In una palazzina abitata da 20 famiglie, 10 di esse hanno il cane, 2 non hanno n è cane n è gatto mentre 12 famiglie hanno il gatto.

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1 Attività In una palazzina abitata da 20 famiglie, 10 di esse hanno il cane, 2 non hanno n è cane n è gatto mentre 12 famiglie hanno il gatto. È possibile che si realizzi la situazione descritta? Motiviamo...

2 Attività In una palazzina abitata da 20 famiglie, 10 di esse hanno il cane, 2 non hanno n è cane n è gatto mentre 12 famiglie hanno il gatto. È possibile che si realizzi la situazione descritta? Motiviamo...

3 Quante famiglie hanno entrambi gli animali? Come potresti rappresentare graficamente la situazione descritta per renderla maggiormente comprensibile?

4 Quante famiglie hanno entrambi gli animali? Come potresti rappresentare graficamente la situazione descritta per renderla maggiormente comprensibile?

5 Rispondi alle seguenti domande: Cos è per te un insieme? Fai un esempio di insieme Per esercizio prova a cercare su qualche libro di scuola primaria o secondaria come viene descritto tale concetto.

6 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Obiettivi di apprendimento: Relazioni, dati e previsioni 6T, 7T, 8T, 10Q. Ecco i termini primitivi della teoria degli insiemi: - insieme che indicheremo con A,B,C... - elemento che indicheremo con a,b,c... - appartenenza che indicheremo con il simbolo.

7 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Assiomi: 1. Esiste un insieme. 2. Dato un insieme A ed un elemento x, o x appartiene ad A, oppure x non appartiene ad A: x A x / A 3. Gli elementi di un insieme sono distinti.

10 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Osservazioni: L ultimo assioma ci dice che se in un insieme due elementi si ripetono, basta scriverli una volta sola. Dagli assiomi 2 e 3 possiamo affermare che un insieme è definito dai suoi elementi e quindi per descrivere un insieme basta elencarne i suoi elementi.

11 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Osservazioni: L ultimo assioma ci dice che se in un insieme due elementi si ripetono, basta scriverli una volta sola. Dagli assiomi 2 e 3 possiamo affermare che un insieme è definito dai suoi elementi e quindi per descrivere un insieme basta elencarne i suoi elementi.

12 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme Rappresentazione di un insieme Sono possibili due rappresentazioni per un insieme: 1.Rappresentazione per elencazione. Si elencano gli elementi dell insieme racchiudendoli fra parentesi graffe e separandoli con la virgola. Esempio A = {1, 2, 3, 4} B = {a, e, i, o, u}.

13 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme Se gli elementi sono molti o in numero infinito si lasciano dei puntini di sospensione che lasciano intuire quali altri elementi siano lasciati sottintesi. Esempio A = {2, 4, 6, 8,... } B = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... }.

14 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme 2.Rappresentazione tramite i Diagrammi di Eulero-Venn Si rappresenta una linea chiusa e semplice all interno della quale si posizionano dei punti in corrispondenza di ogni elemento dell insieme: Se gli elementi dell insieme sono molti, si colora l intera superficie interna alla linea chiusa:

15 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme Scheda scuola primaria... Osservazioni?

16 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme Scheda scuola primaria... Osservazioni?

17 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme Definizione Chiamiamo insieme vuoto l insieme privo di elementi e lo indichiamo con il simbolo. = {}

18 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme Scheda scuola primaria...

19 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme Definizione Diciamo che due insiemi A e B sono uguali se: ogni elemento di A è elemento di B e ogni elemento di B è elemento di A. Scriveremo quindi A = B.

20 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme Esempi 1. Gli insiemi A = {3, 5, 7, 2} e B = {5, 2, 7, 3} hanno gli stessi elementi, quindi A = B. L ordine di elencazione degli elementi non è rilevante. 2. Gli insiemi A = {3, 5} e B = {{3}, {5}} non hanno gli stessi elementi, infatti gli elementi di B sono degli insiemi, mentre gli elementi di A sono dei numeri. Avremo quindi A B. 3. { } infatti prima del simbolo di uguale c è un insieme privo di elementi, mentre dopo l uguale c è un insieme con un elemento che è proprio l insieme vuoto.

23 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme Definizione Diciamo che un insieme A è sottoinsieme di B se ogni elemento di A è anche elemento di B. Scriveremo quindi A B. Attraverso i grafici di Eulero-Venn:

26 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme Osservazioni: 1. Quella rappresentata non è l unica opzione possibile, infatti, come caso particolare di sottoinsiemi potremmo avere A = B. 2. Se A = {2, 3} e B = {5, 3} non c è alcuna inclusione fra gli insiemi dati, quindi possiamo scrivere A B ma anche B A

27 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme Osservazioni: 1. Quella rappresentata non è l unica opzione possibile, infatti, come caso particolare di sottoinsiemi potremmo avere A = B. 2. Se A = {2, 3} e B = {5, 3} non c è alcuna inclusione fra gli insiemi dati, quindi possiamo scrivere A B ma anche B A

28 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme Osservazioni: 1. Ogni insieme A è sottoinsieme di se stesso. 2. Se A B B A, allora A = B. Vale anche il viceversa. 3. L insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.

31 Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi Rappresentazione di un insieme Definizione Diciamo che un insieme A è sottoinsieme proprio di B se ogni elemento di A è anche elemento di B e B è diverso da A. Scriveremo quindi A B.

32 3.3 Logica dei predicati 3.3 Logica dei predicati E se non ho a che fare con proposizioni logiche? 1. x è un numero pari 2. x + y = 3 3. x < 3 4. x è una città della Lombardia Come fare per stabilire il valore di verità delle frasi in elenco?

35 3.3 Logica dei predicati Definizione Dato un insieme U diciamo che p(x) con x U è un enunciato aperto o predicato ad una variabile x se è una frase che contiene la x e che diventa una proposizione logica per ogni valore assunto dalla x in U. L insieme U è detto dominio. La scrittura p(x) si legge p di x.

36 3.3 Logica dei predicati Definizione Dato p(x) enunciato aperto con x U, si dice che V è l insieme di verità per p(x) se è l insieme formato da tutti gli elementi di U che rendono vera p(x) ed indicheremo con V = {x U : p(x)}. Per come è stato definito si avrà che V U.

37 3.3 Logica dei predicati Esempio Individuare qual è l insieme di verità dell enunciato aperto p(x) = x è un nome da maschio all interno del dominio U = {Luca, Angela, Simone, Lia, Lara}. Sarà V = {x U : p(x)} = {Luca, Simone}.

38 3.3 Logica dei predicati Esempio Individuare qual è l insieme di verità dell enunciato aperto p(x) = x è un nome da maschio all interno del dominio U = {Luca, Angela, Simone, Lia, Lara}. Sarà V = {x U : p(x)} = {Luca, Simone}.

39 3.3 Logica dei predicati Esercizio Individuare l enunciato aperto e scriverlo a parole. Indicare qual è il dominio e qual è l insieme di verità.

40 3.3 Logica dei predicati Attività L insegnante delimita due zone della palestra, l una con una corda verde e l altra con una corda rossa... Ho le calze tutte bianche Indosso gli occhiali da vista Ho tre occhi Osservazioni sul gioco... Variante: primo/ultimo inventa il nuovo Enunciato aperto

41 3.3 Logica dei predicati Attività L insegnante delimita due zone della palestra, l una con una corda verde e l altra con una corda rossa... Ho le calze tutte bianche Indosso gli occhiali da vista Ho tre occhi Osservazioni sul gioco... Variante: primo/ultimo inventa il nuovo Enunciato aperto

42 3.3 Logica dei predicati Definizione Diciamo che un enunciato aperto è valido se l insieme di verità coincide con il dominio. Esempio L enunciato aperto p(x) = x è un numero pari all interno del dominio U = {2, 4, 6, 8, 14, 18} è valido.

43 3.3 Logica dei predicati Definizione Diciamo che un enunciato aperto è valido se l insieme di verità coincide con il dominio. Esempio L enunciato aperto p(x) = x è un numero pari all interno del dominio U = {2, 4, 6, 8, 14, 18} è valido.

44 3.3 Logica dei predicati Definizione Diciamo che un enunciato aperto p(x) è equivalente a q(x) con x U se l insieme di verità di p(x) è uguale a quello di q(x). Esempio Consideriamo: p(x) = x è una città della Lombardia q(x) = x è una parola che inzia con la lettera B all interno del dominio U = {Lecce, Brescia, Roma, Padova, Bergamo}. Prendiamo i relativi insiemi di verità: {x U : p(x)} = {Bergamo, Brescia} {x U : q(x)} = {Bergamo, Brescia}, quindi p(x) e q(x) sono equivalenti su U.

45 3.3 Logica dei predicati Definizione Diciamo che un enunciato aperto p(x) è equivalente a q(x) con x U se l insieme di verità di p(x) è uguale a quello di q(x). Esempio Consideriamo: p(x) = x è una città della Lombardia q(x) = x è una parola che inzia con la lettera B all interno del dominio U = {Lecce, Brescia, Roma, Padova, Bergamo}. Prendiamo i relativi insiemi di verità: {x U : p(x)} = {Bergamo, Brescia} {x U : q(x)} = {Bergamo, Brescia}, quindi p(x) e q(x) sono equivalenti su U.

46 3.3 Logica dei predicati Osservazioni: Per stabilire insieme di verità e validità di un enunciato aperto così come l equivalenza fra piú enunciati aperti è necessario assegnare il dominio. È possibile legare fra loro gli enunciati aperti con i connettivi logici ottenendo degli enunciati composti. Per stabilire l insieme di verità dell enunciato aperto composto s(x) per un x 1 U si sostituisce x 1 in ciascuno degli enunciati che compongono s(x) e si utilizzano le regole del calcolo proposizionale già descritte.

47 3.3 Logica dei predicati Osservazioni: Per stabilire insieme di verità e validità di un enunciato aperto così come l equivalenza fra piú enunciati aperti è necessario assegnare il dominio. È possibile legare fra loro gli enunciati aperti con i connettivi logici ottenendo degli enunciati composti. Per stabilire l insieme di verità dell enunciato aperto composto s(x) per un x 1 U si sostituisce x 1 in ciascuno degli enunciati che compongono s(x) e si utilizzano le regole del calcolo proposizionale già descritte.

48 3.3 Logica dei predicati Esempio In U = {Lecce, Brescia, Roma, Bari, Padova, Milano, Bergamo} consideriamo: p(x) = x è una città della Lombardia q(x) = x è una parola che inzia con la lettera B. Prendiamo i relativi insiemi di verità: V 1 = {x U : p(x)} = {Bergamo, Brescia, Milano} V 2 = {x U : q(x)} = {Bergamo, Brescia, Bari}, Consideriamo p(x) q(x). V 1 V 2 = {x U : p(x) q(x)} = {Bergamo, Brescia, Milano, Bari}. Se consideriamo invece : p(x) q(x) abbiamo: V 1 V 2 = {x U : p(x) q(x)} = {Bergamo, Brescia}.

53 3.3 Logica dei predicati Osservazioni: In matematica ci sono dei simboli che nascondono degli enunciati aperti composti. In U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} consideriamo x 4 che significa x < 4 x = 4 x 4 che significa x > 4 x = 4 2 < x 4 che significa x > 2 (x < 4 x = 4)

54 3.3 Logica dei predicati I quantificatori I quantificatori Esaminiamo le seguenti affermazioni: esiste almeno un pesce rosso; alcuni uomini hanno i baffi non rasati; tutti gli animali hanno due zampe; ogni tavolo è alto 1m. Riusciamo a dire se sono vere o false?

55 3.3 Logica dei predicati I quantificatori I quantificatori Esaminiamo le seguenti affermazioni: esiste almeno un pesce rosso; alcuni uomini hanno i baffi non rasati; tutti gli animali hanno due zampe; ogni tavolo è alto 1m. Riusciamo a dire se sono vere o false?

56 3.3 Logica dei predicati I quantificatori I QUANTIFICATORI quantificatore universale che significa per ogni, tutti, ciascuno,... e si indica con quantificatore esistenziale che significa esiste almeno un,... e si indica con.

57 3.3 Logica dei predicati I quantificatori La notazione: In simboli matematici x U : p(x) x U : p(x) Traduzione Per ogni x appartenente a U vale p(x) esiste un x appartenente a U per cui vale p(x)

58 3.3 Logica dei predicati I quantificatori Scheda scuola primaria...

59 3.3 Logica dei predicati I quantificatori Osservazioni: Nel linguaggio comune il termine alcuni significa Non tutti gli oggetti di cui si sta parlando verificano una certa proprietà, mentre in matematica alcuni significa che almeno un oggetto verifica la proprietà mentre non ci si preoccupa se gli altri la verifichino o meno. In alcune affermazioni non è esplicito il quantificatore utilizzato ma si capisce dal contesto. Ad esempio se si afferma 16 è il quadrato di un numero o Il quadrato di un numero pari è un numero pari la parola un nel primo caso è sostitutiva del quantificatore esistenziale, mentre nel secondo caso di quello universale.

60 3.3 Logica dei predicati I quantificatori Esempio In U = {tappo di sughero, sasso, gomma, pallina di polistirolo} siano: p(x) = x galleggia sull acqua, quindi x U : p(x) si legge ogni oggetto appartenente ad U galleggia sull acqua p(x) = x galleggia sull acqua, quindi x U : p(x) si legge esiste almeno un oggetto appartenente ad U che galleggia sull acqua Determinare il valore di verità delle proposizioni logiche soprastanti.

61 3.3 Logica dei predicati I quantificatori Esempio In U = {tappo di sughero, sasso, gomma, pallina di polistirolo} siano: p(x) = x galleggia sull acqua, quindi x U : p(x) si legge ogni oggetto appartenente ad U galleggia sull acqua p(x) = x galleggia sull acqua, quindi x U : p(x) si legge esiste almeno un oggetto appartenente ad U che galleggia sull acqua Determinare il valore di verità delle proposizioni logiche soprastanti.

62 3.3 Logica dei predicati I quantificatori NEGAZIONE DEI QUANTIFICATORI Resta valida la definizione di negazione della logica delle proposizioni per cui: negando una proposizione falsa se ne ottiene una vera negando una proposizione vera se ne ottiene una falsa.

63 3.3 Logica dei predicati I quantificatori Esercizio Negare la proposizione p(x): Tutte le rose sono rosse. - Stabiliamo il valore di verità di p(x) FALSA - azzardiamo qualche ipotesi e stabiliamo il valore di verità delle proposizioni ottenute Quali fra queste potrebbero essere la negazione? - Non è vero che tutte le rose sono rosse VERA - Tutte le rose sono non rosse FALSA - Nessuna rosa è rossa FALSA - Esiste una rosa che è non rossa VERA Le negazioni di p(x) possono quindi essere la prima o l ultima.

68 3.3 Logica dei predicati I quantificatori Esercizio Negare la proposizione p(x): Esiste un numero naturale che è pari. - Stabiliamo il valore di verità di p(x) VERA - azzardiamo qualche ipotesi e stabiliamo il valore di verità delle proposizioni ottenute Quali fra queste potrebbero essere la negazione? - Non è vero che esiste un numero naturale pari - Tutti i numeri naturali sono non pari - Nessun numero naturale è pari - Ogni numero naturale è non pari - Esiste un numero naturale che non è pari La negazione di p(x) puó essere una delle prime quattro. L ultima invece, essendo VERA non puó essere la negazione di p(x).

73 3.3 Logica dei predicati I quantificatori Come osservato nei due esercizi delle slide precedenti, si puó generalizzare: TEOREMA Preso un enunciato aperto p(x) con x U le seguenti proposizioni logiche sono equiveridiche: [ x U : p(x)] equivale a x U : p(x) [ x U : p(x)] equivale a x U : p(x).

74 3.3 Logica dei predicati I quantificatori Come osservato nei due esercizi delle slide precedenti, si puó generalizzare: TEOREMA Preso un enunciato aperto p(x) con x U le seguenti proposizioni logiche sono equiveridiche: [ x U : p(x)] equivale a x U : p(x) [ x U : p(x)] equivale a x U : p(x).

75 3.3 Logica dei predicati I quantificatori Attività: OSSERVA IL QUADRO (Escher) Altra proposta: dai dipinti di Bosch...

76 3.4 Logica e insiemi 3.4 Logica e insiemi Con gli enunciati aperti riusciamo ad introdurre un nuovo tipo di rappresentazione per gli insiemi che sono sottoinsiemi di un insieme dato che chiameremo U. Rappresentazione di un sottoinsime A di U tramite proprietà caratteristica Si indica qual è l insime U, qual è la proprietà caratteristica p(x) che devono soddisfare gli elementi di A e poi A = {x U : p(x)}

77 3.4 Logica e insiemi 3.4 Logica e insiemi Con gli enunciati aperti riusciamo ad introdurre un nuovo tipo di rappresentazione per gli insiemi che sono sottoinsiemi di un insieme dato che chiameremo U. Rappresentazione di un sottoinsime A di U tramite proprietà caratteristica Si indica qual è l insime U, qual è la proprietà caratteristica p(x) che devono soddisfare gli elementi di A e poi A = {x U : p(x)}

78 3.4 Logica e insiemi Osservazioni: 1. A coincide con l insieme di verità dell enunciato aperto p(x). 2. Due insiemi descritti da proprietà caratteristiche diverse possono risultare comunque equivalenti. L equivalenza fra insiemi infatti si basa sull avere gli stessi elementi.

79 3.4 Logica e insiemi Esempio Consideriamo l insieme dei numeri pari P = {0, 2, 4, 6, 8, 10,... } e l insieme A = {x P : x e multiplo di 4}. Avremo che A = {0, 4, 8,... }. Consideriamo l insieme dei numeri naturali N = {0, 1, 2, 3, 4,... } e l insieme B = {x N : x < 3 x > 6}. Avremo che B = {0, 1, 2, 7, 8,... }.

80 3.4 Logica e insiemi Sottoinsiemi notevoli di U Sottoinsiemi notevoli di U Insieme complementare di A Definizione Sia A U, diciamo che il complementare di A rispetto ad U è formato da tutti gli elementi di U che non appartengono ad A. Indicheremo tale insieme con C U (A) = {x U : x / A}.

81 3.4 Logica e insiemi Sottoinsiemi notevoli di U Osservazione: Se A è descritto da proprietà caratteristica, allora A = {x U : p(x)}, diciamo che il complementare di A rispetto ad U è formato da tutti gli elementi di U che rendono falsa p(x). In simboli possiamo scrivere quindi C u (A) = {x U : p(x)} Esempio Dato U = {gatto, cane, squalo} e A = {squalo}, si avrà che C U (A) = {gatto, cane}

82 3.4 Logica e insiemi Sottoinsiemi notevoli di U Osservazione: Se A è descritto da proprietà caratteristica, allora A = {x U : p(x)}, diciamo che il complementare di A rispetto ad U è formato da tutti gli elementi di U che rendono falsa p(x). In simboli possiamo scrivere quindi C u (A) = {x U : p(x)} Esempio Dato U = {gatto, cane, squalo} e A = {squalo}, si avrà che C U (A) = {gatto, cane}

83 3.4 Logica e insiemi Sottoinsiemi notevoli di U Insieme intersezione di A con B Definizione Siano A U e B U, diciamo che l l intersezione di A con B è formata da tutti gli elementi di U che appartengono sia ad A che a B. Indicheremo tale insieme con A B = {x U : x A x B}.

84 3.4 Logica e insiemi Sottoinsiemi notevoli di U Osservazione: Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora A = {x U : p(x)} e B = {x U : q(x)}, diciamo che l intersezione di A con B è formato da tutti gli elementi di U che rendono vera sia p(x) che q(x). In simboli possiamo scrivere quindi A B = {x U : p(x) q(x)} Definizione Presi A U e B U e verificato che A B =, si dice che A e B sono disgiunti. Esempio Dato A = {gatto, cane, squalo, siluro} e B = {squalo, siluro, branzino}, si avrà che A B = {squalo, siluro}

87 3.4 Logica e insiemi Sottoinsiemi notevoli di U Insieme unione di A con B Definizione Siano A U e B U, diciamo che l l unione di A con B è formata da tutti gli elementi di U che appartengono ad A o che appartengono a B. Indicheremo tale insieme con A B = {x U : x A x B}.

88 3.4 Logica e insiemi Sottoinsiemi notevoli di U Osservazione: Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora A = {x U : p(x)} e B = {x U : q(x)}, diciamo che l unione di A con B è formata da tutti gli elementi di U che rendono vera p(x) o q(x). In simboli possiamo scrivere quindi A B = {x U : p(x) q(x)} Esempio Dato A = {gatto, cane, squalo, siluro} e B = {squalo, siluro, branzino}, si avrà che A B = {gatto, cane, squalo, siluro, branzino}

89 3.4 Logica e insiemi Sottoinsiemi notevoli di U Osservazione: Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora A = {x U : p(x)} e B = {x U : q(x)}, diciamo che l unione di A con B è formata da tutti gli elementi di U che rendono vera p(x) o q(x). In simboli possiamo scrivere quindi A B = {x U : p(x) q(x)} Esempio Dato A = {gatto, cane, squalo, siluro} e B = {squalo, siluro, branzino}, si avrà che A B = {gatto, cane, squalo, siluro, branzino}

90 3.4 Logica e insiemi Sottoinsiemi notevoli di U Insieme differenza di A con B Definizione Siano A U e B U, diciamo che l insieme differenza di A con B è formato da tutti gli elementi di U che appartengono ad A e non appartengono a B. Indicheremo tale insieme con A \ B = A B = {x U : x A x / B}.

91 3.4 Logica e insiemi Sottoinsiemi notevoli di U Osservazioni: Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora A = {x U : p(x)} e B = {x U : q(x)}, diciamo che la differnza di A con B è formata da tutti gli elementi di U che rendono vera p(x) e che rendono falsa q(x). In simboli possiamo scrivere quindi A B = {x U : p(x) q(x)} A B è sottoinsieme sia di A che di B, che di U A B è sottoinsieme di U A B è sottoinsieme di A e di U

96 3.4 Logica e insiemi Sottoinsiemi notevoli di U Esempio Dato A = {gatto, cane, squalo, siluro} e B = {squalo, siluro, branzino}, si avrà che A \ B = {gatto, cane} e B \ A = {branzino}

97 3.5 Due nuovi insiemi: l insieme potenza e il prodotto cartesiano 3.5 Due nuovi insiemi: l insieme potenza e il prodotto cartesiano Definizione L INSIEME POTENZA Dato un insieme A e presi tutti i suoi sottoinsiemi, si chiama insieme potenza di A l insieme che ha come elementi tutti i sottoinsiemi di A. L insieme potenza di A si indica con P(A) = {X : X A}. Esempio A P(A) num. elementi di P(A) { } 1 {2} {, {2}} 2 {2, 5} {, {2}, {5}, {2, 5}} 4 {a, b, c} {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {c, b}, {a, b, c}} 8

98 3.5 Due nuovi insiemi: l insieme potenza e il prodotto cartesiano 3.5 Due nuovi insiemi: l insieme potenza e il prodotto cartesiano Definizione L INSIEME POTENZA Dato un insieme A e presi tutti i suoi sottoinsiemi, si chiama insieme potenza di A l insieme che ha come elementi tutti i sottoinsiemi di A. L insieme potenza di A si indica con P(A) = {X : X A}. Esempio A P(A) num. elementi di P(A) { } 1 {2} {, {2}} 2 {2, 5} {, {2}, {5}, {2, 5}} 4 {a, b, c} {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {c, b}, {a, b, c}} 8

99 3.5 Due nuovi insiemi: l insieme potenza e il prodotto cartesiano Osservazioni: Qualsiasi sia l insieme A, abbiamo che: 1. P(A) 2. A P(A). 3. Se l insieme A ha n elementi, allora l insieme P(A) ha 2 n elementi.

100 3.5 Due nuovi insiemi: l insieme potenza e il prodotto cartesiano IL PRODOTTO CARTESIANO Definizione Dato un insieme A e un insieme B non vuoti, sia a un qualunque elemento di A e b un qualunque elemento di B. Chiamiamo coppia ordinata (a, b) un qualsiasi abbinamento di elemento di A con un qualsiasi elemento di B. L elemento di A occuperà la prima posizione mentre l elemento di B occuperà la seconda posizione. Definizione Due coppie ordinate (a, b) e (c, d) con a, c A e b, d B sono uguali se a = c b = d

101 3.5 Due nuovi insiemi: l insieme potenza e il prodotto cartesiano IL PRODOTTO CARTESIANO Definizione Dato un insieme A e un insieme B non vuoti, sia a un qualunque elemento di A e b un qualunque elemento di B. Chiamiamo coppia ordinata (a, b) un qualsiasi abbinamento di elemento di A con un qualsiasi elemento di B. L elemento di A occuperà la prima posizione mentre l elemento di B occuperà la seconda posizione. Definizione Due coppie ordinate (a, b) e (c, d) con a, c A e b, d B sono uguali se a = c b = d

102 3.5 Due nuovi insiemi: l insieme potenza e il prodotto cartesiano Osservazioni: 1. Notiamo che (a, b) {a, b}, infatti la prima è una coppia con primo elemento in A e secondo elemento in B, mentre la seconda scrittura è un insieme con elementi a e b. Nella prima scrittura l ordine è rilevante, mentre nella seconda non lo è. 2. Se a b, allora (a, b) (b, a)

103 3.5 Due nuovi insiemi: l insieme potenza e il prodotto cartesiano Osservazioni: 1. Notiamo che (a, b) {a, b}, infatti la prima è una coppia con primo elemento in A e secondo elemento in B, mentre la seconda scrittura è un insieme con elementi a e b. Nella prima scrittura l ordine è rilevante, mentre nella seconda non lo è. 2. Se a b, allora (a, b) (b, a)

104 3.5 Due nuovi insiemi: l insieme potenza e il prodotto cartesiano Definizione Dato un insieme A e un insieme B, si chiama prodotto cartesiano di A con B l insieme che ha come elementi tutte le coppie ordinate aventi il primo elemento appartenente ad A e il secondo elemento appartenente a B. L insieme prodotto cartesiano si indica con A B = {x : x = (a, b) a A b B}.

105 3.5 Due nuovi insiemi: l insieme potenza e il prodotto cartesiano Esempio Dati A = {Camilla, Lia, Sara} e B = {Luca, Carlo} costruiamo: A B = {Camilla, Luca), (Camilla, Carlo), (Lia, Luca), (Lia, Carlo), (Sara, Luca), (Sara, Carlo)} B A = {(Luca, Camilla), (Luca, Lia), (Luca, Sara), (Carlo, Camilla), (Carlo, Lia), (Carlo, Sara)} B B = {Luca, Luca), (Luca, Carlo), (Carlo, Luca), (Carlo, Carlo)}

108 3.5 Due nuovi insiemi: l insieme potenza e il prodotto cartesiano Osservazioni: Dati due insiemi A e B avremo che: 1. Se A B allora A B B A 2. Se A ha n elementi e B ha m elementi allora A B ha n m elementi. 3. A B = se e solo se A = B =.