di R 4 Determinare basi e dimensioni di W 1, W 2, W 1 W 2 e W 1 + W 2 6) Nello spazio vettoriale M(2; R) delle matrici quadrate di ordine 2 su R, si considerino i sottospazi vettoriali ( ) } x y W 1 = M(2; R) : x + t = y = 0 z t ( ) } x y W 2 = M(2; R) : x + 2y = t = 0 z t Determinare basi e dimensioni di W 1, W 2, W 1 W 2 e W 1 + W 2 7) Nello spazio vettoriale M(2; R) delle matrici quadrate di ordine 2 su R, si considerino i sottospazi vettoriali ( ) } x y W 1 = M(2; R) : x + 2t = 0, y + 4t = 0 z t W 2 = Span(A, B, C) 1

2 dove A = ( ) 2 4, B = 0 1 ( ) ( ) , C = Determinare basi e dimensioni di W 1, W 2, W 1 W 2 e W 1 + W 2 8) Nello spazio vettoriale M(2; R) delle matrici quadrate di ordine 2 su R, si considerino i sottospazi vettoriali ( ) } x y W 1 = M(2; R) : x + t = 0, y = 0 z t dove A = W 2 = Span(A, B, C, D) ( ) ( ) , B =, C = ( ) 4 1, D = 0 4 Determinare basi e dimensioni di W 1, W 2, W 1 W 2 e W 1 + W 2 ( ) ) Nello spazio vettoriale R 4 si considerino i sottospazi vettoriali W 1 = (x, y, z, t) R 4 : x = 2z, y = t } dove W 2 = Span(a, b, c) a = (2, 0, 1, 0), b = (6, 5, 3, 5), c = (10, 5, 5, 5) Determinare basi e dimensioni di W 1, W 2, W 1 W 2 e W 1 + W 2 10) Provare che l insieme W = A M(3; R) : A + t A = 0} è un sottospazio vettoriale di M(3; R) Trovare una base e la dimensione di W ( ) x y 11) Determinare la matrice tale che z t ( ) ( ) 1 2 x y = 5 12 z t ( )

3 12) Date le matrici A = B = determinare una matrice X M(3; R) tale che AX = B ) Data la matrice A = 1 0 1, calcolare A 2 A 2I ) Determinare tutte le matrici A M(3; R) tali che AB = BA, dove B = Provare che l insieme di queste matrici costituisce un sottospazio vettoriale di M(3; R) e calcolarne la dimensione 15) Risolvere con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan i seguenti sistemi lineari: x + 2y 2z + 3t = 1 x + 3y 2z + 3t = 0 I) 2x + 4y 3z + 6t = 4 x + y z + 4t = 6 z + 2t = 3 II) 2x + 4y 2z = 4 2x + 4y z + 2t = 7 3x + 4y z 3t = 2 x + y z 2t = 0 III) x y + z + 4t = 2 x y z + t = 0 16) Sia f : R 3 R 3 l applicazione definita da a) Provare che f è lineare f((x, y, z)) = (2x + y, x + 2y, z) 3

4 b) Determinare basi e dimensioni di ker f e di Im f c) Determinare la matrice A associata ad f rispetto le basi canoniche 17) Sia ϕ : M(2; R) R 2 l applicazione lineare definita da (( )) x y ϕ = (t x, z + y) z t a) Trovare basi e dimensioni di ker ϕ e Im ϕ b) Determinare la matrice A associata a ϕ rispetto alle basi ordinate (( ) ( ) ( ) ( )) B =,,, e B = ((1, 0), (1, 2)) 18) Data l applicazione lineare ϕ: R 3 R 2 definita da ϕ((x, y, z)) = (x y z, x + 2z), determinare a) basi e dimensioni di ker ϕ e Im ϕ; b) la matrice associata a ϕ rispetto alle basi canoniche di R 3 e R 2 ; c) la matrice associata a ϕ rispetto alla base B = ((1, 1, 0), (0, 2, 0), (0, 1, 1)) di R 3 e alla base B = (( 1, 1), (2, 1)) di R 2 19) Determinare le equazioni dell applicazione lineare f : R 2 R 4 avente come matrice associata 1 3 A = rispetto la base B = ((1, 3), ( 2, 8)) di R 2 e la base B = ((1, 1, 0, 0), (1, 2, 0, 3), ( 1, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 5)) di R 4 ( ) ) Determinare l applicazione lineare ϕ: R 3 R 2 avente A = come matrice associata rispetto alle basi B = ((1, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 1, 0)) di R 3 e B = ((2, 5), (0, 3)) di R 2 Determinare inoltre a) basi e dimensioni di ker ϕ e Imϕ; b) la matrice associata a ϕ rispetto alle basi canoniche; c) la matrice associata a ϕ rispetto alle base B 1 = (1, 0, 3), (0, 1, 2), (1, 0, 0)) di R 3 e alla base canonica di R 2 ; d) la matrice associata a ϕ rispetto alla base canonica di R 3 e alla base B 1 = ((1, 1), (2, 5)) di R2 ; e) la matrice associata a ϕ rispetto alle basi B 1 e B 1 dei punti precedenti 4

5 ) Determinare l applicazione lineare ϕ: R 4 R 3 avente A = come matrice associata rispetto alla base canonica di R 4 e alla base B = ((4, 2, 1), (3, 0, 1), (2, 0, 0)) di R 3 22) Determinare il rango e il segno della permutazione ( ) p = ) Calcolare i determinanti delle seguenti matrici ( ) A = B = C = D = ) Calcolare il determinante della matrice A M(4; C) i 2 3 i A = 2 3i i i 1 i ) Calcolare le inverse delle seguenti matrici A = B = C = D =

6 26) Stabilire per quali valori del parametro reale λ esiste la matrice inversa della matrice λ 1 0 A(λ) = 0 λ ) Stabilire se i seguenti sistemi lineari sono di Cramer e, in caso affermativo, risolverli: x + y 2z + 3t = 1 2x y + 5t = 1 I) x 2y + z + t = 4 2x + y + z + t = 1 x + y 2z + 3t = 0 2x y + 5t = 0 II) x 2y + z + t = 0 2x + y + z + t = 0 x + y 2z = 1 III) 2x + 2y z = 1 x + 3y 3z = 0 28) Calcolare il rango della matrice A = ) Calcolare, al variare del parametro reale α, il rango della matrice 2 α 3 8 A = α ) Calcolare, al variare del parametro reale β, il rango della matrice 1 2β 1 1 A = β 3 1 6

7 31) Calcolare il rango della seguente matrice dipendente dal parametro reale k: k A = 5 k k k k k ) Nello spazio vettoriale R 4 sul campo R si consideri il sottospazio vettoriale U k = Span(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) dove u 1 = (1, 0, 0, k), u 2 = (0, 1, 1, k), u 3 = (k, 1, 0, 1), u 4 = (1, 1 + k, 0, 1), u 5 = (1, 0, 1, 0), k R (a) Calcolare la dimensione di U k al variare di k (b) Dato il vettore u = (1, k, k 1, 1), stabilire per quali valori di k il vettore u appartiene a U k 33) Discutere e, nei casi possibili, risolvere i seguenti sistemi lineari, al variare del parametro reale a: ax + y z = a ax + y + z + t = a x + az = 1 2x + ay + 3z at = 0 2x + 2y + z = a 1 ax + 3y + 3(a 2)z = a 2x + ay = 2 3x + 2y + 4z = a y 2z = a (a 2)x + (a 2)y + z = 1 ay z + 3t = 2 34) Discutere, al variare del parametro reale λ, i seguenti sistemi lineari λx + 3y + z = 0 2x + λy + λz = 1 (I) x λy z = λ 1 (II) λx + 2y + λz = 1 x + 2λy + z = λ λx + λy + 2z = 1 35) Discutere, al variare del parametro reale λ, i seguenti sistemi lineari x + λy z = 0 2λx + y + z + t = 1 2x + y = 1 (I) x y + t = λ 1 (II) 3x + y z = 1 4λx + 5y + 3z + t = 3 2x + (2λ + 1)y = 1 7

8 36) Stabilire se le matrici reali A = 1 2 0, B = sono diagonalizzabili per similitudine 37) Stabilire se le matrici A = B = sono diagonalizzabili per similitudine In caso affermativo trovare le matrici di trasformazione 38) Stabilire se la matrice A = M(4; K) é diagonalizzabile per similitudine quando K = R oppure K = C 39) Nello spazio vettoriale R 3 sul campo R, si consideri il prodotto scalare (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = x 1 y 1 +x 2 y 1 +x 1 y 2 +2x 2 y 2 +2x 3 y 2 +2x 2 y 3 +5x 3 y 3 (a) Rispetto al prodotto scalare considerato, la base canonica di R 3 è ortogonale? È ortonormale? (b) Stabilire se i vettori a = (1, 1, 0) e b = ( 1, 2, 1) costituiscono una base ortogonale per il sottospazio U = Span(a, b) 40) Siano P 1 (3, 2), P 2 (1, 1) e P 3 (5, 1) tre vertici consecutivi di un parallelogramma del piano euclideo E 2 Trovare: (a) le equazioni dei lati del parallelogramma; (b) il quarto vertice P 4 ; (c) le equazioni delle diagonali e il loro punto di intersezione 41) Data la retta r di equazione x + 2y + 3 = 0, trovare (a) la retta s perpendicolare a r e passante per P (0, 1); (b) la retta t parallela a r e passante per Q (1, 0); 8

9 (c) il punto B appartenente a r tale che l area del triangolo ABC sia 28, con A ( 3, 0) e C = s t 42) Nel piano euclideo E 2 si considerino le rette r) x + 3y + 1 = 0, r ) 3x + 4y 2 = 0 Nel fascio di rette da esse individuato determinare: (a) le equazioni delle rette parallele agli assi coordinati; (b) l equazione della retta parallela alla retta t) 3x y + 3 = 0; (c) l equazione della retta perpendicolare alla retta p) 4x 3y + 1 = 0; (d) le equazioni delle rette aventi distanza 1 dall origine O del riferimento 43) Trovare le equazioni cartesiane della retta dello spazio euclideo E 3 (a) contenente i punti A (1, 0, 1) e B (1, 2, 3); x + y + 2 = 0 (b) contenente il punto A (1, 0, 1) e parallela alla retta r x y z + 3 = 0 (c) contenente il punto A (1, 0, 1) e perpendicolare al piano σ) x + 2y 3z + 5 = 0 ; 44) Trovare il piano dello spazio euclideo E 3 (a) contenente i punti A (1, 2, 0), B (0, 0, 3) e C (2, 0, 1); (b) contenente il punto A (1, 2, 0) e parallelo al piano σ) 2x 3y +7z 3 = 0; x y + 7 = 0 (c) contenente il punto A (1, 2, 0) e perpendicolare alla retta r x + y + z 3 = 0 x + y z + 3 = 0 (d) contenente il punto A (1, 2, 0) e la retta s 2x z 5 = 0 45) Nello spazio euclideo E 3 si considerino le due rette 2x + y z = 2 2x + 2y = 2 r s x + 2z = 1 y 2z = 2 ; (a) Stabilire la posizione di r e s (b) Calcolare la distanza tra r e s (c) Scrivere le equazioni della retta t passante per P (1, 0, 0) e ortogonale a r e a s 46) È data, nello spazio euclideo E 3, la retta s passante per il punto A ( 1, 3, 0) ed avente coefficienti direttori (1, 2, 2) 9

10 (a) Stabilire, al variare del parametro reale λ, la mutua posizione tra s e la retta λx 2y + (λ 1)z + 7 = 0 r λ : 2x y + (λ 2)z 2 = 0 (b) Determinare, se esistono, i valori del parametro λ tali che s ed r λ siano tra loro ortogonali 47) Nello spazio euclideo E 3 si considerino le rette r(α) e s(α) al variare di α R (3 α)x 3y + 5z = 3 α 3y + 2z = α r(α) s(α) x + y + 3z = 1 (1 α)x 2y + (1 + α)z = 1 α (a) Studiare la posizione delle due rette al variare di α (b) Nei casi in cui r(α) e s(α) sono distinte e complanari, scrivere l equazione del piano che le contiene 48) Studiare, al variare del parametro reale λ la mutua posizione della retta 3(λ 2)x + 3y + λz = λ r(λ) x + 2y + 2z = λ 1 e del piano π(λ) di equazione x+(λ 2)y +(λ 2)z = 1 dello spazio euclideo E 3 Posto λ = 4, determinare (a) il piano contenente r e ortogonale a π; (b) il piano contenente r e parallelo a π 49) Nello spazio euclideo E 3, si considerino i piani π 1 ) x + y z = 0 π 2 ) x y 2z = 1 (a) Si determini il piano π 3, parallelo al piano α) 4x 6z 3 = 0 ed appartenente al fascio F individuato da π 1 e π 2 (b) Si calcoli la distanza dall origine del riferimento dalla retta r, asse del fascio F 50) Nello spazio euclideo E 3 si considerino i punti A (1, 0, 0) e B (1, 0, 1) e la retta r) x + 2 = y = z 1 (a) Scrivere l equazione del piano α passante per A e per B e parallelo ad r (b) Determinare i punti C della retta r che formano con A e B un triangolo di area 3/2 10

11 51) Nello spazio euclideo E 3 si considerino le rette x + y = 2 y = z + 2 r : s : x y = 2z x y = z (a) Stabilire la posizione di r e s (b) Detti R e S i punti di intersezione di r e s rispettivamente con i piani coordinati xz e xy, determinare il volume del tetraedro OP RS, con O (0, 0, 0) e P (1, 1, 1) 11

12 1) c / Span(a, b}); d Span(a, b}) Soluzioni 2) dim(span(a)) = 2; una base è B = a, b} 3) dim W 1 = 3, una base di W 1 è (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)} W 2 non è un sottospazio vettoriale 4) dim W = 2 5) dim W 1 = 3, una base di W 1 è (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)}; dim W 2 = 3, una base di W 2 è (1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1)}; dim(w 1 W 2 ) = 2, una base di W 1 W 2 è (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}; dim(w 1 + W 2 ) = 4, quindi W 1 + W 2 = R 4 ( ) ( )} ) dim W 1 = 2, una base di W 1 è, ; dim W = 2, ( ) ( )} una base di W 2 è, ; dim(w W 2 ) = 1, una base ( )} 0 0 di W 1 W 2 è ; dim(w W 2 ) = 3, una base di W 1 + W 2 è ( ) ( ) ( )} ,, ( ) ( )} ) dim W 1 = 2, una base di W 1 è, ; dim W = 2, ( ) ( )} una base di W 2 è, ; dim(w W 2 ) = 1, una base di ( )} 2 4 W 1 W 2 è ; dim(w W 2 ) = 3, una base di W 1 + W 2 è ( ) ( ) ( )} ,, ) dim W 1 = 2, una base di W 1 è ( ) 1 0, 0 1 ( )} 0 0 ; dim W = 3, una ( base di )} W 2 è A, B, C}; dim(w 1 W 2 ) = 1, una base di W 1 W è ; dim(w W 2 ) = 4, una base di W 1 + W 2 è ( ) ( ) ( ) ( )} ,,, ) dim W 1 = 2, una base di W 1 è (2, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}; dim W 2 = 2, una base di W 2 è a, b}; W 1 = W 2 ; W 1 W 2 = W 1 = W 2, dim(w 1 W 2 ) = 2; W 1 + W 2 = W 1 = W 2, dim(w 1 + W 2 ) = 2 12

13 ) dim W = 3; una base è 1 0 0, 0 0 0, ( ) ) 5/2 1/ ) X = ) A 2 A 2I 3 = a b c 14) W = A = 0 a b : a, b, c R ; dim W = a 15) (1, 1, 2, 2) ; 2 soluzioni; (1, 0, 1, 0) 16) Ker f = (0, 0, 0)}, Im f = R 3, quindi f è iniettiva e suriettiva; A = ) dim Ker ϕ = 2; una base di Ker ϕ è ( ) 1 0, 0 1 e Im ϕ = R 2, quindi ϕ è suriettiva e non iniettiva A = ( )} 0 1 ; dim Im ϕ = ( 1/2 0 5/2 3/2 1/2 1 1/2 3/2 18) (a) dim(ker ( ϕ) = 1, una ) base ( di ker ϕ è ) (2, 3, 1)}; dim(imϕ) = 2, Imϕ = R 2 ; (b) ; (c) ( ) 34x + 2y 47x + 11y 2x 4y 73x + 41y 19) f(x, y) =,,, ( ) 20) ϕ((x, y, z)) = 2x+2y+4z 3, 11x+2y+22z 3 ; (a) dim(ker ϕ) = 1, una base ( ) 2/3 2/3 4/3 di ker ϕ è (2, 0, 1)}; dim(imϕ) = 2, Imϕ = R 2 ; (b) ; 11/3 2/3 22/3 ( ) ( ) ( ) 10/3 2 2/3 32/21 2/3 64/21 160/21 38/7 32/21 (c) ; (d) ; (e) 55/ /3 3/7 0 6/7 15/7 12/7 3/7 21) ϕ((x, y, z, t)) = (6x + 9y + 12z + 22t, 2x + 4y + 6z + 8t, x + 3y + 3z + 6t) ) 13

14 22) ν(p) = 3, sgn(p) = 1 23) det(a) = 11, det(b) = 15, det(c) = 38, det(d) = 12 24) det(a) = 4 25) vedi libro C Bignardi-B Ruini-F Spaggiari, Esercizi di Algebra Lineare, Pitagora Ed, p154 26) Esiste l inversa per ogni λ R \ 1} 27) (-14/5,13/5,54/25,46/25); (0,0,0,0); (1/2,-1/6,-1/3) (vedi libro Esercizi di Algebra Lineare, p 155) 28) ν(a) = 3 29) ν(a) = 2 per α = 1 e α = 15; ν(a) = 3 per α R \ 1, 15} 30) ν(a) = 2 per β = 1; ν(a) = 3 per β R \ 1} 31) ν(a) = 3 per ogni k R 32) dim U k = 3 se k = 1; dim U k = 4 per ogni k R \ 1} Il vettore u appartiene a U k per ogni k R 33) Primo sistema: impossibile a R \ 0}; sistema determinato (di Cramer) per a = 0 con soluzione (1, 0, 0) Secondo sistema: determinato a R \ 1, 19/4}; possibile con 2 soluzioni per a = 1; impossibile per a = 19/4 Terzo sistema: determinato a R \ 3, 4}; impossibile per a = 3 e per a = 4 34) (I) Sistema impossibile per λ = 0 e λ = 1; sistema determinato per λ R \ 0, 1} (II) Sistema determinato per λ R \ 1, 2}, impossibile per λ = 1 e sistema possibile con 2 soluzioni per λ = 2 35) (I) Sistema possibile con 2 soluzioni per λ = 1; sistema possibile con 1 soluzioni per λ R \ 1} (II) Sistema determinato per λ R \ 0}; sistema possibile con 1 soluzioni per λ = ) La matrice A é simile alla matrice diagonale D = ; la matrice B non é diagonalizzabile per similitudine 37) A non é diagonalizzabile per similitudine B è simile alla matrice diagonale D = (si veda libro Esercizi di Algebra Lineare, pp , 300) 14

15 38) La matrice A non é diagonalizzabile per similitudine per K = R; é simile alla matrice diagonale D = i 0 per K = C i 39) La base canonica non è ortogonale (e quindi neanche ortonormale) rispetto al prodotto scalare considerato I vettori a e b formano una base ortogonale per il sottospazio U 40) (a)p 1 P 2 : x 2y + 1 = 0; P 2 P 3 : x + 2y 3 = 0; P 1 P 4 : x + 2y 7 = 0; P 3 P 4 : x 2y 7 = 0 (b) P 4 (7, 0) (c) 3x + 2y 13 = 0; x + 6y 7 = 0; (4,1/2) 41) (a) 2x y+1 = 0 (b) x+2y 1 = 0 (c) B 1 ( 31, 14), B 2 (25, 14) 42) (a) y + 1 = 0; x 2 = 0 (b) 3x y 7 = 0 (c) 3x + 4y 2 = 0 (d) y + 1 = 0; 4x + 3y 5 = 0 x 1 = 0 x + y 1 = 0 2x y 2 = 0 43) (a) (b) (c) y z + 1 = 0 x y z = 0 3x + z 4 = 0 44) (a) x + y z 3 = 0 (b) 2x 3y + 7z + 4 = 0 (c) x + y 2z 3 = 0 (d) 5x + y 3z 7 = 0 45) (a) rette sghembe (b) d = 2 2x z 2 = 0 (c) t) 5 y = 0 46) (a) rette sghembe λ R \ 2, 23/2}, parallele e distinte per λ = 2, incidenti per λ = 23/2 (b) 7/2, -1 47) (a) rette sghembe α R \ 0, 13}, coincidenti per α = 0, incidenti per α = 13 (b) 6x + y 7z 6 = 0 48) La retta e il piano sono incidenti in un punto λ R \ 3, 4}, la retta è contenuta nel piano per λ = 3, la retta e il piano sono paralleli e disgiunti per λ = 4 (a) 34x 13y 4z + 24 = 0 (b) x + 2y + 2z 3 = 0 49) (a) 2x 3z + 1 = 0 (b) 21/98 50) (a) x y = 1 (b) C 1 ( 2, 0, 1); C 2 (1, 3, 4) 51) (a) rette sghembe (b) Volume=2/3 15