Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari

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1 Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari Matematica e Statistica I Prova scritta del 3//2009 NOME COGNOME N. Matr. DOMANDE: Dare una sola risposta per ogni domanda, senza giustificarla. La risposta corretta vale /2 punti. Ogni risposta sbagliata alle domande a scelta multipla toglie /4 punto. ESERCIZI: Rispondere alla domanda nel modo più completo possibile, cercando di giustificare i passaggi. DOMANDA y(t) è la soluzione dell equazione y (t) = 3y(t) tale che y(0) =. Quanto vale 0 y(t)dt? DOMANDA 2 Un test consiste di due domande A e B. Sulla base delle esperienze passate, si stima che la probabilità che uno studente sbagli almeno una delle due domande sia 0.5, che sbagli la domanda A sia 0.4 e che sbagli la domanda B sia 0.3. Quale sarà allora la probabilità che uno studente sbagli la domanda B, sapendo che ha sbagliato la domanda A? non ci sono informazioni sufficienti per rispondere DOMANDA 3 Determinare quale fra i seguenti valori corrisponde a 2 0 (2x + ) 2 dx nessuno dei precedenti DOMANDA 4 Quale delle segunti funzioni f ha un punto di massimo in x = 2, è decrescente in (2, 4) e converge a 0 più velocemente di per x +? x2 f(x) = 2x 3 + 3x 2 + 2x 3 x f(x) = x 2 2x 2 f(x) = xe x/2 f(x) = x 2 DOMANDA 5 Date le funzioni f e g il cui grafico è disegnato in figura, sia u(x) = (g f)(x). Calcolare u (8) DOMANDA 6 In seguito ad un cambio di gestione, un noto ristorante del centro sta perdendo annualmente il 20% dei clienti. Supponendo che tale decrescita rimanga costante e che attualmente il ristorante conti 000 clienti, dopo quanto tempo il numero dei clienti sarà sceso a 500 unità? 5 log(2) ln(2) ln(5) ln(2) ln(0) ln(8)

2 ESERCIZIO 7 (6 punti) In un allevamento di galline ovaiole, gli animali vengono distinti in tre fasce di età (pulcini, giovani e adulte) e il passaggio da una fase all altra richiede un mese. Il vettore (di 3 componenti) N t rappresenta la popolazione (in migliaia) di galline al tempo t, calcolato in mesi; per la precisione, le tre componenti di N t rappresentano (in migliaia) pulcini, giovani e adulte. L evoluzione della popolazione viene descritta dalla legge N t+ = AN t dove A = / /4 4/5 (a) Interpretare dal punto di vista biologico tutti gli elementi della matrice A. (b) Siano le componenti di N 0 (8, 6, 20); calcolare N e N 2. (c) Scrivere la matrice A 2 che permette il passaggio da N t a N t+2, ossia tale che N t+2 = A 2 N t. (d) Trovare il vettore N 0 tale che N sia uguale a (0,, 0) oppure a (0, 0, ) (non sempre il risultato è sensato biologicamente).

3 ESERCIZIO 8 (5 punti) Il padrone di una fabbrica sa che produrre 000 piastrelle al giorno gli costa 2000 euro, mentre produrne 400 gli costa 2500 euro. (a) Esprimere il costo di produzione in funzione del numero di piastrelle prodotte, supponenendo lineare la relazione. (b) Qual è l intercetta sull asse y e cosa rappresenta? Sulla base di ricerche di mercato, si ipotizza che, se p è il prezzo di una piastrella, il numero di piastrelle vendute al giorno sarà dato dalla funzione f(p) = 0 25 p p se 0 < p 25, sarà uguale a 0 se p > 25. (a) Trovare il prezzo (al pubblico) al quale si riusciranno a vendere N piastrelle al giorno. (b) Supponendo che si scelga il prezzo (al pubblico) a cui si riescono a vendere N piastrelle al giorno, trovare qual è il numero di piastrelle che alla fabbrica conviene produrre per massimizzare il guadagno (definito come ricavo-costo di produzione).

4 ESERCIZIO 9 (6 punti) Un azienda manifatturiera vende cuscinetti a sfera in casse da.000. L azienda sa che circa cuscinetto ogni non rispetta le specifiche assicurate. Sia X il numero di cuscinetti difettosi in una cassa.. Qual è la probabilità che X = 2? 2. Quanto vale E(X)? E quanto la deviazione standard? 3. Qual è la probabilità che in una cassa vi sia almeno un cuscinetto difettoso? 4. Approssimate X con una variabile Poissoniana (ossia P(X = k) = mk k! e m ) che abbia lo stesso valore atteso E(X) e rispondete al punto precedente; la risposta cambia sostanzialmente?

5 ESERCIZIO 0 (7 punti) Sia f(x) = 3 4 (x + ) 2. (a) Trovare l insieme di definizione di f ed i limiti agli estremi dell insieme di definizione. (b) Tracciare il grafico di f(x) (se volete, potete aiutarvi con il grafico di /x 2 e costruire quello di f(x) con opportune traslazioni e/o riflessioni e/o moltiplicazioni). (c) Considerate la funzione G(x) = f(x) x e trovate gli insiemi su cui G è crescente o decrescente. Tracciate un grafico approssimato di G. (d) Sulla base delle informazioni al punto precedente, trovate quante soluzioni ha l equazione f(x) = x e sovrapponete (con una certa cura e coerenza) il grafico di f(x) e la bisettrice y = x. (e) Considerate la successione data da x 0 =, x n+ = f(x n ); calcolate x e x 2 ; costruite graficamente i primi termini di tale successione e dite qual è secondo voi l andamento della successione (crescente, decrescente o oscillante; se si avvicina a un punto stazionario...)