Insiemi e sottoinsiemi

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1 Insiemi e sottoinsiemi DEFINIZIONE. Per insieme matematico si intende un raggruppamento di elementi che possono essere definiti con assoluta certezza. Gli insiemi matematici vengono indicati con una lettera maiuscola dell alfabeto: A B C D ESEMPIO A L insieme A degli utensili da lavoro. Area 2 - Capitolo 1 - PAG

2 Insiemi e sottoinsiemi DEFINIZIONE. Gli oggetti che formano un insieme si chiamano elementi di quell insieme e vengono indicati con le lettere minuscole dell alfabeto: a b c d Per indicare che un oggetto appartiene ad un insieme si usa il simbolo e si scrive: a A Si legge << l elemento a appartiene all insieme A >>. Per indicare che un oggetto non appartiene ad un insieme si usa il simbolo Si legge << l elemento b non appartiene all insieme A >>. e si scrive: b A DEFINIZIONE. Un insieme si dice finito quando è costituito da un numero limitato di elementi; si dice infinito quando è costituito da un numero illimitato di elementi. Area 2 - Capitolo 1 - PAG

3 Insiemi e sottoinsiemi DEFINIZIONE. Un insieme si dice vuoto se è privo di elementi e si indica con uno dei seguenti simboli: oppure DEFINIZIONE. Due insiemi sono uguali se sono formati dagli stessi elementi. ESEMPIO a i e matite e i a elica L insieme A delle vocali della parola <<matite>> e l insieme B delle vocali della parola <<elica>> sono uguali perché entrambi sono formati dagli elementi a, i, e. Area 2 - Capitolo 1 - PAG

4 Insiemi e sottoinsiemi Rappresentazione per elencazione: si scrivono gli elementi dell insieme all interno di una parentesi graffa, separati uno dall altro da un punto e virgola. L insieme A dei punti cardinali si indica A { nord; sud; ovest; est } Rappresentazione per caratteristica: si scrive all interno di una parentesi graffa la proprietà che caratterizza gli elementi dell insieme. A { x x è una lettera della parola condizionatore } Si legge << l insieme A è formato dagli elementi x tali che ogni x è una lettera della parola condizionatore >>. Rappresentazione grafica: si traccia una linea chiusa e al suo interno si scrivono gli elementi dell insieme. Diagramma di Eulero-Venn L insieme A delle lettere che formano la parola telefono. t n e l f o Area 2 - Capitolo 1 - PAG

5 Insiemi e sottoinsiemi DEFINIZIONE. Un insieme B si dice sottoinsieme proprio di un insieme A se ogni elemento di B appartiene ad A ma c è almeno un elemento di A che non appartiene a B. Dato l insieme A = { t ; e ; g ; o ; l ; a } A o t l e a g B Si ha che l insieme B = { l ; e ; g ; a } è sottoinsieme proprio di A DEFINIZIONE. Ogni insieme A contiene due sottoinsiemi particolari: l insieme vuoto e lo stesso insieme A; vengono definiti impropri. A A A Area 2 - Capitolo 1 - PAG

6 L insieme delle parti DEFINIZIONE. Dato un insieme A non vuoto si definisce insieme delle parti di A e si indica con P (A) l insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi propri ed impropri di A. Dato l insieme A = { m; i ; o } l insieme delle parti è Area 2 - Capitolo 1 - PAG

7 2 Le operazioni con gli insiemi DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B si dice intersezione di tali insiemi, l insieme C formato dagli elementi che appartengono contemporaneamente sia ad A che a B. In simboli si scrive: C A B Siano A = { 5 ; 10; 12; 20 } e B = { 8; 10 ; 20 } A C A B B C A B 10 ; 20 Area 2 - Capitolo 1 - PAG

8 2 Le operazioni con gli insiemi DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B si dice unione di tali insiemi, l insieme C formato dagli elementi che appartengono ad A o a B, presi una sola volta, quando esistono elementi comuni. In simboli si scrive C A B Siano A = { 5 ; 10; 12; 20 } e B = { 8; 10 ; 20 } A B C A B 5; 12; 10; 20; 8 Area 2 - Capitolo 1 - PAG

9 2 La differenza e l insieme complementare DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B si dice differenza di tali insiemi quel nuovo insieme C formato dagli elementi di A che non appartengono a B. In simboli: C A B o C A \ B Dati gli insiemi della figura a lato si ha che A B = { g ; t ; i ; e } DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B, con B A l insieme differenza di A e B, si dice insieme complementare di B rispetto ad A e si scrive: C A B Area 2 - Capitolo 1 - PAG

10 3 La partizione di un insieme DEFINIZIONE. Si chiama partizione di un insieme la suddivisione dell insieme stesso in più sottoinsiemi, i quali devono soddisfare le seguenti condizioni: nessuno dei sottoinsiemi deve essere vuoto; i vari sottoinsiemi devono essere disgiunti; l unione dei sottoinsiemi è l insieme di partenza. Criteri di partizione diversi portano alla formazione di sottoinsiemi diversi. Dato l insieme, possiamo suddividere gli elementi in base al colore oppure in base alla forma Area 2 - Capitolo 1 - PAG

11 4 Il prodotto cartesiano DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B non vuoti, l insieme C, formato da tutte le coppie ordinate (a, b) con il primo elemento che appartiene ad A ed il secondo che appartiene a B, si chiama prodotto cartesiano e lo si indica con: C A B a, b a A e b B Dati gli insiemi A = { G ; V } e B = { g ; r ; v }, oltre che per elencazione il prodotto cartesiano si può rappresentare in forma sagittale con una tabella a doppia entrata con un grafico cartesiano Area 2 - Capitolo 1 - PAG