Esame di GEOMETRIA 27 giugno ore 11

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1 Esame di GEOMETRIA 27 giugno ore 11 Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande degli esercizi della seconda parte nelle pagine bianche alla fine di ogni esercizio. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q7 a b c d Q2 a b c d Q8 a b c d Q3 a b c d Q9 a b c d Q4 a b c d Q10 a b c d Q5 a b c d Q11 a b c d Q6 a b c d Q12 a b c d Non scrivere in questo spazio I II

2 PRIMA PARTE (QUIZ) Q1. Nello spazio sia data la superficie sferica S di equazione x 2 + y 2 + z 2 + 4x + 2y + 2z = 0. (a) La distanza di O= (0, 0, 0) dal centro di S è uguale al raggio di S. (b) ( 2, 1, 1) S ; (c) Il centro di S ha distanza 1 dal punto (0, 0, 2); (d) Il centro di S è (2, 1, 1). Q2. Sia data la matrice A = (a) La matrice A è invertibile; (b) Il rango di A è 1; (c) Lo spazio delle righe di A ha dimensione 2; (d) det(a) =det(a 1 ) Q3. Si consideri la matrice A := (a) La prima, la seconda e la terza riga sono linearmente indipendenti; (b) Due colonne distinte qualsiasi di A formano una base dello spazio delle colonne; (c) Esistono matrici tali che il sistema lineare AX = abbia una sola soluzione; (d) Il sistema lineare AX = 0 non ha soluzioni. Q4. Sono date le matrici A R m,n (dove m n) e R m,1 ; si supponga che il sistema AX = abbia una soluzione unica (a) Il rango di A è n; (b) La matrice A è invertibile; (c) Deve essere m < n; (d) Il rango di A è m x Q5. Si consideri l applicazione lineare f: R 3 R 4 definita da y A z (a) f è suriettiva; (b) Il nucleo ker(f) ha dimensione 2; (c) f è iniettiva; (d) L immagine Im(f) ha dimensione 2. x + y + z x + y + z 2x y + z 4x 2y + 2z 1 C A. Q6. Sia data una matrice simmetrica A R 4,4 avente (t 2) 2 (t 5) 2 come polinomio caratteristico. (a) A potrebbe non essere diagonalizzabile, perché possiede autovalori doppi e non si conoscono le dimensioni dei relativi autospazi; (b) La matrice A possiede due autospazi ciascuno di dimensione 2; (c) La matrice A non è invertibile; (d) Non esiste nessuna matrice P R 4,4 tale che det(p A) = 1. 2

3 Q7. Siano V e W due sottospazi di R 4, e sia V di dimensione 3. (a) Se dim(w ) = 3, allora dim(w V ) 1; (b) Se dim(w ) = 1 allora dim(w V ) = 0; (c) Esiste un sottospazio W R 4 tale che dim(v + W ) = 4; (d) Per ogni sottospazio W R 4 l insieme V W contiene infiniti vettori. Q8. Sia V lo spazio vettoriale dei vettori applicati in O; si considerino in V i vettori: (a) u e w formano un angolo ottuso; (b) u, v, w formano una base di V ; (c) u è ortogonale a v + w; (d) u, v, w sono complanari. u = 3 ı + j 4 k, v = 4 ı + 5 k, w = ı + 2 j 3 k. Q9. In un riferimento affine dello spazio E 3 sia data la quadrica α : x 2 + y 2 z 2 = 1. (a) Il piano tangente ad α nel punto (1, 0, 0) è il piano coordinato xy; (b) α è un cono quadrico; (c) α è una sfera di raggio 1 e centro l origine; (d) L intersezione di α con il piano coordinato yz è un iperbole. Q10. Nello spazio sia data la curva C di equazione γ(t) = (t + 1, 2π + t, t 2 3). (a) Il punto (0, π, 2) appartiene a C ; (b) C è contenuta in un piano parallelo all asse delle z; (c) La retta tangente a C nel punto (2, 2π + 1, 2) è parallela a ı + 2 k; (d) C non è regolare. Q11. Sia data la funzione di due variabili reali f(x, y) = x 2 3xy. Sia (0,0) f il vettore gradiente di f calcolato in (0, 0). La derivata direzionale di f in O=(0, 0) lungo la direzione del vettore v = ( 2/2, 2/2 ) : f(t, t) (a) coincide con il limite lim ; t 0 t (b) coincide con il prodotto scalare tra il vettore v e il vettore (0,0) f ; (c) coincide con (0,0) f ; (d) non esiste. Q12. Sia data la funzione di due variabili reali f(x, y) = 1. Sia D il dominio di f. x2 +y 2 1 (a) D è un insieme chiuso; (b) D è un insieme aperto limitato; (c) D è un insieme aperto illimitato; (d) D è un insieme chiuso e limitato. 3

4 Esercizio 1. E dato il sistema SECONDA PARTE (ESERCIZI) 3y + z = 0 2x + 3y 3z = 0 hx + 8z = 0 (i) Discutere le soluzioni del sistema al variare di h R. (ii) Posto h = 4, trovare una base dello spazio delle soluzioni. (iii) Si considerino i piani α : 3y + z = 0 β : 2x + 3y 3z = 0 γ : hx + 8z = 0 Senza fare ulteriori calcoli (ma sfruttando i risultati ottenuti in precedenza), discutere, al variare di h R, le posizione relative dei tre piani e trovarne gli eventuali punti comuni. Svolgimento dell esercizio 1: 4

5 Esercizio 2. Sia data l applicazione lineare f: R 3 R 3 definita da f x y = 3x 2y + 2z. z 2y + 2z (i) Determinare la matrice A R 3,3 di f rispetto alla base canonica di R 3 ; (ii) Provare che f è semplice; (iii) Dire se esistono valori di k R per cui k k k sia autovettore di f ; (iv) Determinare D, P R 3,3, con D diagonale e P ortogonale, tali che P 1 AP = D. (v) (*) (facoltativo) Provare che A 3 è diagonalizzabile e trovare una matrice diagonale simile ad A 3. Svolgimento dell esercizio 2: 5

6 Esercizio 3. Sia data la funzione f(x, y) = 1 x 1 16 y2 + xy. (i) Sia A=(1, 2). Dire se l applicazione d A (f) : R 2 R (il differenziale di f in A) è suriettiva. ii) Trovare i punti (x, y) R 2 che appartengono al nucleo di d A (f) e rappresentarli sul piano (O, x, y). (iii) Determinare gli eventuali punti di stazionarietà di f e precisarne la natura. (iv) (*) (facoltativo) Si consideri ora la funzione g(x, y) = log(f(x, y)). Senza fare ulteriori calcoli, ma sfruttando quanto fatto in precedenza, dire se g(x, y) ha punti di stazionarietà, e, in caso affermativo, precisarne la natura. Svolgimento dell esercizio 3: 6