Esonero di MATEMATICA DISCRETA,

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1 Esonero di MATEMATICA DISCRETA, Dimostrare A (B C) (A) (A C) a) Con le tavole di verità ABC B C A (B C) A A C (A) (A C) Non c è nessuna interpretazione in cui la premessa sia vera e la formula da dimostrare falsa, e quindi per completezza tale formula è dimostrabile dalla premessa. b) Con la deduzione naturale A (B C) premessa A A A B A (B C) B C C A C (A) (A C) assunz. per (A) (A C) assunz. per A C import import export per -intro A C export per -intro c) Si può dire immediatamente se viceversa (A) (A C) A (B C)?

2 Si, basta guardare la tavola di verità per vedere che sono equivalenti. 2. Dimostrare, tenendo presente che x non compare libera in B (attenti alle parentesi!) a) Con la deduzione naturale premessa premessa xa(x) assunz. per A(t) assunz. per A(t) assunz. per xa(x) -intro import import B B A(t) export per -intro B export dalla -intro export per -intro Da osservare che B si può esportare poiché non dipende da c, e che la -intro si può fare perché t non è libera nella premessa. b) Con le tavole semantiche () ( ) xa(x)

3 xa(x) B B c) e sono equivalenti? equivale a ( xa(x)) B equivale a x ( A(x)) B equivale a x ( A(x) B) [x non è libera in B] equivale a 3. a. Scrivere come formula della logica dei predicati la frase gli studenti che superano algebra e analisi si iscrivono al III anno, quelli che superano algebra ma non analisi al II anno, e quelli che non superano algebra al I anno, supponendo che ogni studente si iscrive ad uno e un solo anno [usa cinque predicati unari: superare algebra, superare analisi, iscriversi al I anno, iscriversi al II anno, iscriversi al III anno ]. Indichiamo con Al(_), An(_), I(_), II(_), III(_) i cinque predicati unari

4 Supponendo che ogni studente si iscrive ad uno e un solo anno, la frase diventa x [III(x) (Al(x) An(x))] [II(x) (Al(x) An(x)) ] [I(x) Al(x)]. Senza la supposizione i diventano. b. Dai una rappresentazione insiemistica del problema. Hai a che fare con delle partizioni? La rappresentazione insiemistica rispetto al superamento degli esami è: Al An A B C D II III I Che può essere considerata una partizione in 4 insiemi A, B, C, D, ove A è l estensione di Al(x) An(x), B l estensione di Al(x) An(x), C l estensione di An(x) Al(x), D l estensione di (Al(x) An(x)). Da questa partizione si ricava quella per gli anni di iscrizione A = II, B = III, C D = I nella supposizione che ogni studente si iscrive ad uno e un solo anno (in caso contrario le estensioni sono quelle tratteggiate). c. Gli studenti che hanno superato un solo esame sono 40, gli esami superati in totale sono 52, in 30 hanno superato algebra, gli iscritti al I anno sono 30. Quanti studenti non hanno superato alcun esame? A + C = 40, A + C + 2 B = 52, A + B = 30. Da cui B = 6, A = 24, C = 16. Nella supposizione che ogni studente si iscrive ad uno e un solo anno C + D = 30, da cui D =14. d. Come cambia il problema se gli studenti possono anche non iscriversi a nessun anno? Non si può calcolare quanti studenti si sono iscritti a II e III anno e quanti non abbiano superato alcun esame, ma il loro numero è, rispetto al caso

5 precedente, minore o uguale per II e III, maggiore o uguale per coloro che non hanno superato alcun esame. 4. Quando un problema si dice decidibile? E semidecidibile? La dimostrabilità di una formula da certi assiomi (general theorem prover) è un problema decidibile per la logica delle proposizioni? E per la logica dei predicati? Un problema si dice decidibile se esiste un algoritmo che lo risolve e che si ferma sempre sia per risposte positive che negative, semidecidibile se per le risposte negative può andare in loop. La dimostrabilità è decidibile per la logica delle proposizioni (tramite le tavole di verità), semidecidibile per la logica dei predicati (tramite le tavole semantiche o la risoluzione).